创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题39　同构函数.doc

《创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题39　同构函数.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题39　同构函数.doc（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微专题39同构函数首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同的结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数的单调性解题，我们通常称这种解题方法为“同构”.类型一地位同等同构型1.含有同等地位的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.2.含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种：(1)g(x1)g(x2)f(x2)f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x2)，构造函数(x)g(x)f(x)；(2)k(x1x2)f(x1)f(x2)kx1k

2、x2f(x1)kx1f(x2)kx2，构造函数(x)f(x)kx；(3)(x1f(x1)f(x2)，构造函数(x)f(x).例1 (1)若2alog2a4b2log4b，则()A.a2b B.ab2 D.ab2(2)若0x1x2ln x2ln x1B.e x1e x2ln x2ln x1C.x2e x1x1e x2D.x2e x1x1e x2答案(1)B(2)C解析(1)由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增.又22blog2b22blog2b122blog2(2b)，2alog2a22blog2(2b

3、)，即f(a)f(2b)，aln x2ln x1e x2ln x2e x1ln x1，设f(x)exln x.f(x)ex，设g(x)xex1，则有g(x)(x1)ex0恒成立，所以g(x)在(0，1)单调递增，因为g(0)10，从而存在x0(0，1)，使得g(x0)0.由单调性可判断出，x(0，x0)，g(x)0f(x)0f(x)0，所以f(x)在(0，1)不单调，不等式不会恒成立，A不正确；B选项，e x1e x2ln x2ln x1e x1ln x1e x2ln x2，设函数f(x)exln x，可知f(x)单调递增，所以f(x1)x1e x2，构造函数f(x)，f(x)，则f(x)f(

4、x2)成立，C正确，D错误.训练1 (1)若2x2y0 B.ln(yx1)0 D.ln|xy|0(2)(2022八省联考)已知a5且ae55ea，b4且be44eb，c3且ce33ec，则()A.cba B.bcaC.acb D.abc答案(1)A(2)D解析(1)设函数f(x)2x3x.因为函数y2x与y3x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原已知条件等价于2x3x2y3y，即f(x)f(y)，所以x0，所以A正确，B不正确.因为|xy|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.(2)由题得，故令f(x)(x0)，f(x)，f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(a)

5、f(5)，f(b)f(4)，f(c)f(3)，f(1)，如图所示，0abc0，若不等式axlogax(a0，且a1)恒成立，则a的取值范围是_.答案(1)1，)(2)(e，)解析(1)由f(x)aex1ln xln a1，移项得aex1ln aln x1，即eln ax1ln aln x1，两边同时加(x1)，得eln ax1xln a1ln xx，即eln ax1(xln a1)ln xeln x.设g(t)tet，则g(t)1et0，所以g(t)单调递增，所以ln ax1ln x，即xln xln a10.设h(x)xln xln a1，则h(x)1，x0，所以h(x)在(0，1)上单调递

6、减，在(1，)上单调递增，所以h(x)minh(1)1ln a10，所以a1，故a的取值范围为1，).(2)当0alogax，所以a1，由axlogax，得exln a，x0，则xln aexln axln xeln xln x，故只需xln aln x即可，即ln a.因为f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，故f(x)maxf(e)，所以ln a，即ae.训练2 (1)已知函数f(x)exaln(axa)a(a0)，若f(x)0，则实数a的取值范围为_.(2)(2022郑州模拟)若不等式xaln xxa对x(1，)恒成立，则实数a的最小值是_.答案(1)(0，e2)(2)e

7、解析(1)由题意可知：exaln(axa)aln aln(x1)1exln axln ax1ln(x1)，可化为exln axln aeln(x1)ln(x1)，只需xln aln(x1)，即xln(x1)ln a.设g(x)xln(x1)，则g(x)，x(1，2)，g(x)0，g(x)单调递增，故g(x)g(2)2，故ln a2，故ae2.综上，0a0，所以ff(xa).因为f(t)1，易得f(t)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.当x1时，01，xa与1的大小不定，但当实数a充分小时，只需考虑其为负数的情况，此时0xalg ，则()A.ln xln(y1) B.ln(x1)lg

8、 yC.3x1答案D解析ln xln ylg ylg xln xlg xln ylg y，设f(x)ln xlg y，f(x)f(y)xy.xy0，2xy1，故D正确.2.(2022湖南五市十校联考)已知x，y满足log3xlog3y B.x3y3C.2xy0答案D解析原不等式可化为log3xlog3y，令f(x)log3x，显然f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(y)，0xy，xy0)，若函数f(x)在区间(0，)内存在零点，则实数a的取值范围是()A.(0，1 B.1，)C.(0，e D.3，)答案B解析由exx1得f(x)eln(ax)1xxln(ax)2eln(ax)1x(ln(

9、ax)1x)10，当ln(ax)1x0ln(ax)x1ax1，即a1时f(x)0成立，f(x)在(0，)上有零点.4.(2022安庆模拟)已知m，n都是正整数，且emln nem B.memC.nen答案A解析因为emln nmn，所以emm0)，所以f(x)ex10，故f(x)在(0，)上单调递增，由已知得f(m)f(ln n)，故mln n，因为m，n都是正整数，即em0)若对于任意两个不等的正实数x1、x2，都有2恒成立，则a的取值范围是()A.(0，1 B.1，)C.(0，3 D.1，2e)答案B解析不妨设x1x20，可得f(x1)f(x2)2x12x2，可得f(x1)2x1f(x2)

10、2x2，令g(x)f(x)2xaln xx22x，则g(x1)g(x2)，所以，函数g(x)在(0，)上为增函数，g(x)x20对任意的x0恒成立，所以a2xx2，当x0时，2xx2(x1)211，当且仅当x1时，等号成立，所以a1.6.已知x0是方程2x2e2xln x0的实根，则关于实数x0的判断正确的是()A.x0ln 2 B.x0C.2x0ln x00 D.2ex0ln x00答案C解析由题意得2xe2x0ln x0，即2x0e2x0eln x0(ln x0)，令f(x)xex，所以f(2x0)f(ln x0)，则f(x)ex(x1)0，函数f(x)在定义域内单调递增，结合函数的单调性

11、有2x0ln x0，即2x0ln x00，故选C.7.设实数m0，若对任意的xe，不等式x2ln xme0恒成立，则m的最大值是()A. B. C.e D.2e答案C解析x2ln xme0变形为ln xeln xe，构造函数g(x)xex(x0)，则g(x)(x1)ex0，所以g(x)在(0，)上单调递增.又f(ln x)f，所以ln x，即mxln x，只需m(xln x)mine.8.已知，若eesin 2sin ，则下列结论一定成立的是()A. B.C. D.0，所以eesin 2sin sin sin ，整理可得：esin 0，故f(x)在x上单调递增，所以ln ，则a，b，的大小关系

12、是_.答案ab解析ln bln a，ln aln b，令g(x)ln x，x，g(x)0，g(x)在(，)上单调递增.g(a)g(b)，ab，又，ab.12.若关于x的不等式x2e3x(k3)x2ln x1对任意x0恒成立，则k的取值范围是_.答案(，0解析原不等式可变形为e2ln x3x(3x2ln x)kx1，e2ln x3x(3x2ln x)1kx，利用exx1，可得kx0，又x0，故k0. 二、创新拓展练13.若不等式xln xa对x(0，)恒成立，则a的最大值为()A.1 B. C.0 D.e答案C解析由题意，得exln x1xln xa，即exln x1xln x11a，即exln

13、 x1(xln x1)1a，设txln x1，x0.则t1，故当0x1时，t1时，t0，t单调递增，所以当x1时，tmin1010，设f(t)ett，t0，f(t)et10，故f(t)在0，)上单调递增，f(t)minf(0)1，故1a1，可得a0.14.若关于x的方程30有三个不相等的实数根x1，x2，x3，且x1x20，即30有3个不等实数根.令t(x0)，则有t30，即t24tm30，(1)令g(x)(x0)，则g(x)，g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减(如图)，则(1)有2个实数根t1和t2，且t1t24，t1t2m3，不妨t10，则有2t1t2t22(t1t2)8

14、.15.(2022济南模拟)若对于任意实数x0，不等式2ae2xln xln a0恒成立，则a的取值范围是_.答案解析法一将2ae2xln xln a0变形为2ae2xln ，则2e2xln ，两边同时乘以x得2xe2xln ，即2xe2xln eln ln (*).设g(t)tet(t0)，则g(t)(1t)et0，所以g(t)在(0，)上单调递增，故由(*)得2xln ，则ln aln x2x.令h(x)ln x2x，x0，则h(x)2，易知当x时，h(x)单调递增，当x时，h(x)单调递减，故h(x)maxhln 21，所以ln aln 21，即a，故a的取值范围为.法二将2ae2xln

15、 xln a0变形为eln 2a2xln xln a0，即eln 2a2xln 2aln 2x，则eln 2a2x2xln 2a2xln 2xeln 2xln 2x.设g(t)ett，易知g(t)单调递增，故2xln 2aln 2x，以下同法一.16.已知函数f(x)exaln x(其中a为参数)，若对任意x(0，)，不等式f(x)aln a恒成立，则正实数a的取值范围是_.答案(0，e)解析由f(x)aln a，得ln aln x，即exln aln aln x，两边同时加x得exln axln aeln xln x.令g(t)ett，则g(xln a)g(ln x)，因为g(t)为单调增函数，所以xln aln x，即ln axln x，令h(x)xln x，则h(x).所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)minh(1)1，所以ln a1，解得0ae.