创新设计二轮理科数学配套PPT课件微专题17　球的切、接、截问题.pptx

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1、INNOVATIVE DESIGN上篇板块三 立体几何与空间向量立体几何与空间向量微专题17球的切、接、截问题题型聚焦 分类突破高分训练 对接高考索引索引索引1题型聚焦 分类突破/索引核心归纳核心归纳类型一外接球问题考向考向1墙角模型角模型墙角角模模型型是是三三棱棱锥有有一一条条侧棱棱垂垂直直于于底底面面且且底底面面是是直直角角三三角角形形的的模模型型，用用构构造造法法(构构造造长方方体体)解解决决，外外接接球球的的直直径径等等于于长方方体体的的体体对角角线长.长方方体体同同一一顶点点的的三三条条棱棱长分分别为a，b，c，外接球半径，外接球半径为R.索引索引D 例例1 已已知知三三棱棱锥PAB

2、C的的四四个个顶点点在在球球O的的球球面面上上，PAPBPC，ABC是是边长为2的的正正三三角角形形，E，F分分别是是PA，AB的的中中点点，CEF90，则球球O的的体体积为()解析解析因因为点点E，F分分别为PA，AB的中点，的中点，所以所以EFPB.因因为CEF90，所以所以EFCE，所以所以PBCE.取取AC的中点的中点D，连接接BD，PD，易，易证AC平面平面BDP，所以，所以PBAC，索引又又ACCEC，AC，CE 平面平面PAC，所以所以PB平面平面PAC，所以所以PBPA，PBPC，因因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以正三角形，所以PAPC，即即PA，PB，PC两两垂直，将

3、三棱两两垂直，将三棱锥PABC放在正方体中如放在正方体中如图所示所示.索引考向考向2汉堡模型堡模型核心归纳核心归纳汉堡堡模模型型是是直直三三棱棱柱柱内内接接于于球球的的模模型型，棱棱柱柱的的上上下下底底面面可可以以是是任任意意三三角角形形.如如图1为底面是一般三角形，底面是一般三角形，图2底面是直角三角形底面是直角三角形.索引索引B例例2(2022洛洛阳阳质检)在在三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，ABBCAC，侧棱棱AA1底底面面ABC，若若该三三棱棱柱柱的的所所有有顶点点都都在在同同一一个个球球O的的表表面面上上，且且球球O的的表表面面积的的最最小小值为4，则该三棱柱的三棱柱的侧面面积为

4、()解解析析如如图，设三三棱棱柱柱上上、下下底底面面中中心心分分别为O1，O2，则O1O2的的中中点点为O，设球球O的半径的半径为R，则OAR，设ABBCACa，AA1h，索引索引考向考向3垂面模型垂面模型核心归纳核心归纳垂垂面面模模型型是是一一条条直直线垂垂直直于于一一个个平平面面的的模模型型.如如图，PA平平面面ABC，求求外外接接球球的的半径半径.索引B解解析析设四四棱棱锥PABCD外外接接球球的的球球心心为O，过O作作底底面面ABCD的的垂垂线，垂垂足足为M，因因为四四边形形ABCD是矩形，是矩形，所所以以M为底底面面中中心心，即即对角角线AC与与BD的的交交点点，过O作作三三角角形形

5、APD的垂的垂线，垂足，垂足为N，索引所以所以N是正三角形是正三角形APD外心，外心，又平面又平面APD平面平面ABCD，平面，平面APD平面平面ABCDAD，NE 平面平面APD，所以所以NE平面平面ABCD，所以所以NEOM，所以所以EM平面平面APD，所以所以EMON，索引所以四所以四边形形MENO是平行四是平行四边形，形，即即OMNE，设AD2x，索引因因为ABCDEM，所以所以AB平面平面APD，CD平面平面APD，又又PA，PD 平面平面PAD，所以所以PAAB，PDCD，索引所以所以H为BC的中点，的中点，索引A又又四四边形形ABCD是是等等腰腰梯梯形形，故故四四边形形ABCD的

6、的外外接接圆直直径径为AB，设AB的的中中点点为O1，球的半径，球的半径为R，因因为SD平面平面ABCD，索引则S4R25.索引B设圆柱的上底面半径柱的上底面半径为r，球的半径与上底面，球的半径与上底面夹角角为，则r2cos，圆柱的高柱的高为4sin，所以所以圆柱的柱的侧面面积为4cos 4sin 8sin 2，索引即即sin 21时，圆柱的柱的侧面面积最大，最大，所以所以圆柱的柱的侧面面积的最大的最大值为8，故，故选B.索引解析解析如如图，在四棱，在四棱锥PABCD中，中，6所以所以PA2PB2AB2，即即PAPB，则PAB为等腰直角三角形等腰直角三角形.因因为四四边形形ABCD为矩形，矩形

7、，所以所以BCAB.索引又平面又平面PAB平面平面ABCD，且平面，且平面PAB平面平面ABCDAB，BC 平面平面ABCD，所以所以BC平面平面PAB，又又PB 平面平面PAB，则PBBC.设PAPBa，BCb，索引设ACBDO，则O为四棱四棱锥PABCD外接球的球心，外接球的球心，设外接球的半径外接球的半径为R，/索引类型二内切球问题核心归纳核心归纳索引C例例4(1)(2022成成都都石石室室中中学学三三诊)九九章章算算术中中将将四四个个面面都都为直直角角三三角角形形的的三三棱棱锥称称之之为鳖臑臑.若若三三棱棱锥PABC为鳖臑臑，PA平平面面ABC，PABC4，AB3，ABBC，若三棱，若

8、三棱锥PABC有一个内切球有一个内切球O，则球球O的体的体积为()解析解析设球球O的半径的半径为r，则三棱三棱锥PABC的体的体积索引A(2)在在直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中，AA1AB6，BC8，AC10，则该三三棱棱柱柱内能放置的最大球的表面内能放置的最大球的表面积是是()A.16 B.24 C.36 D.64又因又因为AA16，2r46，所以所以该三棱柱内能放置的最大球半径三棱柱内能放置的最大球半径为2，此，此时S表面表面积4r242216.索引训训练练2 已已知知圆锥的的底底面面半半径径为1，母母线长为3，则该圆锥内内半半径径最最大大的的球球的的体体积为_.解解析析圆锥内内半

9、半径径最最大大的的球球即即为圆锥的的内内切切球球，设其其半半径径为r.作作出出圆锥的的轴截截面面PAB，如，如图所示，所示，则PAB的内切的内切圆为圆锥的内切球的大的内切球的大圆.在在PAB中，中，PAPB3，D为AB的中点，的中点，AB2，E为切点，切点，/索引类型三球的截面问题核心归纳核心归纳解决球的截面解决球的截面问题抓住以下几个方面：抓住以下几个方面：(1)球球心心到到截截面面圆的的距距离离；(2)截截面面圆的的半半径径；(3)直直角角三三角角形形(球球心心到到截截面面圆的的距距离、截面离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形的半径、球的半径构成的直角三角形).索引D所以所以PB2P

10、A2AB2，即，即PBPA，同理同理PBPC，PCPA，因此正三棱因此正三棱锥PABC可看作正方体的一角，如可看作正方体的一角，如图.记正正方方体体的的体体对角角线的的中中点点为O，由由正正方方体体结构构特特征征可可得得，点点O即即是是正正方方体体的的外外接接球球球球心心，所所以以点点O也也是是正正三三棱棱锥PABC外外接接球球的的球球心心，记外外接接球球半半径径为R，索引因因为球的最大截面球的最大截面圆为过球心的球心的圆，所以所以过点点Q的平面截三棱的平面截三棱锥PABC的外接球所得截面的面的外接球所得截面的面积最大最大为索引所以所以Sminr2.索引C棱棱长为4的的正正方方体体正正好好由由

11、6个个相相同同的的此此四四棱棱锥组成成，如如图所所示示，O为正正方方体体中中心心，以以O为球球心心，2为半半径径的的球球正正好好在在正方体的内部，正方体的内部，则球与球与该四棱四棱锥相交部分的体相交部分的体积是是索引2高分训练 对接高考/索引12345678910 11 12 13 14 15 16A一、基本技能练1.已已知知一一个个正正方方体体的的所所有有顶点点在在一一个个球球面面上上，若若这个个正正方方体体的的表表面面积为18，则这个球的体个球的体积为()设该正方体外接球的半径正方体外接球的半径为R，索引12345678910 11 12 13 14 15 16C2.(2022保保定定二二

12、模模)已已知知直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1的的6个个顶点点都都在在球球O的的球球面面上上，若若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球球O的半径的半径为()解析解析如如图，由球心作平面，由球心作平面ABC的垂的垂线，则垂足垂足为BC的中点的中点M，索引12345678910 11 12 13 14 15 16C索引12345678910 11 12 13 14 15 16A设该棱棱台台上上、下下底底面面的的外外接接圆的的圆心心分分别为O1，O2，连接接O1O2，则O1O21，其外接球的球心其外接球的球心O在直在直线O1O2上上.索引12345678910 11 12 13 14 15

13、16所以所以R225，所以所以该球的表面球的表面积为4R2100.综上，上，该球的表面球的表面积为100.索引12345678910 11 12 13 14 15 16D5.已已知知A，B是是球球O的的球球面面上上两两点点，AB2，过AB作作互互相相垂垂直直的的两两个个平平面面截截球球得得到到圆O1和和圆O2，若，若AO1B90，AO2B60，则球的表面球的表面积为()A.5 B.10 C.15 D.20解解析析令令圆O1、圆O2的的半半径径分分别为r1，r2，由由AO1B90，AO2B60，AB2，索引12345678910 11 12 13 14 15 16A6.如如图，网网格格纸上上小小

14、正正方方形形的的边长为1，粗粗实线画画出出的的是是某某几几何何体体的的三三视图，则该几几何何体体外外接接球球的的表表面面积是是()A.12 B.8 C.6 D.4解析解析由三由三视图还原出几何体的直原出几何体的直观图如如图所示，所示，则ABBCCD2，AB平面平面BCD，BCCD，易知易知AD是三棱是三棱锥ABCD外接球的直径，外接球的直径，索引12345678910 11 12 13 14 15 16A7.如如图，已已知知球球O是是棱棱长为3的的正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的内内切球，切球，则平面平面ACD1截球截球O的截面面的截面面积为()索引12345678910 11 12

15、13 14 15 16D8.如如图所所示示，直直三三棱棱柱柱ABCA1B1C1是是一一块石石材材，测量量得得ABC90，AB6，BC8，AA113.若若将将该石石材材切切削削、打打磨磨，加加工工成成几几个个大大小小相相同同的的健健身身手手球球，则一一个个加加工工所所得得的的健健身身手手球球的的最大体最大体积及此及此时加工成的健身手球的个数分加工成的健身手球的个数分别为()解解析析依依题意意知知，当当健健身身手手球球与与直直三三棱棱柱柱的的三三个个侧面面均均相相切切时，健健身身手手球球的的体体积最大，其半径即最大，其半径即为RtABC内切内切圆的半径的半径.设健身手球的最大半径健身手球的最大半径

16、为R，索引12345678910 11 12 13 14 15 16解得解得R2.则健身手球的最大直径健身手球的最大直径为4.因因为AA113，所以最多可加工，所以最多可加工3个健身手球个健身手球.索引12345678910 11 12 13 14 15 169.(2022银川川三三模模)在在三三棱棱锥PABC中中，PA底底面面ABC，ABAC，AB6，AC8，D是是线段段AC上上一一点点，且且AD3DC.三三棱棱锥PABC的的各各个个顶点点都都在在球球O表表面面上上，过点点D作作球球O的的截截面面，若若所所得得截截面面圆的的面面积的的最最大大值与与最最小小值之之差差为16，则球球O的表面的表

17、面积为()A.72 B.86 C.112 D.128C解解析析将将三三棱棱锥PABC补成成直直三三棱棱柱柱，且且三三棱棱锥和和该直直三三棱棱柱柱的的外外接接球球都都是是球球O，记ABC的的中中心心为O1，设球球的的半半径径为R，PA2x，则球球心心O到到平平面面ABC的的距距离离为x，即，即OO1x，连接接O1A，则O1A5，所以所以R2x225.索引12345678910 11 12 13 14 15 16在在ABC中，取中，取AC的中点的中点为E，连接接O1D，O1E，由由题意意得得到到当当截截面面与与直直线OD垂垂直直时，截截面面面面积最最小小，设此此时截截面面圆的的半半径径为r，则r2

18、R2OD2x225(x213)12，所所以以最最小小截截面面圆的的面面积为12，当当截截面面过球球心心时，截截面面面面积最最大大为R2，所所以以R21216，R228，球球的的表表面面积为4R2112.索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析设三棱三棱锥PABC的外接球的半径的外接球的半径为R.A因因为三棱三棱锥PABC的外接球的表面的外接球的表面积为64，所以所以4R264，解得，解得R4.又又PA8，所以所以PA为球的直径，球的直径，则PA的中点的中点O为三棱三棱锥PABC的外接球的球心的外接球的球心.索引12345678910 11 12 13 14 15

19、16取取BC的中点的中点D，连接接OD，DA，则DA2，OD平面平面ABC，索引12345678910 11 12 13 14 15 1611.(2022湛湛江江一一模模)若若三三棱棱锥ABCD中中，ABCD6，其其余余各各棱棱长均均为5，则三三棱棱锥内切球的表面内切球的表面积为_.如如图，取，取CD的中点的中点O，连接接AO，BO，则CD平面平面AOB，所以所以AOBO4，索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引12345678910 11 12 13 14 15 1612.已已知知一一个个高高为1的的三三棱棱锥，各各侧棱棱长都都相相等等，底底面面是是边长为2的的等

20、等边三三角角形形，那那么么该三三棱棱锥的的表表面面积为_，若若三三棱棱锥内内有有一一个个体体积为V的的球球，则V的的最最大大值为_.索引12345678910 11 12 13 14 15 16由由题意知，当球与三棱意知，当球与三棱锥的四个面都相切的四个面都相切时，其体，其体积最大最大.设三棱三棱锥的内切球的半径的内切球的半径为r，/索引12345678910 11 12 13 14 15 16二、创新拓展练B解解析析如如图，取取AD，BC的的中中点点分分别为O1，O2，过点点O1作作平平面面ABD的的垂垂线，过O2作作平平面面BCD的的垂垂线，两两垂垂线的的交交点点O即即为所求球的球心，所求

21、球的球心，索引12345678910 11 12 13 14 15 16取取BD中点中点E，连接接O1E，O2E，则O1EO2即即为二面角二面角ABDC的平面角，的平面角，且且O1EO2E1，索引12345678910 11 12 13 14 15 16D索引12345678910 11 12 13 14 15 16所以所以AB2AC2BC2，524索引12345678910 11 12 13 14 15 16由由题知，因知，因为ABC是直角三角形，是直角三角形，所以所以D为底面底面ABC外接外接圆的的圆心，心，当当DO截截面面时，截截面面面面积最最小小，即即截截面面为平平面面ABC，由由外外

22、接接圆的的半半径径为2，知知截面面截面面积的最小的最小值为224.索引12345678910 11 12 13 14 15 1616.(2022潍坊坊三三模模)阿阿基基米米德德在在他他的的著著作作论圆和和圆柱柱中中，证明明了了数数学学史史上上著著名名的的圆柱柱容容球球定定理理：圆柱柱的的内内切切球球(与与圆柱柱的的两两底底面面及及侧面面都都相相切切的的球球)的的体体积与与圆柱柱的的体体积之之比比等等于于它它们的的表表面面积之之比比.可可证明明该定定理理推推广广到到圆锥容容球球也也正正确确，即即圆锥的的内内切切球球(与与圆锥的的底底面面及及侧面面都都相相切切的的球球)的的体体积与与圆锥的的体体积之之比比等等于它于它们的表面的表面积之比，之比，则该比比值的最大的最大值为_.解解析析设圆锥的的底底面面圆半半径径为r，母母线长为l，圆锥内内切切球球半半径径为R，作出，作出圆锥的的轴截面如截面如图所示所示.索引12345678910 11 12 13 14 15 16ODAB，OEBC，DBEDOE，又又AODDOE，AODDBE2，ADRtan 2，索引12345678910 11 12 13 14 15 16又又圆锥内切球表面内切球表面积S24R2，令令ttan2，0t1，INNOVATIVE DESIGNTHANKS本节内容结束