安徽省天域全国名校协作体2023-2024学年高三下学期联考（二模）数学试题含答案.pdf

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1、高三数学 试题 第 1页(共 5 页)绝密考试结束前绝密考试结束前2023-2024 学年第二学期天域全国名校协作体联考2023-2024 学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科 试题高三年级数学学科 试题考生须知：考生须知：1本卷共 5 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分选择题部分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知,A B是

2、全集U的非空子集，且UAB，则（）ABABUBA CUUABDAB2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征则函数22()1xf xx 的图象大致为（）ABCD3.已知复数(,)zabi a bR且2(42)40 xi xai有实数根b，则2|z=（）A.2 3B.12C.2 5D.204 已知等边ABC 的边长为 2，点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，若2DEEF，则EF AF =（）A1B45C65D545已知1F，2F是双曲线222210

3、,0 xyabab的左、右焦点，若双曲线上存在点 P 满足2212PFPFa ，则双曲线离心率的最小值为（）A6B5C2D3#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#安徽省天域全国名校协作体2023-2024学年高三下学期联考（二模）数学试题高三数学 试题 第 2页(共 5 页)6在数列 na中，nS为其前n项和，首项11a，且函数 31sin211nnfxxaxax的导函数有唯一零点，则5S（）A26B63C57D257.已知函数()f x的定义域为R，且(2)2f x 为奇函数，(31)fx 为偶函数，(1)0f，则2024

4、1()kf k（）A4036B4040C4044D40488.已知直线)0(0:22BACByAxl与曲线3:Wyxx有三个交点D、E、F，且2DEEF，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（）.A.10，B.11，C.11，D.01，二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9已知由样本数据()iixy，（1 2 310i，）组成的一个样本，得到回归直线方程为3yx ，且4x 剔除一个偏离直线较大的异常点(51)，后，得到新的回归直线经过点(64)，则下列说法正确的是A

5、相关变量x y，具有正相关关系B剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C剔除该异常点后的回归直线方程经过点(51)，D剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小10在平面直角坐标系 xOy 中，角以坐标原点 O 为顶点，以 x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(,)M a b，0OMm m，定义 bafm，bagm，则（）A166fgB 20ffC若()()fg=2，则3sin25D fg是周期函数11如图，多面体PSABCD由正四棱锥PABCD和正四面体SPBC组合而成，其中 PS=1，则下列关于该几何体叙述正确的是A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角 A-PB-

6、C 的余弦值为13D.该几何体为三棱柱#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 试题 第 3页(共 5 页)非选择题部分非选择题部分三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12从某工厂生产的零件中随机抽取 11 个，其尺寸值为 43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm)，现从这 11 个零件中任取 3 个，则 3 个零件的尺寸刚好为这 11 个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为_13.已知偶函数 xxfsin0的图像关于点03，中心对称，且在区间40，上

7、单调，则=.14若实数yx,满足2522 yx，则yxyx68506850的最大值为_四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13 分）已知函数 lnaxaxfxx，aR(1)若 fx在定义域内是减函数，求a的取值范围；(2)当12a 时，求()f x的极值点.16.（15 分）据新华社北京 2 月 26 日报道，中国航天全年预计实施 100 次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近 70 次宇航发射任务，发射 290 余个航天器，实施一系列重大工程

8、任务。由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离 x（kkm）5663717990102110117损坏零件数 y（个）617390105119136149163参考数据：86x,112y,8182743iiix y,82162680iix（1）建立 y 关于 x 的回归模型ybxa，根据所给数据及回归模型，求 y 关于 x 的回归方程（b精确到 0.1，a精确到 1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取 100 台进行等距离飞行测试，对其中

9、60 台进行飞行前保养，测试结束后，有 20 台报废，其中保养过的推进器占比 30%，请根据统计数据完成 22 列联表，并根据小概率值=0.01 的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 试题 第 4页(共 5 页)附：回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()(),xniiiniixxyybaybxx（-）,22(),()()()()n adbcKnabcdab cdac bd；17.（15 分）在三棱锥ABCP中，ABCPB平面，2BPBCAB，点

10、E在平面ABC内，且满足平面PAE平面PBE，BA 垂直于 BC。（1）当3,8ABE时，求点E的轨迹长度；（2）当二面角BPAE的余弦值为33时，求三棱锥PCBE 的体积.18.（17 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 W：222210 xyabab的离心率为e，已知椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，且椭圆 W 过点(1,)e（1）求椭圆W的方程；（2）已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积 S 的最大值20()P Kk0.250.10.050.0250.010.0010k1.3232.7063.8415.0246.63510.828#QQABTYYEggiIAA

11、BAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 试题 第 5页(共 5 页)19.(17 分)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形 K 在 m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称 K 具有对称性，并记 m 为 K 的一个对称变换.例如，正三角形 R 在 m1（绕中心 O 作 120的旋转）的作用下仍然与 R 重合（如图 1 图 2 所示），所以 m1是 R 的一个对称变换，考虑到变换前后 R 的三个顶点间的对应关系，记11233 12m；又如，R 在 l1（关于对称轴 r1所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图 1

12、 图 3 所示），所以 l1也是 R 的一个对称变换，类似地，记1123132l.记正三角形 R 的所有对称变换构成集合 S.一个非空集合 G 对于给定的代数运算来说作成一个群，假如同时满足：I.,a bG a bG；II.,()()a b cG a bcab c；III.,eGaG a ee aa ；IV.111,aGaG a aaae.对于一个群 G，称 III 中的 e 为群 G 的单位元，称 IV 中的1a为a在群 G 中的逆元.一个群 G 的一个非空子集 H 叫做 G 的一个子群，假如 H 对于 G 的代数运算来说作成一个群.(1)直接写出集合 S（用符号语言表示 S 中的元素）；(

13、2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如11231323 12321m21313223 11233 1232123 1213.对于集合 S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：123123123123123123*aaabbbaaabbbcccccc ，123123123,1,2,3a a ab b bc c c.证明集合 S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；已知 H 是群 G 的一个子群，,e e分别是,G H的单位元，aH，1,aa分别是a在群 G,群 H中的逆元.猜想,e e之间的关系以及1,aa之间的关系，并给出证明；写出群 S 的所有子群.#QQABTYYEggiIAAB

14、AAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 参考答案 第 1页(共 6 页)绝密绝密考试结束前考试结束前2022023-20243-2024 学年第学年第二二学期天域全国名校协作体联考学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科参考答案高三年级数学学科参考答案一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.题号12345678答案BCDADCDC二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共3小题，每小题小题，每

15、小题6分，共分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得6分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得0分分.题号91011答案BCACDACD三、填空题：本题共三、填空题：本题共3小题，每小题小题，每小题5分，共分，共15分分.122551332146 10四、解答题：共四、解答题：共77分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）2221()ln(0),()aaaxxaf xxaxxfxaxxxx，若 fx在定义域内是减函数，则()0

16、fx对(0,)x 恒成立，即20axxa恒成立，所以0a，21 40a ，解得12a.6 分(2)当0a 时，()0fx，()f x在(0,)上单调递增，()f x无极值点；.8 分当102a时，21 40a ，令()0fx，解得22114114,22aaxaa，令 0fx，解得221141140,22aaxaa，则()f x在21140,2aa上 是 单 调 递 减，在22114114,22aaaa上 是 单 调 递 增，在2114,2aa上是单调递减，()f x的极小值点为21142aa，极大值点为21142aa.12 分#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCA

17、AoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 参考答案 第 2页(共 6 页)综上，当0a 时，()f x无极值点；当102a时，()f x的极小值点为21142aa，极大值点为21142aa.13 分16.(1)由题意88112212288181.6827438 86 112626808 886iiiiiiiiiixxybyx yxxyxxx（）（）（）.3 分26aybx.6 分故 y 关于 x 的线性回归方程为y1.626x.7 分（2）设零假设为 H0：是否报废与是否保养无关由题意，报废推进器中保养过的共 2030%=6 台，未保养的推进器共 20-6=14 台.补充 22 列联表

18、如下：.11 分则2262614 549.3756.635204060 80100K）（.14 分根于小概率值=0.01 的独立性检验，我们推断 H0不成立，即认为是否报废与是否保养有关，此推断的错误的概率不大于 0.01.15 分17.（1）作BHPE交PE于H，因为平面PAE平面PBE，且平面PAE平面PBEPE，所以BH 平面PAE，又因为AE平面PAE，所以BHAE，因为PB 平面ABC，且AE平面ABC，所以PBAE，因为BHAE，PBAE，PB、BH 平面PBE，PBBHB，所以AE平面PBE，又因为BE平面PBE，所以AEBE.3 分分 别 以 直 线,BA BC BP为x轴，y

19、轴，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图，保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 参考答案 第 3页(共 6 页)则0,0,0,0,0,2,0,2,0,2,0,0BPCA设,0E x y，因为AEBE，所以0 AE BE，(2,0),(,0)AExyBEx y，所以(2)0 xxy y，即22(1)1xy.5 分设AB中点为N，则(1,0)N，如图：又 8 3,ABE，所以 243,ANE，因此，E的轨迹为圆弧QE，其长度为25()41123

20、.7 分（2）由（1）知，可设(,0),E x y2,0,2,(2,0),PAAExy设平面PAE的一个法向量为,na b c，则0,0,n PAn AE即22020aca xby，令ya 则ycxb,2，,2,nyx y.10 分020，BC为平面PAB的一个法向量，令二面角BPAE为角22222cosyxxBCnBCn，因为22(1)1xy所以3342cos2xx#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 参考答案 第 4页(共 6 页)解得02yx，（舍去）或1,1yx则(1,1,0),1,1,0或EE.13 分从

21、而可得三棱锥PCBE 的体积32122213131hSVPCBPCBE.15 分18.（1）由题意知2222222222221111ecbcabaa ba bb，解得1b，所以2a；所以椭圆W的方程为2214xy；.4 分（2）若直线 AB 的斜率存在，设 AB 的方程为1ykxm，11(,)A x y，22(,)B xy，因为AB CD，故可设 CD 方程设为2ykxm，由12214ykxmxy得22211(14)8440kxkm xm，则2218(21)0km，且1122211228144414kmxxkmx xk，.7 分所以2212121()4|kxxxAxB 221224 4111

22、4kmkk，同理222224 41|114kmCDkk，.9 分因为|ABCD，所以2212mm，因为12mm，所以120mm.11 分设两平行线AB，CD间的距离为d，则122|1mmdk，因为120mm，所以12|2|1mdk所以221212241|2|4 11 41kmmSAB dkkk 22211222112241(41)28841414kmmkmmkk 所以当221412km时，ABCD的面积S取得最大值为 4.14 分若直线 AB 的斜率不存在，此时平行四边形ABCD为矩形，设11(,)A x y，易知11|4|Sx y，又22221111111|442|xxyyx y，所以4S，

23、当且仅当11xy时取等；.16 分综上所述：ABCD的面积 S 的最大值为 4.17 分19.解析：(1)由题设可知，正三角形 R 的对称变换如下：绕中心 O 作 120的旋转变换#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 参考答案 第 5页(共 6 页)11233 12m；绕中心 O 作 240的旋转变换212323 1m；绕中心 O 作 360的旋转变换3123123m；关于对称轴 r1所在直线的反射变换1123132l；关于对称轴 r2所在直线的反射变换2123321l；关于对称轴 r3所在直线的反射变换31232

24、13l.综上，123123123123123123,3 1223 1123132321213S .（形式不唯一）.3 分(2)I.123123123123,aaabbbSbbbccc ，123123123123123123aaabbbaaaSbbbcccccc ；II.123123123123123123,aaabbbcccSbbbcccddd ，123123123123123123123123123123123123aaabbbcccaaacccaaabbbcccdddcccdddddd 123123123123123123123123123123123123aaabbbcccaaabbba

25、aabbbcccdddbbbdddddd 所以123123123123123123aaabbbcccbbbcccddd 123123123123123123aaabbbcccbbbcccddd ；.5 分III.123123S,123123aaaSbbb123123123123123123aaaaaaaaaaaabbbbbb 123123123123aaabbbbbbbbb ，而123123aaaaaa123123123123bbbbbb，所以e 123123；#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#高三数学 参考答案 第 6

26、页(共 6 页)IV.123123,aaaSbbb123123,bbbSaaa123123123123123123123123aaabbbbbbaaaebbbaaaaaabbb ；.7 分综上可知，集合 S 对于给定的新运算*来说能作成一个群.8 分ee,1aa，证明如下：先证明ee：由于 H 是 G 的子群，取aH，则aG，1aG，根据群的定义，有a ea，a ea，所以a ea e，所以11()()aa eaa e，即11()()aaeaae，即e ee e，所以ee.10 分再证明1aa：由于ee，1eaa，eaa，所以1aaaa，所以111()()aa aaa a，所以1aeae，所以1aa.12 分S 的所有子群如下：1123123H,2123123,123132H ，3123123,123321H ，4123123,123213H ，.14 分5123123123,3 1223 1123H ，6123123123123123123,3 1223 1123132321213H .17 分#QQABTYYEggiIAABAAAgCUwWaCEKQkAGCAAoGQFAAsAAAiRNABCA=#