创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题25　定值问题.doc

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1、微专题25定值问题高考定位在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.高考真题 (2020新高考卷改编)已知椭圆C：1，点M，N在C上，点A(2，1)且AMAN，ADMN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.证明设M(x1，y1)，N(x2，y2).若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm，代入1，得(12k2)x24kmx2m260.于是x1x2，x1x2.由AMAN，得0，故(x12)(x22)(y11)(y21)0，整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240.将代入上式，

2、可得(k21)(kmk2)(m1)240，整理得(2k3m1)(2km1)0.因为A(2，1)不在直线MN上，所以2km10，所以2k3m10，k1.所以直线MN的方程为yk(k1).所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，y1).由0，得(x12)(x12)(y11)(y11)0.又1，所以3x8x140.解得x12(舍去)，或x1.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点，即Q.若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故|DQ|AP|.若D与P重合，则|DQ|AP|.综上，存在点Q，使得|DQ|为定值.样题1 (2022资阳二诊改编)已知抛物线C：y24x，点P(1，

3、2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，设O为坐标原点，求证：为定值.证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得k2x2(2k4)x10，(2k4)24k20，得k0或0k0，x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2m.因为O为ABC的重心，所以()，因为点C在椭圆上，所以1，即4m24k21.又|AB|x1x2|.点O到直线AB的距离d，所以SABC3SABO|AB|d.综上，SABC为定值.规律方法求解定值问题的两大途径(1)可由特例得出一个值(此值一般就

4、是定值)，然后证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.训练 (2022东北三省三校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分别为A1，A2.点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，证明：点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值.证明设P(x0，y0)，则1，所以y，所以kPA1，kPA2(x0a)，所以kPA1kPA2，又因为e，a2b2c2，所以，所以，所以点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值.一、基本技能练1.(2022广州调研)已知椭

5、圆C：1(ab0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，MF1F2的周长为42.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为圆x2y25上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解(1)由已知可得解得a2，b1，c.所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x0，y0)，则xy5.当x02时，y01，显然PAPB，则0.当x02时，过点P的切线可设为yk(xx0)y0，联立切线方程与椭圆方程，得消去y，得(4k21)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)210，所以64k2(y0kx0)216(4k21)(y

6、0kx0)210.整理成关于k的方程，得(4x)k22x0y0k1y0，此方程的两个根k1，k2就是切线PA，PB的斜率，所以k1k21.所以PAPB，所以0.综上，0，为定值.2.(2022湖南六校联考改编)已知双曲线C：x2y21.已知点A是C上一定点，过点B(0，1)的动直线与双曲线C交于P，Q两点，记kAP，kAQ分别为直线AP，AQ的斜率，若kAPkAQ为定值，求点A的坐标及实数的值.解设A(m，n)，过点B的动直线为ytx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(1t2)x22tx20，所以由1t20，且0，得t2b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e，P是椭圆C上一动

7、点，PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：为定值.(1)解由题意得PF1F2内切圆半径r的最大值为，设F1F22c，则椭圆C的标准方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y00时，设直线PF1，PF2的方程分别是xm1y1，xm2y1.联立消去x并整理得(3m4)y26m1y90，y0y1.x0m1y01，m1，.联立同理可得，；当y00时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得3.综上所述，.二、创新拓展练4.(2022河南名校大联考)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1，0)

8、，上下顶点分别为B1，B2，以点F为圆心FB1为半径作圆，与x轴交于点T(3，0).(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2，0)，点A，B为椭圆C上异于点P且关于原点对称的两点，直线PA，PB与y轴分别交于点M，N，记以MN为直径的圆为K，试判断是否存在直线l截K的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由.解(1)以点F为圆心FB1为半径的圆的方程为：(x1)2y2a2.因为该圆经过点T(3，0)，即可得：a24.根据椭圆三个参数间的关系：b2a2c23.从而可得椭圆C的方程为1.(2)设点A，B的坐标分别为：(x1，y1)，(x1，y1)，则直线PA的方程为y(x2)，则可得点M的坐标为：.同理可得点N的坐标为.则可得以MN为直径的圆K的方程为x20.化简可得：x2y2y0，结合椭圆的方程可得：4xy，代入上式可得：x2y23y0.显然，令y0，可得x恒成立.据此可知存在直线l：y0，该直线截K的弦长为定值2.