创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题11　数列中的最值、范围及奇偶项问题.doc

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1、微专题11数列中的最值、范围及奇偶项问题1.数列中的最值、范围问题的常见类型有：(1)求数列和式的最值、范围；(2)满足数列的特定条件的n的最值与范围；(3)求数列不等式中参数的取值范围.2.数列中的奇、偶项问题的常见题型(1)数列中连续两项和或积的问题(anan1f(n)或anan1f(n)；(2)含有(1)n的类型；(3)含有a2n，a2n1的类型；(4)已知条件明确奇偶项问题.类型一求数列和式的最值、范围(1)利用不等式组(n2)确定和式的最大值；利用不等式组(n2)确定和式的最小值.(2)利用和式的单调性.(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域. 例1 已知等差数列an的前n项和为S

2、n(nN*)，且a1a6a4，S69，数列bn满足b12，bnbn12n1(n2，nN*).(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn，并求Tn的最小值.解(1)由S63(a1a6)3(a3a4)3a49，得a43，a30，故数列an的公差d3，ana3(n3)d3n9，即数列an的通项公式为an3n9(nN*).当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2222n，而b12，故bn2n，即数列bn的通项公式为bn2n(nN*).(2)Tn62322(3n12)2n1(3n9)2n，2Tn622323(3n12)2n(3n9)2n1.上述两

3、式相减得Tn1232232n(3n9)2n1123(3n9)2n124(3n12)2n1，故Tn(3n12)2n124(nN*).设cn(3n12)2n1，显然当n4时，cn0，Tn24且单调递增.而c136，c248，c348，故Tn的最小值为T2T324.训练1 (2022全国甲卷)记Sn为数列an的前n项和.已知n2an1.(1)证明：an是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值.(1)证明由n2an1，得2Snn22annn， 所以2Sn1(n1)22an1(n1)(n1)，得2an12n12an1(n1)2ann1，化简得an1an1，所以数列an是公差为1的等

4、差数列.(2)解由(1)知数列an的公差为1.由a4，a7，a9成等比数列，得aa4a9，即(a16)2(a13)(a18)，解得a112.所以Sn12n(n)2，所以当n12或13时，Sn取得最小值，最小值为78.类型二求n的最值或范围求n的最值或范围一般转化为解关于n的不等式问题. 例2 在b4a3a5；b4b63a33a5；a2a3b4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是公比大于0的等比数列，b11，b3b22，b5a42a6，且_，设cn，是否存在kN*，使得对任意的nN*，都有ckcn？若存在，求出k的值；若不存在，说明理

5、由.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解设数列an的公差为d，bn的公比为q(q0)，因为bn是公比大于0的等比数列，且b11，b3b22，所以q2q2，解得q2，所以bn2n1.若存在k，使得对任意的nN*，都有ckcn，则cn存在最小值.若选，解答过程如下.由b5a42a6，b4a3a5可得解得所以Snn2n，cn.因为nN*，所以n2n2，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.若选，解答过程如下.由b5a42a6，b4b63a33a5可得解得所以Snn2n，cn.因为当n20时，cn0，当n21时，cnan，求n的最小值.(1)证明aan(an12an)，aana

6、n12a(an12an)(an1an)0.又数列an各项均为正数，an1an0，an12an0，即2.数列an是首项为1，公比为2的等比数列，数列an的通项公式为an2n1.(2)解Sn2n1，S2n22n1.S2nan，9(22n1)802n，即(92n1)(2n9)0，2n90，又nN*，正整数n的最小值为4.类型三求数列不等式中参数的取值范围此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，不等式的恒成立问题，可转化为求函数的最值问题. 例3 (2022河南校际联合考试)我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的详解九章算法一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，此图称为“杨辉三角”.在

7、此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和.(1)把“杨辉三角”中第三斜列的各数取出，按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，写出an与an1(nN*，n2)的递推关系，并求出数列an的通项公式；(2)已知数列bn满足b1b2b3bn2an(nN*)，设数列cn满足cn，数列cn的前n项和为Tn，若Tn(nN*)恒成立，试求实数的取值范围.解(1)由题意可知a11，n2时，anan1n，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)21，故an.(2)数列bn满足b1b2b3bnn2n， 当n2时，b1b2b3bn1(n1)2(n1)，得bn2n

8、，故bn2n2(n2)，又n1时亦成立，所以bn2n2(nN*).数列cn满足cn，则Tn1，由Tn(nN*)恒成立，得，因为y在nN*上单调递减，故当n1时，即，所以实数的取值范围为.训练3 (2022浙江“山水联盟”联考)已知数列an的前n项和为Sn，2Sn(2n1)an2n2(nN*)，数列bn满足b1a1，nbn1anbn.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足：c14，cn1cn(nN*)，若不等式cn(nN*)恒成立，求实数的取值范围.解(1)当n1时，2a13a12，a12.当n2时，由得2an(2n1)an(2n1)an12n22(n1)2，即anan12，数列

9、an是公差为2的等差数列，a12，an2n.由条件得b12，nbn12nbn，bn12bn，即数列bn是公比为2的等比数列，bn2n.(2)由(1)得，设数列的前n项和为Tn，则Tn1，Tn，Tn12，Tn4，由cn1cn得cn1cn，所以cncn1，c2c1，累加得cnc1Tn1，即cn44，cn，对任意nN*恒成立，令f(n)，则f(n1)f(n)，f(1)f(2)f(8)，f(n)maxf(6)f(7)，.故实数的取值范围是.类型四数列中的奇、偶项问题对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列an求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k1a2k看作一项，求出S2k，

10、再求S2k1S2ka2k. 例4 已知数列an满足an1an4n3(nN*).(1)若数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和Sn.解(1)若数列an是等差数列，则ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得a1nda1(n1)d4n3，即2d4，2a1d3，解得d2，a1.(2)法一由an1an4n3(nN*)，得an2an14n1(nN*).两式相减，得an2an4，由a2a11，a12，得a21，所以数列a2n1是首项为a12，公差为4的等差数列，数列a2n是首项为a21，公差为4的等差数列，所以an当n为奇数时，an2n，an12n7.Sna

11、1a2a3an(a1a3an)(a2a4an1).当n为偶数时，an2n5，an12n2，Sna1a2a3an(a1a3an1)(a2a4an).综上，Sn法二由于an1an4n3，于是S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)19(8n7)4n23n，由此可得当n为偶数时，Sn，而当n为奇数时，n1为偶数，于是SnSn1an1(2n3).综上，Sn训练4 已知数列an中，a11，anan1(nN*).(1)求证：数列a2n与a2n1都是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明因为anan1，an1an2，两式相除，得，数列a1，a3，a2n1，是以1为首项，为公比的等比数列

12、，故a2n1；数列a2，a4，a2n，是以为首项，为公比的等比数列，故a2n.(2)解S2na1a2a3a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3，当n为偶数时，Sn3，而当n为奇数时，n1为偶数，故有SnSn1an133.综上，Sn一、基本技能练1.(2022九江质检)已知函数f(x)定义在区间(1，1)内，f1，且当x，y(1，1)时，恒有f(x)f(y)f.数列an满足：a1，an1.在数列bn中，bn.(1)求证：f(x)在(1，1)内为奇函数；(2)求f(an)的表达式；(3)是否存在自然数m，使得对任意nN*，都有bn(m8)？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.(1

13、)证明由题意知，f(x)的定义域关于原点对称.令xy0，则f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0.令x0，则f(0)f(y)f(y)，所以f(x)f(x).因此f(x)在(1，1)上为奇函数.(2)解因为f(an1)ff(an)f(an)2f(an)，所以f(an)f(a1)2n12n1，nN*.(3)解由题意知bn21n2，所以21n223n，因为23n的最大值为4，所以m的最小值为5.2.(2022南京三模)已知等差数列an满足：a13，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)在任意相邻两项ak与ak1(k1，2，)之间插入2k个2，使它们与

14、原数列的项构成一个新的数列bn，记Sn为数列bn的前n项和，求满足Sn0，所以Sn是单调递增数列，又因为ak1前的所有项的项数为k21222kk2k12，所以Sk2k12(a1a2ak)2(2122332k)22k24.当k6时，S132321500，令S132a72(n133)500，即321222(n133)500，解得n211.5，所以满足Sn500的n的最大值为211.3.已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S

15、4成等比数列，Snna1n(n1)，(2a12)2a1(4a112)，解得a11，an2n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(1)n1，当n为偶数时，Tn1；当n为奇数时，Tn1.Tn二、创新拓展练4.已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an(1)n1(nN*).(2)由(1)得Sn1当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.