创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题2　三角恒等变换与解三角形.doc

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1、微专题2三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，注重基础知识、基本能力的考查.1.(2021全国乙卷)cos2cos2()A. B. C. D.答案D解析因为cossinsin ，所以cos2cos2cos2sin2cos .故选D.2.(2022新高考卷)若sin()cos()2cossin ，则()A.tan()1B.tan()1C.tan()1D.tan()1答案

2、C解析由题意得sin cos sin cos cos cos sin sin 2(cos sin )sin ，整理，得sin cos sin cos cos cos sin sin 0，即sin()cos()0，所以tan()1，故选C.3.(2021全国甲卷)在ABC中，已知B120，AC，AB2，则BC()A.1 B. C. D.3答案D解析法一由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B，得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去).故选D.法二由正弦定理，得sin C，从而cos C(C是锐角)，所以sin A sin (BC)sin (BC)sin Bcos Ccos Bs

3、in C.又，所以BC3.故选D.4.(2021浙江卷)在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM2， 则AC_；cos MAC_.答案2解析由B60，AB2，AM2，及余弦定理可得BM4，因为M为BC的中点，所以BC8.在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22BCABcos B46428252，所以AC2，所以在AMC中，由余弦定理得cosMAC.5.(2022全国乙卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(AB)sin Bsin(CA).(1)若A2B，求C；(2)证明：2a2b2c2.(1)解由A2B，ABC，可得A.将A2B代入sin Csi

4、n(AB)sin Bsin(CA)，可得sin Csin Bsin Bsin(CA).因为B(0，)，所以sin B0，所以sin Csin(CA).又A，C(0，)，所以CCA，即A2C，与A联立，解得C.(2)证明法一由sin Csin(AB)sin Bsin(CA)，可得sin Csin Acos Bsin Ccos Asin Bsin Bsin Ccos Asin Bcos Csin A，结合正弦定理可得，accos Bbccos Abccos Aabcos C，即accos Babcos C2bccos A(*).由余弦定理得，accos B，abcos C，2bccos Ab2c2

5、a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2b2c2.法二因为ABC，所以sin Csin(AB)sin(AB)sin(AB)sin2Acos2Bcos2Asin2Bsin2A(1sin2B)(1sin2A)sin2Bsin2Asin2B，同理有sin Bsin(CA)sin(CA)sin(CA)sin2Csin2A.又sin Csin(AB)sin Bsin(CA)，所以sin2Asin2Bsin2Csin2A，即2sin2Asin2Bsin2C，故由正弦定理可得2a2b2c2.热点一三角恒等变换1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)

6、数值代换：常用到“1”的代换，1sin2cos2tan 45等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化，实现角和函数名的统一. 例1 (1)(2022长沙长郡中学调研)已知且12cos27sin 240，若tan()3，则tan ()A.或7 B.或1C.1 D.(2)(2022深圳质检)已知，(0，)且tan ，cos ，则()A. B. C. D.答案(1)D(2)B解析(1)由12cos27sin 240，得4cos27sin cos 2sin20，2tan27tan

7、40，由，得tan 4.又tan()3，tan tan()，故选D.(2)因为，(0，)且tan ，cos ，所以，sin ，tan 3，因为tan()1，所以.故选B.易错提醒(1)求三角函数值时，要注意根据角的范围判断三角函数值的符号来确定其值.(2)对于给值求角问题，要根据已知角求这个角的某个三角函数值，然后结合角的范围求出角的大小，求解时，要尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.训练1 (1)(2022重庆诊断)已知，若sin ，则cos()A. B.C. D.(2)(2022盐城二模)计算所得的结果为()A.1 B. C. D.2答案(1)D(2)C解析(1)由且sin ，得cos ，

8、则coscos cos sin sin .故选D.(2)原式.热点二正弦定理和余弦定理1.正弦定理：在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径).变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C等.2.余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos A.例2 (1)(2022邢台联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(ab)(sin Asin B)csin Cb(1cos A)sin C，则cos A()A. B. C. D.(2)(2022烟台模

9、拟)在ABC中，已知C120，sin B2sin A，且ABC的面积为2，则AB的长为_.答案(1)A(2)2解析(1)由题意及正弦定理可得(ab)(ab)c2bc(1cos A)，整理得a2b2c2bc(1cos A)，因为a2b2c22bccos A，所以2cos A1cos A，解得cos A.(2)设角A，B，C的对边分别为a，b，c.由sin B2sin A及正弦定理可得b2a，SABCabsin Ca2a2，a2，b4，由余弦定理可得c241622428，c2.规律方法(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.

10、(2)涉及边a，b，c的齐次等式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练2 (1)(2022泰安三模)在ABC中，AC3，BC2，cos C，则tan A()A. B. C. D.(2)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B等于()A. B. C. D.答案(1)D(2)A解析(1)由余弦定理得AB2AC2BC22BCACcos C32222324，所以AB2，所以ABBC，所以AC，所以cos Acos C，则sin A，故tan A.故选D.(2)由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C42322439，所以AB3，所以cos B.故选A.热点

11、三正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用Sabsin C形式的面积公式.3.在ABC中，有abcos Cccos B，bacos Cccos A，cacos Bbcos A，称为射影定理，在小题中使用可快速化简，大题解答时需有简单证明过程.例3 (2021全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45

12、，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473答案B解析如图所示，根据题意过C作CECB，交BB于E，过B作BDAB，交AA于D，则BE100，CBCE.在ACB中，CAB180ACBABC75，则BDAB，又在B点处测得A点的仰角为45，所以ADBD，所以高度差AACCADBE100100100100100(1)100373.例4 (2022北京海淀区模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin Bbcos A.(1

13、)求A；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使ABC存在且唯一确定，并求ABC的面积.第组条件：a，c5.第组条件：cos C，c4.第组条件：AB边上的高h，a3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解(1)因为asin Bbcos A，由正弦定理可得sin Asin Bsin Bcos A，又B(0，)，所以sin B0，则sin Acos A，即tan A，又A(0，)，所以A.(2)若选择第组条件，由余弦定理可得a2b2c22bccos A，即19b2255b，解得b2或3，不符合题意，故不能选第组条件.若选择第组条件，因为C(0，)，cos C，所以sin C

14、，由正弦定理可得a3，则sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，此时ABC的面积Sacsin B3443.若选择第组条件，因为AB边上的高h，所以bsin ，则b2，由余弦定理a2b2c22bccos A，得94c22c，解得c1(舍负)，此时ABC的面积Sbcsin A2(1).规律方法(1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(Sabsin Cbcsin Aacsin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练3 (1)(2022湖南三湘名校联考)

15、如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角DAB30，且sinBAC，则此时返回舱底端离地面的距离CD_(3.14，sinACB，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案20 m解析设半球的半径为r m，则2r21 200，r14，BC5r70 m.在ABC中，由正弦定理得，则AB70180(m)，BD90 m，则CDBDBC20(m).(2)(2022青岛调研)从2bsin Aata

16、n B，a2b2acc2，sin Bcos B1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_.()求B的大小；()若b2，SABC，求ABC的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解()若选：因为2bsin Aatan B，所以2ab，所以cos B，因为B(0，)，所以B.若选：因为a2b2acc2，所以a2c2b2ac，所以2accos Bac，所以cos B，因为B(0，)，所以B.若选：因为sin Bcos B1，所以sin Bcos B1，所以2sin1，所以sin，因为B，所以B，所以B.()因为b2a2c2

17、2accos B，所以a2c2ac4，又SABCacsin B，所以ac2，所以(ac)23ac4，所以(ac)210，所以ac，所以ABC的周长为2.一、基本技能练1.(2022河北省级联测)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，B135，b，c，则a()A.2 B. C.3 D.2答案B解析由余弦定理得b2a2c2ac，即15a2a3，解得a(舍负).故选B.2.(2022山东新高考联考)已知sin，则sin()A. B. C. D.答案D解析设，则，sin ，从而sinsinsincos 212sin2.故选D.3.(2022贵阳质检)在ABC中，若asin Bcbcos A，则

18、B()A. B. C. D.答案B解析由asin Bcbcos A及正弦定理，得sin Asin Bsin Csin Bcos A，又sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，则sin Asin Bsin Acos B，sin A0，tan B，又B(0，)，则B.4.(2022深圳六校联考)已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是()A.a1，b2，AB.a2，b1，AC.a2，b3，AD.a4，b3，A答案C解析对于A，由且a1，b2，A，得，sin B1，所以ABC无解.对于B，由且a2，b1，A，得，sin B1，

19、又ba，B(0，)，所以B的值有2个，ABC有两解.对于D，由且a4，b3，A，得，sin B1，又b0，可得.所以sin cos ，所以，整理得tan 或tan ，又，所以tan .14.(2022浙江卷)若3sin sin ，则sin _，cos 2_.答案解析因为，所以，所以3sin sin 3sin sin3sin cos sin()，其中sin ，cos .所以2k，kZ，所以2k，kZ，所以sin sincos ，kZ.因为sin 3sin ，所以cos 212sin21.15.(2022沈阳市郊联体一模)滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，秋

20、水共长天一色”而名传千古.如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30，60，45，且ABBC75米，则滕王阁的高度OP_米.答案15解析设OPh，由题意知PAO30，PBO60，PCO45，所以OA3h，OBh，OCh.在OBC中，由余弦定理OC2OB2BC22OBBCcosOBC，得3h2h2752275hcosOBC，在OAB中，由余弦定理OA2OB2AB22OBABcosOBA，得9h2h2752275hcosOBA，因为cosOBCcosOBA0，所以，得12h22h22752，解得h15，所以OPh15(米).16.(2022北京昌平区调研)在ABC

21、中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bc，a6.(1)若A，求c的值；(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求ABC的面积.cos Bcos C，cos Bsin C，B2C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，因为bc，a6，A，所以363c2c22c2，解得c236，所以c6.(2)若选条件：cos Bcos C.bc，由正弦定理可得sin Bsin C，又cos Bcos C，所以sin Bcos Bsin Ccos C，所以sin 2Bsin 2C，因为0BC，02B2CC，所以2B2C不成立，所以2B2C，所以BC，所以A.则在RtABC中，363c2c2，解得c3，所以b3，所以SABCbc.若选条件：cos Bsin C.在ABC中，因为bc，由正弦定理可得sin Bsin C，又cos Bsin C，所以，所以tan B，因为0B，所以B，所以sin Ccos B，因为0C，且bc，所以C，所以A.后同选择条件.若选条件：B2C.在ABC中，因为bc，由正弦定理得sin Bsin C，因为B2C，所以sin B2sin Ccos C，所以2sin Ccos Csin C，又sin C0，所以cos C，因为0C，所以C，所以B2C，所以A.后同选择条件.