创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题3 三角中的最值、范围问题.doc
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1、微专题3三角中的最值、范围问题高考定位1.三角中的最值与范围问题是高考的难点,三种题型都有可能出现.2.三角中的最值与范围问题一般都与三角函数的图象与性质有关.1.(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a,a上是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.答案A解析法一f(x)cos xsin xcos,且函数ycos x在区间0,上单调递减,则由0x,得x.因为f(x)在a,a上是减函数,所以解得a,所以0a,所以a的最大值是,故选A.法二因为f(x)cos xsin x,所以f(x)sin xcos x,则由题意,知f(x)sin xcos x0在a,a上恒成立,即sin
2、xcos x0,即sin0在a,a上恒成立,结合函数ysin的图象可知有解得a,所以00,故由x(0,),得x.根据函数f(x)在区间(0,)上恰有三个极值点,知,得.根据函数f(x)在区间(0,)上恰有两个零点,知23,得.综上,的取值范围为.3.(2018北京卷)若ABC的面积为(a2c2b2),且C为钝角,则B_;的取值范围是_.答案60(2,)解析ABC的面积Sacsin B(a2c2b2)2accos B,所以tan B,因为0B90,所以B60.因为C为钝角,所以0A30,所以0tan A2,故的取值范围为(2,).4.(2022新高考卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b
3、,c,已知.(1)若C,求B;(2)求的最小值.解(1)因为,所以,所以,所以cos Acos Bsin Bsin Asin B,所以cos(AB)sin B,所以sin Bcos Ccos .因为B,所以B.(2)由(1)得cos(AB)sin B,所以sinsin B,且0AB,所以0B,0(AB),所以(AB)B,解得A2B,由正弦定理得4cos2B52545,当且仅当cos2B时取等号,所以的最小值为45.热点一三角函数式的最值、范围求三角函数式的最值或范围问题,首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式,接着利用三角函数的有界性或单调性求解. 例1 (2022郑州调研)已知函数f(x)
4、2sin xcos x2cos2x.(1)求f的值;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2x2sin 2xcos 2x2sin,所以f2sin2sin 1.(2)因为x,所以2x,所以sin,所以,当2x,即x时,f(x)取到最大值2;当2x,即x0时,f(x)取到最小值.易错提醒求三角函数式的最值范围问题要注意:(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式;(2)根据所给自变量的范围正确地确定x的范围,从而根据三角函数的单调性求范围.训练1 (2022潍坊质检)在函数yf(x)的图象关于直线x对称,函数yf(x) 的图象关于点
5、P对称,函数yf(x)的图象经过点Q,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.问题:已知函数f(x)sin xcos cos xsin 的最小正周期为,且_,判断函数f(x)在区间上是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时的x值;若不存在,说明理由.解f(x)sin xcos cos xsin sin(x),由已知函数f(x)的周期T,得2,所以f(x)sin(2x).若选,则有2k(kZ),解得k(kZ).又因为|,所以.所以f(x)sin.当x时,则2x,所以当2x,即x时,函数f(x)取得最大值,最大值为1.若选,则有2k(kZ),解得k(kZ).又因为|,所以.所以f(x)sin
6、,当x时,则2x,所以当2x,即x时,函数f(x)取得最大值,最大值为1.若选,则有22k(kZ),解得2k(kZ).又因为|,所以,所以f(x)sin.当x时,则2x,显然,函数f(x)在该区间上没有最大值.热点二解三角形中的最值、范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.(2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 例2 (2022德州二模)在锐角ABC中,角A,B,
7、C的对边分别为a,b,c,已知6cos2cos A5.(1)求A;(2)若a2,求b2c2的取值范围.解(1)由已知得6sin2Acos A5,整理得6cos2Acos A10,解得cos A或cos A.又A,所以cos A,即A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A及a2,A得4b2c2bc,即b2c24bc,由正弦定理得,即bsin B,csin C,又CB,所以bcsin Bsin Csin Bsinsin Bcos Bsin2Bsin 2Bcos 2Bsin,又由解得B,所以2B,所以sin,所以bc,所以b2c24bc.规律方法求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及
8、求范围的问题,一定要搞清楚变量的范围,若已知边的范围,求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如ABC,0A,|bc|aa4,所以Labc(8,12.热点三与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题,主要分为三类,其共同的解法是将yAsin(x)中的x看作一个整体,结合正弦函数的图象与性质进行求解. 考向1由最值(或值域)求参数的范围例3 若函数f(x)sin(0)在上的值域是,则的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析因为0,所以当x时,x.又因为函数f(x)sin(0)在x上的值域是,所以,解得3.故选B.考向2由单调性求参数的范围例4 已知f(
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