创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题10　数列的递推关系与通项公式.doc

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1、微专题10数列的递推关系与通项公式1.求数列的通项公式是高考的重点内容，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解.2.利用数列的递推关系求数列的通项，常见的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)构造法(包括辅助数列法，取倒数法，取对数法等).类型一利用an与Sn的关系求通项1.已知Sn求an的步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式.(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；

2、若不符合，则应该分n1与n2两段来写.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的方向转化.(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解.(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解. 例1 (1)已知数列an为正项数列，且Sn，求数列an的通项公式；(2)已知数列an的各项均为正数，且Sn，求数列an的通项公式.解(1)由题知Sn， 则Sn1(n2，nN*)，由可得an，即4Sna2an，n2，nN*，在已知等式中令n1，得S1，则4S1a1(a12)， 满足上式，所以4Sna2an(nN*) 则4Sn1a2an1

3、(n2)， 可得4ana2ana2an12(anan1)aa.因为aa(anan1)(anan1)，an0，所以anan12，所以an为公差是2的等差数列，由可解得a12，所以an2(n1)22n.(2)由Sn，得当n2时，Sn，所以2SnSnSn1，即SnSn1，所以SS1，所以S为公差是1的等差数列，所以SS(n1).在Sn中，令n1可得S1，解得a11，所以Sn，所以Sn，所以an所以an.训练1 已知正项数列an2n1的前n项和为Sn，且4Sna(2n2)an4n12n3.求数列an的通项公式.解由题知4Sna(2n2)an4n12n3(an2n1)22(an2n1)3，令bnan2n

4、1，则4Snb2bn3， 当n2时，4Sn1b2bn13，由，得4bnbb2bn2bn1，整理得(bnbn12)(bnbn1)0.因为bn0，所以bnbn12(n2).又4S1b2b13，即b2b130，解得b13或b11(舍去)，所以数列bn是以3为首项，2为公差的等差数列，则bn2n1，所以anbn2n12n12n1.类型二构造辅助数列求通项(1)形如anpan1q(p1，q0)的形式.通常可构造出等比数列anp，进而求出通项公式.(2)形如anpan1qn，此类问题可先处理qn，两边同时除以qn，得p1，进而构造成1，设bn，从而变成bnbn11，从而将问题转化为第(1)个问题.(3)形

5、如qan1pananan1，可以考虑两边同时除以anan1，转化为1的形式，进而可设bn，递推公式变为qbnpbn11，从而转变为(1)中的类型进行求解.(4)形如an(其中n2，mkb0)取倒数，得到，转化为(1)中的类型.(5)形如anpa(n2，an，p0)两边取常用对数，得lg anrlg an1lg p，转化为(1)中的类型. 考向1构造法求通项例2 (1)在数列an中，a1，an2an1(nN*)，求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn12Sn1，nN*，求数列an的通项公式.解(1)由an2an1，得2nan2n1an11，所以数列2nan是首项和

6、公差均为1的等差数列，于是2nan1(n1)1n，所以an(nN*).(2)因为Sn12Sn1，所以Sn112(Sn1)，nN*.因为a1S11，所以可推出Sn10，故2，即Sn1为等比数列.因为S112，公比为2，所以Sn12n，即Sn2n1.因为Sn12n11，所以当n2时，anSnSn12n1，又a11也满足此式，所以an2n1(nN*).考向2取倒数法求通项例3 已知数列an满足an1，a12，求数列an的通项公式.解对an1两边取倒数，可得1，由3.数列是首项为1，公比为3的等比数列，3n1，则an(nN*).考向3取对数法求通项例4 设正项数列an满足a11，an2a(n2).求数

7、列an的通项公式.解对an2a两边取对数得log2an12log2an1，log2an12(log2an11)，设bnlog2an1，则bn是以2为公比，1为首项的等比数列，所以bn2n1，即log2an12n1，故an22n11(nN*).训练2 (1)若数列an中，a13，且an1a，则an_.答案32n1(nN*)解析易知an0，由an1a得lg an12lg an，故lg an是以lg 3为首项，2为公比的等比数列，则lg anlg a12n1lg 32n1，即an32n1(nN*).(2)已知数列an中，a11，an，则an_.答案(nN*)解析由an，取倒数得2，故是以2为公差，1

8、为首项的等差数列，所以12(n1)2n1，即an(nN*).(3)在数列an中，a11，an1an1，求数列an的通项公式.解因为an1an1，所以an12(an2)，所以数列an2是以1为首项，为公比的等比数列，所以an21，所以an2，nN*.一、基本技能练1.已知数列an的前n项和为Sn，则“Sn3n1”是“数列an是常数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析因为Sn3n1，所以a14，当n2时，anSnSn1(3n1)3(n1)13，所以an所以数列an不是常数列，反之，当an1时，Snn，显然不成立，所以“Sn3n1”是“数列an

9、是常数列”的既不充分也不必要条件.2.若数列an中，a12且an(n2)，则an()A. B.3n1C. D.3n1答案A解析由题设得aa3，n2，故a是以a4，公差d3的等差数列，则aa(n1)33n1，又an0，故an.3.(2022上海金山一模)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x3)f(x)，f(1)3，数列an满足Sn2ann(其中Sn为an的前n项和)，则f(a5)f(a6)()A.3 B.2 C.3 D.2答案C解析对任意的nN*，Sn2ann.当n1时，a1S12a11，解得a11；当n2时，由Sn2ann可得Sn12an1n1，两式作差得an2an2an11，即

10、an2an11，所以an12(an11)，所以数列an1是以a112为首项，2为公比的等比数列，所以an122n12n，即an12n，所以a531，a663.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，又函数f(x)满足f(x3)f(x)，f(1)3，所以f(a5)f(31)f(31)f(1)3，f(a6)f(63)f(0)0，因此，f(a5)f(a6)3.故选C.4.(2022湖北新高考协作体联考)已知数列an的首项a12，其前n项和为Sn，若Sn12Sn1，则a7_.答案96解析因为Sn12Sn1，所以Sn2Sn11(n2)，两式相减得an12an(n2)，又因为a12，S2a1

11、a22a11，得a23，所以数列an从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为an所以a732596.5.(2022南平模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Snn2an(nN*)，则数列an的通项公式为_.答案an(nN*)解析由Snn2an可得，当n2时，Sn1(n1)2an1，则anSnSn1n2an(n1)2an1，即(n21)an(n1)2an1，故，所以ana11.当n1时，a11满足an.故数列an的通项公式为an，nN*.6.已知正项数列an满足a12，an1，则an_.答案221n(nN*)解析将an1两边取以2为底的对数得log2an1log2an，数列log2an是以

12、1为首项，为公比的等比数列，故log2an121n，即an221n(nN*).7.数列an的首项a12，且an13an2(nN*)，令bnlog3(an1)，则bn_.答案n解析由an13an2(nN*)可知an113(an1)，又a12，知an10，所以数列an1是以3为首项，3为公比的等比数列，因此an133n13n，故bnlog3(an1)n.8.(2022洛阳调研)在数列bn中，b11，bn1，nN*，则通项公式bn_.答案(nN*)解析由bn1，且b11.易知bn0，得3.因此32，32，故是以2为首项，2为公比的等比数列，于是322n1，可得bn，nN*.9.在数列an中，a11，

13、an2an1ln 3(n2)，则数列an的通项an_.答案(1ln 3)2n1ln 3(nN*)解析由an2an1ln 3得anln 32(an1ln 3)，则anln 3是以1ln 3为首项，2为公比的等比数列，所以anln 3(1ln 3)2n1，因此an(1ln 3)2n1ln 3(nN*).10.已知数列an满足an12ann1(nN*)，a13，则数列an的通项公式为_.答案an2nn(nN*)解析an12ann1，an1(n1)2(ann)，2，数列ann是以a112为首项，2为公比的等比数列，ann22n12n，an2nn(nN*).11.(2022青岛二模)已知数列an，bn满

14、足a1，anbn1，bn1，则b2 023_.答案解析因为anbn1，bn1，所以1an1，an11，所以1，所以数列是等差数列，其公差为1，首项为2，所以2(n1)1n1，所以an，所以bn，所以b2 023.12.已知数列an的前n项和Sn满足2Snnan3n(nN*)，且S315，则S10_.答案120解析当n1时，2S1a13，解得a13.又2Snnan3n， 当n2时，2Sn1(n1)an13(n1)，所以得(n1)an1(n2)an3， 当n3时，(n2)an2(n3)an13， 所以得(n1)an1(n2)an(n2)an2(n3)an1，可得2an1anan2，所以数列an为等

15、差数列，设其公差为d.因为a13，S33a13d93d15，解得d2.故S101032120.二、创新拓展练13.已知数列an满足：a11，a23，an2an12an.某同学已经证明了数列an12an和数列an1an都是等比数列，则数列an的通项公式是an_.答案解析因为an2an12an，所以当n1时， a3a22a15.令bnan12an，则bn为等比数列.又b1a22a11，b2a32a21，所以等比数列bn的公比q1，所以bn(1)n1，即an12an(1)n1. 令cnan1an，则cn为等比数列，c1a2a14，c2a3a28，所以等比数列cn的公比q12，所以cn42n12n1，

16、即an1an2n1. 联立，解得an.14.数列an满足an13an2n1，a11，则数列an的前n项和Sn_.答案2n2(nN*)解析an13an2n1，12，数列是以2为首项，为公比的等比数列，2，an3n2n1，Sn(31323n)(22232n1)2n2(nN*).15.已知在数列an中，a11，a22，an12an3an1，则an的通项公式为_.答案an(nN*)解析an12an3an1，an1an3(anan1)，an1an是以a2a13为首项，3为公比的等比数列，an1an33n13n，又an13an(an3an1)，an13an是以a23a11为首项，1为公比的等比数列，an13an(1)(1)n1(1)n， 由得4an3n(1)n，an(nN*).16.已知数列an满足a13，an1，则该数列的通项公式an_.答案(nN*)解析由，所以是首项为2，公比为的等比数列，所以2，解得an2，nN*.