创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题44　坐标系与参数方程.doc

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1、板块七选考内容微专题44坐标系与参数方程高考定位本节内容在高考中主要考查极坐标、参数方程与普通方程的相互转化，以及直线与曲线的位置关系等，中等难度.1.(2022全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数).(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos sin 0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.解(1)由y，得ty2(y0)，代入x，可得x，即y26x2(y0)，所以曲线C1的普通方程为y26x2(y0).(2)曲线C3的极坐标方程可化为2cos s

2、in 0，所以普通方程为y2x.由y，得sy2(y0)，代入x，可得x，即y26x2(y0).由得或所以C3与C1交点的直角坐标为(，1)，(1，2).由得或所以C3与C2交点的直角坐标为(，1)，(1，2).2.(2022全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin()m0.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围.解(1)直线l的极坐标方程为sin()m0，即sin cos 2m0，根据得l的直角坐标方程为xy2m0.(2)曲线C的参数方程为(t为参数)，将sin t

3、代入xcos 2t(12sin2t)，得曲线C的普通方程为y2x2(2y2).联立直线l与曲线C的方程，得消去x并整理得3y22y64m0(2y2).法一若直线l与曲线C有公共点，则(2)243(64m)0，且3(2)22(2)64m0，所以m，即m的取值范围为，.法二所以4m3y22y6(2y2).因为3y22y63(y)2，当2y2时，3y22y610，即4m10，则m，即m的取值范围为，.热点一极坐标方程把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则或例1 (2022昆明诊断

4、)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点Q的极坐标为(8，0)，动点P的极坐标为(，).(1)若2，求点P的直角坐标及OPQ的面积；(2)在OPQ中，若OPQPOQ，求顶点P的轨迹的极坐标方程.解(1)当2，时，xcos 21，ysin 2，所以点P的直角坐标为(1，)，所以SOPQ|OQ|yP|84.(2)由题意得，OPQPOQ，所以OQP，在OPQ中，由正弦定理得，即，sin 8sin，化简得816cos .因为存在OPQ，所以|，即，所以点P的轨迹的极坐标方程为816cos ，.易错提醒在涉及直角坐标方程和极坐标方程的互化与应用时，一定要注意变量的取

5、值范围，注意转化的等价性.训练1 (2022广西三市联考)在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2(y2)24上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，点M，射线(0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求MAB的面积.解(1)由题知点Q的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以曲线C2的方程为(x2)2y24.因为2x2y2，xcos ，ysin ，所以曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2 的极坐标方程为4cos .(2)在极

6、坐标系中，设点A，B的极径分别为1，2，所以|AB|12|42(1)，点M到射线(0)的距离h3sin ，故MAB的面积S|AB|h.热点二参数方程常见曲线的参数方程(1)以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为(为参数).当圆心在(0，0)时，方程为(为参数).(2)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数).椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数).(3)直线经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数). 例2 (2022东北三省四市模拟)已知某曲线C的参数方程为(为参数).(1)若P(x，y)是曲线C上的任意一点，求x2y的最大值；(2)已知过C的右焦点F，且倾斜角为

7、的直线l与C交于D，E两点，设线段DE的中点为M，当()|FM|时，求直线l的普通方程.解(1)依题意得 x2cos ，ysin ，所以x2y2cos 2sin 2sin，当2k，kZ，即2k，kZ时，sin1，此时x2y取最大值为2.(2)由 整理得 y21，易知F(，0).由直线l的倾斜角为，可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入y21得(13sin2)t22tcos 10，易知12cos24(13sin2)160.设点D和点E对应的参数为t1和t2，所以t1t2，t1t20，则|t1t2|.由参数的几何意义得4，所以，00，故直线l与圆C有两个交点M，N，即方程有两个不相等的实数根t1

8、，t2，且t1t28cos 2sin ，t1t21.由于P(1，2)在直线l上，所以|PM|PN|t1|t2|1，即|PM|PN|为定值1.热点三极坐标与参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等. 例3 (2022云南师大附中模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos 2sin ，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若P(0，1)为平面直角坐标系中的一点，Q为C上的动点，求P

9、Q的中点M到直线l的距离的最大值.解(1)曲线C的极坐标方程为24cos 2sin ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y24x2y，即(x2)2(y1)25.将直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为2xy70.(2)法一设Q(2cos ，1sin )，则M，所以点M到直线l的距离d其中sin ，cos ，所以当cos()1时，dmax.法二由(1)知CP的中点D(1，1).因为M是PQ的中点，所以|DM|CQ|，所以点M的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，所以点M到直线l的距离的最大值为圆心D到直线l的距离加上圆D的半径.又点D到直线l的距离d2，所以点M到直线l的距离的最大值为2.规律方法

10、解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰.(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件.训练3 (2022柳州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos 2atan (a0).(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设P(4，2)，直线l与曲线C相交于M，N两点，若|PM|，|MN|，|PN|成

11、等比数列，求实数a的值.解(1)由(t为参数)消去t，可得直线l的普通方程为xy20.由cos 2atan 得cos22asin ，2cos22asin ，cos x，sin y，x22ay(a0).由tan 有意义可知cos 0，xcos 0，曲线C的直角坐标方程为x22ay(x0，a0).(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，得t22(4a)t8(4a)0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t22(4a)，t1t28(4a).|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，|PM|PN|MN|2，|t1|t2|t1t2|2，即|t1t2|(t1t2)24t1t2

12、，(t1t2)25t1t2，8(4a)240(4a)，a1(负根舍去).一、基本技能练1.(2022昆明质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos .(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；(2)若C1，C2交于A，B两点，求|OA|OB|.解(1)C1的普通方程为xy1，所以C1的极坐标方程为cos sin 1，C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)C1的极坐标方程为cos sin 1，C2的极坐标方程为4cos ，联立解得cos ，sin ，由sin2cos21得4122

13、80，得8，122，所以|OA|OB|122.2.(2022江南十校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为k4.(1)当k1时，求C1和C2的直角坐标方程；(2)当k2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求的值.解(1)将曲线C1的参数方程消参得曲线C1：xy10.当k1时，曲线C2的极坐标方程为3sin4，将xcos ，ysin 代入得曲线C2：3x3y40.(2)当k2时，C2的直角坐标方程为4x2y24，将C1的参数方程代入其中，整理得7t24t120，0，设A，B对应

14、在的参数方程为t1，t2，则t1t2，t1t2，所以.3.(2022太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos0.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知点P(3，)，曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求|PA|PB|的值.解(1)将(t为参数)的参数t消去得曲线C1的普通方程为x21.cos0，cos sin 0，将代入得曲线C2的直角坐标方程为xy0.(2)由题意得点P(3，)在曲线C2上，其参数方程可表示为(t为参数)，将上述参数方程代入x21得11t244t1

15、160，0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，t1t24，t1t2，(|PA|PB|)2(|PA|PB|)24|PA|PB|(t1t2)24t1t2.|PA|PB|.二、创新拓展练4.(2022成都七中诊断)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)，设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.(1)求曲线C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin3，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值.解(1)将直线l1，l2的参数方程化为普通方程，得l1：yk(x)，l2：y(x)，两式相乘消去k，可得y21.因为k0，所以y0.所以曲线C1的普通方程为y21(y0).(2)直线C2的直角坐标方程为xy60，由(1)知，曲线C1与直线C1无公共点.由于曲线C1的参数方程为(为参数，k，kZ)，所以曲线C1上的点Q(cos ，sin )到直线C2：xy60的距离d，所以当sin1，即时，d取得最大值为4.