江苏省南通市2024届第二次调研测试数学试题含答案.pdf

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1、南通市南通市 2024 届高三第二次调研测试届高三第二次调研测试数学数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效在其他位置作答一律无效3本卷满分为本卷满分为 150 分，考试时

2、间为分，考试时间为 120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1已知单位向量1e，2e的夹角为120，则1222eee（）A2B0C1D22在正方体1111ABCDABC D中，下列关系正确的是（）A1ADBCB1ADBDC11ACACD11ACCD3一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（

3、）A25B30C35D404已知函数 22,3,3,2xxfxxfxx则2(log 9)f（）A83B103C809D8295设0 x，0y，122yx，则1xy的最小值为（）A32B2 2C322D36若函数 e2axf xx有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围为（）A2a B12a C2a D12a 7设抛物线2:4C yx的焦点为 F，C 的准线与 x 轴交于点 A，过 A 的直线与 C 在第一象限的交点为 M，N，且3FMFN，则直线MN的斜率为（）A32B12C33D238若cos，cos6，cos3成等比数列，则sin2（）A34B36C13D14二二、选择题选择题：本题共本题

4、共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9已知双曲线222:1(0)4xyCbb的右焦点为 F，直线:0l xby是 C 的一条渐近线，P 是 l 上一点，则（）AC 的虚轴长为2 2BC 的离心率为6CPF的最小值为 2D直线PF的斜率不等于2210已知1()5P A，1(|)4P B A，若随机事件 A，B 相互独立，则（）A1()3P B B1()20P AB C4(|)5P A B D

5、4()5P AB11已知函数 f x，g x的定义域均为 R，f x的图象关于点2,0对称，021gg，g xyg xyg x fy，则（）A f x为偶函数B g x为偶函数C11gxgx D11gxgx三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12设mR，i 为虚数单位若集合1,21 iAmm，2i,1,2B ，且AB，则m _13在ABC中，7AB，1AC，M 为BC的中点，60MAC，则AM _14若正四棱锥的棱长均为 2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为_该十面体的外接球的表面积为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5

6、小题，共小题，共 77 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了 1000 名消费者，得到下表：满意不满意男44060女46040（1）能否有 95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取 3 人，用 X 表示不满意的人数，求 X 的分布列与数学期望附：22n adbcKabcdacbd，nabcd 2()P Kk0.10.050.01k2.7063.8416.63516（15 分）设函数()sin()(0,0

7、)f xx 已知 f x的图象的两条相邻对称轴间的距离为2，且142f（1）若 f x在区间0,m上有最大值无最小值，求实数 m 的取值范围；（2）设 l 为曲线 yf x在6x 处的切线，证明：l 与曲线 yf x有唯一的公共点17（15 分）如图，边长为 4 的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F 分别为BC，CD的中点，点 G 在棱AD上，2AGGD，直线AB与平面EFG相交于点 H（1）从下面两个结论中选一个证明：BDGH；直线HE，GF，AC相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分（2）求直线BD与平面EFG的距离18（17 分）已知数列 na的前 n 项和为n

8、S，14nnnSaa，11a （1）证明：数列12nnaa为等比数列；（2）设4(1)nnabn n，求数列 nb的前 n 项和；（3）是否存在正整数 p，6q pq，使得pS，6S，qS成等差数列？若存在，求 p，q；若不存在，说明理由19（17 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyabab的离心率为63，直线 l 与相切，与圆222:3Q xya相交于 A，B 两点当 l 垂直于 x 轴时，2 6AB（1）求的方程；（2）对于给定的点集 M，N，若 M 中的每个点在 N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为,d M N（i）若 M，N 分

9、别为线段AB与圆 O，P 为圆 O 上一点，当PAB的面积最大时，求,d M N；（ii）若,d M N，,d N M均存在，记两者中的较大者为,H M N 已知,H X Y，,H Y Z，,H X Z均存在，证明：,H X ZH Y ZH X Y参考答案与评分建议 第 1 页（共 11 页）2024 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。1 已知单位向量 e1，e2的夹角为 120，则(2e1 e2)e2B0 C1 D2【答案】A 2 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列关系正确的是 ADB1CBA1DBD C

10、AC1A1C DAC1CD1【答案】D 3 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40若这两组数据的中位数相等，则删除的数为 A25 B30 C35 D40 【答案】B 4 已知函数 f(x)223()32xxxxfx，则 f(2log 9)83B103 C809 D829【答案】B 5 设 x 0，y 0，1xy 2，则 x 1y的最小值为 32B2 2 C322 D【答案】C 6 若函数 f(x)e ax+2 x 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围为 Aa 2 Ba 12 Ca 2 Da 12【答案】C 7 设抛物线 C：y 2 4x 的焦点为 F，

11、C 的准线与 x 轴交于点 A，过 A 的直线与 C 在第一 参考答案与评分建议 第 2 页（共 11 页）象限的交点为 M，N，且|FM|3|FN|，则直线 MN 的斜率为 A32 B12 C33 D23 【答案】A 8 若 cos，cos(6)，cos(3)成等比数列，则 sin2 A34 B63 C31 D41【答案】B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9 已知双曲线 C：22214yxb(b 0)的右焦点为 F，直线 l：x b y 0 是 C 的一条渐近

12、线，P 是 l 上一点，则 AC 的虚轴长为2 2 BC 的离心率为6 C|PF|的最小值为 2 D直线 PF 的斜率不等于22 【答案】AD 10已知 P(A)15，P(B|A)14若随机事件A，B相互独立，则 AP(B)13 BP(AB)120 CP(-A|B)45 DP(A-B)45 【答案】BCD 11已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)的图象关于点(2，0)对称，g(0)g(2)1，g(x y)g(x y)g(x)f(y)，则 Af(x)为偶函数 Bg(x)为偶函数 Cg(1 x)g(1 x)Dg(x)g(x)【答案】ACD 参考答案与评分建议 第 3 页（共 11 页

13、）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12设mR，i 为虚数单位若集合A 1，2m (m 1)i，B 2i，1，2，且AB，则 m 【答案】1 13在ABC 中，AB 7，AC 1，M 为 BC 的中点，MAC，则 AM 【答案】32 14若正四棱锥的棱长均为 2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为，该十面体的外接球的表面积为【答案】5 26；4 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了 1 000 名消费者，得到下表：（1）能否有9

14、5%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取 3 人，用 X 表示不满意的人数，求 X 的分布列与数学期望 附：K 2 2()()()()()n adbcabcdacbd，n a b c d.P(K2k)0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 解：（1）根据题意，知 K 2 2()()()()()n adbcabcdacbd21000(4404060460)500500900 100 2 分 4093.841，所以有 95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关 5 分 满意 不满意 男 440 60 女 46

15、0 40 参考答案与评分建议 第 4 页（共 11 页）（2）X的可能取值为 0，1，2，3，且1(3)10XB，7 分 则X的分布列为：39729(0)()101000P X，12319243(1)C()10101000P X，2231927(2)C()10101000P X，311(3)()101000P X 11分 所以 X的数学期望3()10E X 13 分 16（15 分）设函数 f(x)sin(x)(0，0)已知 f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为2，且f(4)12（1）若 f(x)在区间(0，m)上有最大值无最小值，求实数 m 的取值范围；（2）设l 为曲线yf(x)在x

16、6处的切线，证明：l 与曲线yf(x)有唯一的公共点 解：（1）因为 f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为2，所以f(x)的周期为，即2，解得2 2 分 又f(4)12，故1sin()22，即1cos2，又 0，故3 此时()sin(2)3f xx 4 分 因为函数 f(x)在区间(0，m)上有最大值无最小值，所以32232m，解得71212m 7 分（2）由（1）知，6()0f，()2cos(2)3fxx，则()26f 所以 l 的方程为2()6yx 10 分 参考答案与评分建议 第 5 页（共 11 页）记()sin(2)2()36p xxx，则()2cos(2)203p xx，故()

17、p x单调递减 13 分 又6()0p，故()p x有唯一零点6 所以 l 与曲线yf(x)有唯一的公共点 15 分 17（15 分）如图，边长为 4 的两个正三角形 ABC，BCD 所在平面互相垂直，E，F 分别为 BC，CD的中点，点 G 在棱 AD 上，AG 2GD，直线 AB 与平面 EFG 相交于点 H（1）从下面两个结论中选一个证明：BD/GH；直线 HE，GF，AC 相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分（2）求直线 BD 与平面 EFG 的距离 证明：选因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EFBD 2 分 又BD平面EFG，EF平面EFG，所以BD平面EFG 4 分

18、 又BD平面ABD，平面ABD 平面EFGGH，所以BDGH 6分 选在ACD中，2AGGD，F为CD中点，所以GF与AC不平行 2 分 设GFACK，则KAC，KGF 又AC 平面ABC，FG平面EFG，所以K 平面ABC，K 平面EFG 4 分 又平面ABC 平面EFGHE，所以KHE，所以 HE，GF，AC 相交于一点 6 分 A B C D E F G H A B C D E F G H K 参考答案与评分建议 第 6 页（共 11 页）（2）解：若第（1）问中选，由（1）知，BD平面EFG 所以点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离 7 分 若第（1）问中选，因为E，F分别

19、为BC，CD的中点，所以EFBD 又BD平面EFG，EF平面EFG，所以BD平面EFG 所以点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离 7 分 连接EA，ED，因为ABC，BCD均为正三角形，E为BC的中点，所以EABC，EDBC 又平面ABC平面BCD，平面ABC 平面BCDBC，AE平面ABC，所以AE 平面BCD，又ED 平面BCD，所以EAED 9 分 以EB，ED，EA 为基底建立如图所示空间直角坐标系，则(200)B，(130)F ，4 32 3(0)33G，(200)EB，(130)EF ，4 32 3(0)33EG，设平面EFG的一个法向量为()xyz，n，则00nnEF

20、EG，即304 32 3033xyyz，不妨取(312)，n 12 分 设点B到平面EFG的距离为d，则|2 36|28nnEBd，所以BD与平面EFG的距离为62 15 分 A B C D E F G H z x y 参考答案与评分建议 第 7 页（共 11 页）18（17 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，14nnnSaa，a11（1）证明：数列 2an 1an 为等比数列；（2）设 bn4(1)nan n，求数列 bn 的前 n 项和；（3）是否存在正整数 p，q(p 6 q)，使得 Sp，S6，Sq成等差数列？若存在，求 p，q；若不存在，说明理由 解：（1）当1n 时，11

21、24Saa，故20a 当2n时，14nnnSaa，114nnnSaa，1144nnnnnaaaaa，即1144nnnaaa 2 分 所以112(2)2nnnnaaaa 又21210aa，所以n N，120nnaa，所以112122nnnnaaaa，所以12nnaa是以1为首项，12为公比的等比数列 4 分 （2）由（1）得，11122nnnaa 所以11221nnnnaa，所以122nnan，解得122nnna 7 分 所以31211182(1)22(1)nnnnnbn nnn 所以 bn 的前n项和为：21111111(1)()822222322(1)nnnn31182(1)nn 10 分

22、参考答案与评分建议 第 8 页（共 11 页）（3）由（1）知，11214222nnnnnnnS 因为6pqSSS，成等差数列，所以51112222pqpq，整理得31622pqpq 12 分 因为31622pqpq，所以3162pp 又16p，p*N，经检验，只能5p 14 分 所以5332162qq，故1322qq 令2nnnd，则11102nnnndd，所以12345ddddd 因为8132d，所以8q 所以存在5p，8q，使得 Sp，S6，Sq成等差数列 17 分 19（17 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆：22221yxab(a b 0)的离心率为63，直线l 与相切，与

23、圆 O：x 2 y 2 3a 2相交于 A，B 两点当 l 垂直于 x 轴时，|AB|2 6（1）求的方程；（2）对于给定的点集 M，N，若 M 中的每个点在 N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 d(M，N)（i）若 M，N 分别为线段 AB 与圆 O，P 为圆 O 上一点，当PAB 的面积最大时，求 d(M，N)；（ii）若 d(M，N)，d(N，M)均存在，记两者中的较大者为 H(M，N)已知 H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，证明：H(X，Z)H(Y，Z)H(X，Y)解：（1）因为当l垂直于x轴时，|AB|2 6,所以2236aa，解得3a

24、 2分 参考答案与评分建议 第 9 页（共 11 页）又因为椭圆的离心率为的63，所以22263caabc，解得1b，所以的方程为2213xy 4分（2）（）法1：当l的斜率存在时，不妨设l的方程为：ykxm，与椭圆联立，消去y得，222316330kxkmxm 因为直线l与椭圆相切，所以22264 31 330kmkm，整理得，2231mk 6分 因为圆心O到直线l的距离21mdk，所以222222312313)111mkdkkk，即13)d，7分 设PAB的面积为S，则211332 922SdABdd333dd 设 333f ddd，13d，则 22332fddd 当312d 时，0fd，

25、所以 f d单调递增；当332d时，0fd，所以 f d单调递减 所以32d 时，f d取得最大值，此时max27 34S 9分 当l的斜率不存在时，由（1）知，1332 63 23 62S 因为27 33 23 64，所以32d 10分 对于线段AB上任意点E，连结OE并延长与圆O交于点F，则F是圆上与E最近的点 参考答案与评分建议 第 10 页（共 11 页）当E为线段AB的中点时，|EF|取得最大值32，所以d(M，N)32 12分 法2：设原点O到直线l的距离为d，PAB的面积为S，则3211332 93322SdABdddd 设 333f ddd，03d，则 22332fddd 当3

26、02d 时，0fd，所以 f d单调递增；当332d时，0fd，所以 f d单调递减 所以32d 时，f d取得最大值，此时max27 34S 6分 显然l的斜率存在，不妨设l的方程为：ykxm，与椭圆联立，消去y得，222316330kxkmxm 因为直线l与椭圆相切，所以22264 31 330kmkm 整理得，2231mk 8分 因为21mdk，所以2321mk 由，解得253k，26m 10分 由对称性，不妨设直线l方程为：1563yx 对于线段AB上任意点E，连结OE并延长与圆O交于点F，则F是圆上与E最近的点 当E为线段AB的中点时，|EF|取得最大值32，所以d(M，N)32 1

27、2分（）证明：因为 H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，参考答案与评分建议 第 11 页（共 11 页）设点12XXX，12YYY，12ZZZ，且11H XZX Z，12H YZY Z，22H XYX Y，设 Y2是集合 Y 中到 X2的最近点，根据对称性，不妨设22H XYd XYX Y，令点2X到集合 Z 的最近点为3Z，点3Z到集合 Y 的最近点为3Y 因为11X Z是集合 X 中所有点到集合 Z 最近点距离的最大值，所以1123X ZX Z 因为12YZ是集合 Y 中所有点到集合 Z 最近点距离的最大值，所以1233YZY Z 所以11122333H XZH YZX ZYZX ZY Z，15 分 因为在坐标平面中，233323X ZY ZX Y，又因为点 Y2是集合 Y 中到点 X2的最近点，所以2322X YX Y 所以H XZH YZH XY，17分