创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题20 直线与圆.doc
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1、板块四平面解析几何微专题20直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现.1.(2020全国卷)点(0,1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A.1 B. C. D.2答案B解析设点A(0,1),直线l:yk(x1),由l恒过定点B(1,0),知当ABl时,点A(0,1)到直线yk(x1)的距离最大,最大值为.2.(2022北京卷)若直线2xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴,则a()A. B. C.1 D.1答案A解析依题意可知圆心坐标为(a,0),又直线2xy10是圆
2、的一条对称轴,所以2a010,所以a,故选A.3.(2021新高考卷改编)已知点P在圆(x5)2(y5)216上,点A(4,0),B(0,2),则下面结论错误的是()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时,|PB|3D.当PBA最大时,|PB|3答案B解析设圆(x5)2(y5)216的圆心为M(5,5),半径为4.由题意知直线AB的方程为1,即x2y40,则圆心M到直线AB的距离d4,所以直线AB与圆M相离,所以点P到直线AB的距离的最大值为4d4,又4510,故A正确;易知点P到直线AB的距离的最小值为d44,又40,则点O(0,0)到l3的距离为1
3、,所以1,解得t或t(舍去),所以公切线l3的方程为yx,即3x4y50.综上,所求直线方程为x1或7x24y250或3x4y50.热点一直线的方程1.已知直线l1:A1xB1yC10(A1,B1不同时为零),直线l2:A2xB2yC20(A2,B2不同时为零),则l1l2A1B2A2B10,且A1C2A2C10;l1l2A1A2B1B20.2.点P(x0,y0)到直线l:AxByC0(A,B不同时为零)的距离d.3.两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(A,B不同时为零)间的距离d.例1 (1)(2022安徽江淮十校联考)“a1”是“直线2xay40与直线(a1)xy20平
4、行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kxy20与直线l2:xky20相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线xy40的距离的最大值为_.答案(1)C(2)3解析(1)由两直线平行,得12(a1)a0,解得a2或a1,检验:当a2时,两直线重合,舍去;当a1时,两直线平行.所以“a1”是“直线2xay40与直线(a1)xy20平行”的充要条件.故选C.(2)由题意得,当k0时,直线l1:kxy20的斜率为k,且经过点A(0,2),直线l2:xky20的斜率为,且经过点B(2,0),且直线l1l2,所以点P落在
5、以AB为直径的圆C上,其中圆心坐标为C(1,1),半径为r,由圆心到直线xy40的距离为d2,得点P到直线xy40的最大距离为dr23.当k0时,l1l2,此时点P(2,2).点P到直线xy40的距离d2.综上,点P到直线xy40的距离的最大值为3.易错提醒(1)求解两条直线平行的问题时,利用A1B2A2B10建立方程求出参数值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况.(2)设直线方程时,要注意斜率是否存在及各种形式的方程的适用条件.训练1 (1)(2022郑州调研)若直线l1:ykxk1与直线l2关于点(2,3)对称,则直线l2过定点()A.(3,5) B.(3,5)C.(3,5) D.(
6、5,3)(2)若平面内两条平行线l1:x(a1)y20,l2:ax2y10间的距离为,则实数a等于()A.2 B.2或1C.1 D.1或2答案(1)C(2)C解析(1)直线l1:ykxk1,当x1时,y1,与k无关,故直线l1过定点(1,1).点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5),直线l1:ykxk1与直线l2关于点(2,3)对称,直线l2过定点(3,5).故选C.(2)l1l2,a(a1)2,解得a2或a1,当a2时,d,不符合题意;当a1时,d.热点二圆的方程(1)圆的标准方程:(xa)2(yb)2r2(r0),圆心为(a,b),半径为r.(2)圆的一般方程:x2y2Dx
7、EyF0(D2E24F0),圆心为,半径为r.例2 (1)(2022全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_.答案(x2)2(y3)213或(x2)2(y1)25或或(y1)2解析依题意设圆的方程为x2y2DxEyF0,其中D2E24F0.若过(0,0),(4,0),(1,1),则解得满足D2E24F0,所以圆的方程为x2y24x6y0,即(x2)2(y3)213;若过(0,0),(4,0),(4,2),则解得满足D2E24F0,所以圆的方程为x2y24x2y0,即(x2)2(y1)25;若过(0,0),(1,1),(4,2),则解得满足D2E2
8、4F0,所以圆的方程为x2y2xy0,即;若过(1,1),(4,0),(4,2),则解得满足D2E24F0,所以圆的方程为x2y2x2y0,即(y1)2.(2)阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点A,B(5,0)的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为x2y29.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆O:x2y21上的动点M和定点A,B(1,1
9、),则2|MA|MB|的最小值为()A. B. C. D.答案C解析如图,取点K(2,0),连接OM,MK.当M在x轴上时,|MK|2|MA|.当M不在x轴上时,|OM|1,|OA|,|OK|2,2.MOKAOM.MOKAOM,2,|MK|2|MA|,|MB|2|MA|MB|MK|,连接BK,易知|MB|MK|BK|,|MB|2|MA|MB|MK|的最小值为|BK|的长.B(1,1),K(2,0),|BK|.故选C.规律方法(1)求圆的方程常用待定系数法(代数法、几何法).(2)涉及圆上动点的最值问题:连接圆心再数形结合,利用换元法:对于圆(xa)2(yb)2r2,设(为参数),转化为三角函数
10、求范围问题.训练2 (1)(2022全国甲卷)设点M在直线2xy10上,点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程为_.答案(x1)2(y1)25解析法一设M的方程为(xa)2(yb)2r2,则解得M的方程为(x1)2(y1)25.法二设M的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0),则M(,),解得M的方程为x2y22x2y30,即(x1)2(y1)25.法三设A(3,0),B(0,1),M的半径为r,则kAB,AB的中点坐标为(,),AB的垂直平分线方程为y3(x),即3xy40.联立得解得所以M(1,1),r2|MA|2(31)20(1)25,M的方程为(x1)2(y1)25.(2)
11、(2022兰州诊断)已知点P为圆C:(x1)2(y2)24上一点,A(0,6),B(4,0),则|的最大值为()A.2 B.4C.24 D.22答案C解析取AB中点D(2,3),则2,|2|2|,又由题意知,圆C的圆心C(1,2),半径为2,|的最大值为圆心C(1,2)到D(2,3)的距离d与半径r的和,又d,dr2,2|的最大值为24,即|的最大值为24.热点三直线、圆的位置关系1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离.判断方法:(1)点线距离法(几何法);(2)判别式法(代数法).2.圆与圆的位置关系,即内含、内切、相交、外切、外离. 考向1直线与圆的位置关系例3 (1)(2022抚顺一模
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