创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题17 球的切、接、截问题.doc
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题17 球的切、接、截问题.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题17 球的切、接、截问题.doc(23页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、微专题17球的切、接、截问题1.球的切接问题(1)长方体的外接球球心:体对角线的交点;半径:r(a,b,c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球外接球:球心是正方体中心,半径ra(a为正方体的棱长),直径等于体对角线长;内切球:球心是正方体中心,半径r(a为正方体的棱长),直径等于正方体棱长;与各条棱都相切的球:球心是正方体中心,半径ra(a为正方体的棱长),直径等于面对角线长.(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)外接球:球心是正四面体的中心,半径ra(a为正四面体的棱长);内切球:球心是正四面体的中心,半径ra(a为正四面体的棱长
2、).2.平面截球平面截球面得圆.截面圆的圆心与球心的连线与截面圆圆面垂直且R2d2r2(R为球半径,r为截面圆半径,d为球心到截面圆的距离).类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的模型,用构造法(构造长方体)解决,外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球半径为R.则(2R)2a2b2c2,即2R.一般有以下四种类型:例1 已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PAPBPC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF90,则球O的体积为()A.8 B.4 C.2 D.答案D解析
3、因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EFPB.因为CEF90,所以EFCE,所以PBCE.取AC的中点D,连接BD,PD,易证AC平面BDP,所以PBAC,又ACCEC,AC,CE平面PAC,所以PB平面PAC,所以PBPA,PBPC,因为PAPBPC,ABC为正三角形,所以PAPC,即PA,PB,PC两两垂直,将三棱锥PABC放在正方体中如图所示.因为AB2,所以该正方体的棱长为,所以该正方体的体对角线长为,所以三棱锥PABC的外接球的半径R,所以球O的体积VR3,故选D.考向2汉堡模型汉堡模型是直三棱柱内接于球的模型,棱柱的上下底面可以是任意三角形.如图1为底面是一般三角形,图2底面是
4、直角三角形.方法:第一步,确定球心O的位置,O1是ABC的外心,则OO1平面ABC;第二步,算出小圆O1的半径AO1r,OO1AA1h(AA1也是圆柱的高);第三步,勾股定理:OA2O1A2O1O2R2r2R,解出R. 例2 (2022洛阳质检)在三棱柱ABCA1B1C1中,ABBCAC,侧棱AA1底面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上,且球O的表面积的最小值为4,则该三棱柱的侧面积为()A.6 B.3 C.3 D.3答案B解析如图,设三棱柱上、下底面中心分别为O1,O2,则O1O2的中点为O,设球O的半径为R,则OAR,设ABBCACa,AA1h,则OO2h,O2AABa.在
5、RtOO2A中,R2OA2OOO2A2h2a22haah,当且仅当ha时,等号成立,所以S球4R24ah,所以ah4,所以ah,所以该三棱柱的侧面积为3ah3.考向3垂面模型垂面模型是一条直线垂直于一个平面的模型.如图,PA平面ABC,求外接球的半径.方法:第一步,将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步,令O1为ABC的外心,则OO1平面ABC,算出小圆O1的半径O1Dr;第三步,利用勾股定理求三棱锥外接球的半径:R2r2OO即R.例3 (2022吕梁一模)已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD
6、底面ABCD,AB2,若四棱锥PABCD外接球的体积为,则该四棱锥的表面积为()A.4 B.6 C.8 D.10答案B解析设四棱锥PABCD外接球的球心为O,过O作底面ABCD的垂线,垂足为M,因为四边形ABCD是矩形,所以M为底面中心,即对角线AC与BD的交点,过O作三角形APD的垂线,垂足为N,所以N是正三角形APD外心,设外接球半径为r,则,所以r,即OA.过点N作NEAD,则E是AD的中点,连接EM,所以EMAB1,EMAD.又平面APD平面ABCD,平面APD平面ABCDAD,NE平面APD,所以NE平面ABCD,所以NEOM,所以EM平面APD,所以EMON,所以四边形MENO是平
7、行四边形,即OMNE,设AD2x,则AM,NEPEADx,所以OMNEx,由勾股定理得OA2OM2AM2,即2x2x21,解得x,所以AD,SPADAD2sin 60.因为ABCDEM,所以AB平面APD,CD平面APD,又PA,PD平面PAD,所以PAAB,PDCD,SPABSPCDABAP,因为PBPC,BC,作PHBC于点H,所以H为BC的中点,所以PH,所以SPBCPHBC,S矩形ABCD2,所以S表SPADSPABSPCDSPBCS矩形ABCD6.训练1 (1)已知四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上,SD平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ABCD且满足AB2AD2DC2,
8、且DAB,SC,则球O的表面积是()A.5 B.4 C.3 D.2(2)(2022成都三诊)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为()A.4 B.8 C.12 D.16(3)(2022江南十校一模)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAB平面ABCD,PAPBAB,若PBC和PCD的面积分别为1和,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为_.答案(1)A(2)B(3)6解析(1)依题意,得AB2AD2,DAB,由余弦定理可得BD,则AD2DB2AB2,则ADB.又四边形ABCD是等腰梯形,故四边形ABCD的外接圆直径为AB,设AB的中点为O1,球的半
9、径为R,因为SD平面ABCD,所以SD1,R212,则S4R25.(2)设球的半径为R,由题知R3,解得R2,设圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为,则r2cos ,圆柱的高为4sin ,所以圆柱的侧面积为4cos 4sin 8sin 2,当且仅当,即sin 21时,圆柱的侧面积最大,所以圆柱的侧面积的最大值为8,故选B.(3)如图,在四棱锥PABCD中,因为PAPBAB,所以PA2PB2AB2,即PAPB,则PAB为等腰直角三角形.因为四边形ABCD为矩形,所以BCAB.又平面PAB平面ABCD,且平面PAB平面ABCDAB,BC平面ABCD,所以BC平面PAB,又PB平面PAB,则
10、PBBC.设PAPBa,BCb,则ABCDa,PCPD,可得等腰PCD底边CD上的高为.因为PBC和PCD的面积分别为1和,所以解得ab,则ABa2,BC.设ACBDO,则O为四棱锥PABCD外接球的球心,设外接球的半径为R,所以RAC,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为4R246.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步:先求出四个表面的面积和整个锥体的体积;第二步:设内切球的半径为r,建立等式VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVPABCSABCrSPABrSPACrSPBCr(SABCSPABSPACSPBC)r;第三步:解出r.例4 (1)(2022成都石
11、室中学三诊)九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥PABC为鳖臑,PA平面ABC,PABC4,AB3,ABBC,若三棱锥PABC有一个内切球O,则球O的体积为()A. B. C. D.9(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1AB6,BC8,AC10,则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是()A.16 B.24 C.36 D.64答案(1)C(2)A解析(1)设球O的半径为r,则三棱锥PABC的体积V344(34435445)r,解得r,所以球O的体积Vr3,故选C.(2)由题意,球的半径为底面三角形内切圆的半径r,因为底面三角形的边长分别为6,8,10,所以底面三角形
12、为直角三角形,r2.又因为AA16,2r46,所以该三棱柱内能放置的最大球半径为2,此时S表面积4r242216.训练2 已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_.答案解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球,设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB,如图所示,则PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在PAB中,PAPB3,D为AB的中点,AB2,E为切点,则PD2,PEOPDB,故,即,解得r,故内切球的体积为.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面:(1)球心到截面圆的距离;(2)截面圆的半径;(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成
13、的直角三角形). 例5 (2022渭南调研)在正三棱锥PABC中,Q为BC中点,PA,AB2,过点Q的平面截三棱锥PABC的外接球所得截面面积的取值范围为()A. B.C.,2 D.答案D解析因为正三棱锥PABC中,PBPCPA,ACBCAB2,所以PB2PA2AB2,即PBPA,同理PBPC,PCPA,因此正三棱锥PABC可看作正方体的一角,如图.记正方体的体对角线的中点为O,由正方体结构特征可得,点O即是正方体的外接球球心,所以点O也是正三棱锥PABC外接球的球心,记外接球半径为R,则R,因为球的最大截面圆为过球心的圆,所以过点Q的平面截三棱锥PABC的外接球所得截面的面积最大为SmaxR
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题17球的切、接、截问题 创新 设计 二轮 理科 数学 教师 WORD 文档 专题 17 问题
![提示](https://www.taowenge.com/images/bang_tan.gif)
限制150内