创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题41　计数原理与概率.doc

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1、板块六概率与统计微专题41计数原理与概率高考定位1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用.常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、几何概型，条件概率的基本应用.)1.(2022全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A. B. C. D.答案C解析从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2

2、，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种取法，所以所求概率是P.故选C.2.(2022新高考卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案B解析先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC24(种)，故选B.3

3、.(2021全国乙卷)在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为()A. B. C. D.答案B解析设从区间(0，1)，(1，2)中随机取出的数分别为x，y，则实验的所有结果构成区域为(x，y)|0x1，1yTnB.SnTnC.n为奇数时，SnTnD.SnTn(3)(2022天津三模)(x23x4)4展开式中含有x3项的系数为_.答案(1)C(2)C(3)144解析(1)(1x)8(x1)8(1x)28a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，a6C(2)2112.(2)令x1，得Sna0a1a2an2n，令x0，得a0(1)n，所以Tna1a2a3anSna0S

4、n(1)n，所以当n为偶数时，TnSn1Sn，故选C.(3)由题意得(x23x4)4(x4)(x1)4(x4)4(x1)4，又由(x4)4的通项为Tr14rCx4r，(x1)4的通项为Tk1(1)kCx4k，所以(x23x4)4展开式中x3的系数为：4C(1)4C42C(1)3C43C(1)2C44C(1)C163841 5361 024144.热点三概率1.古典概型的概率公式.P(A).2.几何概型的概率公式P(A).3.条件概率公式设A，B为两个事件，且P(A)0，则P(B|A).例3 (1)(2022河北省级联考)算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.

5、如图是利用算筹表示数字19的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为()A. B. C. D.(2)(2022宜宾二诊)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点P，则P到正方形各个顶点距离均大于1的概率为()A. B.1 C.2 D.4(3)一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是_.答案(1)A(2)B(3)解析(1)设“这个三位数能被3整除”为事件A，因为2根算筹可以表示2或6两种结果，3根算筹可以表示

6、3或7两种结果，所以6根算筹表示的数字有以下四种情况：1，2，3或1，6，3或1，2，7或1，6，7.所以基本事件总数为4A24，事件A为6根算筹表示成1，2，3的情况，包含的基本事件数为A6，所以P(A)，故选A.(2)如图，在正方形ABCD四个顶点处，以顶点为圆心，1为半径作圆弧，得四分之一的圆，四个四分之一圆，可组合成一个整圆，所以P点所在区域面积为S22124，正方形面积为4，所以所求概率为P1.(3)设A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，P(AB)，而P(A)，P(B|A).规律方法(1)古典概型求解的关键点正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、

7、组合的有关知识.对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏.(2)处理几何概型问题的关键是通过转化，将某一事件所包含的事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.训练3 (1)(2022成都二诊)在区间(2，4)内随机取一个数x，使得不等式4x52x40成立的概率为()A. B. C. D.(2)(2022聊城模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”“雪容融”等，小明现有“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”“雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有

8、“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为_.(3)(2022湖南雅礼中学模拟)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_.答案(1)B(2)(3)解析(1)4x52x40，(2x1)(2x4)0，12x4，0x2，所以不等式4x52x40的解集为(0，2)，所以所求概率为.(2)3张邮票中有1张“冰墩墩”邮票和2张“雪容融”邮票的情况有CC2(种)，有2张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票的情况有CC2(种)，有1张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票和1张其他邮票的情况有CCC16(种)，3张邮票中既有“冰墩

9、墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为.(3)记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，则P(B|A).一、基本技能练1.(2022衡水调研)二项式的展开式中x6的系数是16，则a()A. B.1 C. D.1答案B解析的展开式的通项是Tr1Cx8r(2a)rCx82r，令r1，则T2(2a)Cx6，依据题意得(2a)C16，解得a1.2.(2022泰州调研)甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A.4种 B.6种 C.10种 D.16种答案B解析分两类：当甲先踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)，同

10、理，当甲先踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种.由分类加法计数原理可知，满足条件的传递方式共有336(种).故选B.3.(2022佛山联考)五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有()A.36种 B.48种 C.72种 D.120种答案C解析由于甲、乙二人不能相邻，先让甲、乙之外的三名同学排好，有A6(种)排法，再让甲、乙二人从站好的三个人之间或两侧的4个位置中选2个位置插入，有A12(种)排法，所以不同的排法共有AA72(种)，故选C.4.(2022济南二模)4位同学各自在周六、周日两天中等可能的任选一天参加公益活动

11、，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率()A. B. C. D.答案D解析由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有2416种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：(1)一天一人，另一天三人，有CA8种不同的结果；(2)周六、日各2人，有C6种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D.5.(2022上饶二模)在区间0，1上随机取两个数x，y，则满足xy的概率为()A. B. C. D.答案A解析由题可知试验的全部结果所构成的区域为(x，y)|0x1，0y1，满足xy的结果构

12、成的区域为A(x，y)|0x1，0y1，xy，如图中阴影部分所示.故概率为p.6.(2022沈阳模拟)夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为()A. B. C. D.答案C解析记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，P(A)，P(B)，P(AB).在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为P(A|B).7.(2022陕西部分名校联考)从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为()A. B.C. D.以上都不对答案B解析全体三位正整数有900个，若此数以2为底的对数也是正整数，则此数必然是2n(n

13、N*)的形式，由于1002n1 000(nN*)，所以n7，8，9，故所求的概率为，故选B.8.已知(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5，则a2()A.111 B.61 C.61 D.111答案B解析(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5(x1)22(x1)23(x1)24(x1)25，其展开式中(x1)2的系数为C(2)0C(2)C(2)2C(2)361.故选B.9.(2022青岛一模)甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为()A.0.

14、36 B.0.352 C.0.288 D.0.648答案D解析由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0.60.60.36，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为C0.60.40.60.288，而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为0.360.2880.648.10.(2022平顶山模拟)第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕，带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心.为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作.有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名

15、男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有()A.120种 B.96种 C.48种 D.24种答案C解析若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有AA种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有AA种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有AAA种安排方案，所以符合条件的安排方案共有AAAAAAAA48.11.(2022银川调研)(x2y)5的展开式中x2y3的系数是_(用数字作答).答案80解析(x2y)5的展开式的通项公式为Tr1Cx5r(2y)r(2)rCx5ryr，令r3可得(2)3Cx2y380x2y3，所

16、以(x2y)5的展开式中x2y3的系数是80.12.(2022淄博一模)甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有_种.答案90解析甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案种数为A90.二、创新拓展练13.(2022咸阳二模)魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为32.若在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率为()A. B. C. D.答案B解析设正方体棱长为1，则正方体体对角线l，外接球半径

17、R，所以牟合方盖的体积V1，外接球的体积V，所以，所求概率P.14.(2022西安二模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k(kN*)局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5.若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛.下列说法正确的是()k1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为；k2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为；在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k；随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近.A. B.C. D.答案B解析k1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为2，故错误；k2时，甲赢得比赛的情况为：甲甲甲，甲乙甲甲，乙甲甲甲，甲甲乙甲，其概率为3，同理，乙赢得比赛的概率也为，所以正确

18、；在2k局比赛中，甲获胜的局数服从二项分布B，其期望值为2kk，所以正确；随着k的增大，比赛平局的概率C趋近于0，所以甲乙赢得比赛的概率都会越来越接近，故正确.15.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6.若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为_.答案0.75解析记使用寿命超过1年为事件B，超过2年为事件A，P(AB)0.6，P(B)0.8，P(A|B)0.75.16.(2022杭州模拟)已知a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a2_，a12a23a34a45a5_.答案解析由二项式定理知，a2C.对已知等式两边同时求导可得5a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令x1，得a12a23a34a45a5.