湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题含答案.pdf

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1、2024 年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第 1 页(共 4 页)2024 年邵阳市高三第二次联考试题卷数学本试卷共 4 页,19 个小题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和

2、涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一组数据:11,30,31,25,20,32,41 的第 30 百分位数为A.30B.31 C.25D.202.若集合 A=x|2x8,xN,集合 B=x|x2-7x-8b0)相交于 A,B 两点.若弦 AB 被直线m:x+2y=0 平分,则椭圆 C 的离心率为A.12B.24C.32 D.54 8.已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x)为 f(x)的导函数.若 f(1)=e,且 f

3、(x)+exf(x)在 R上恒成立,则不等式 f(x)0,y0,若 4x2+3xy+y2+mxy2x+y 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .#QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=#2024 年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第 3 页(共 4 页)四、解答题(本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13 分)如图(二)所示,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD 是菱形,AA1平面 ABCD.图(二)(1)证明:BDCC1;(2)若 AB=2,AA1=3,A1B1=

4、1,ABC=60,棱 BC 上是否存在一点 P,使得平面 AD1P 与平面 ADD1的夹角余弦值为1717.若存在,求线段 CP 的长;若不存在,请说明理由.16.(15 分)为了选拔创新型人才,某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试),共有 4 万名学生参加初试.组织者随机抽取了 200 名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图(三)所示.图(三)(1)根据频率分布直方图,求 a 的值及样本平均数的估计值;(2)若所有学生的初试成绩 X 近似服从正态分布N(,2),其中 为样本平均数的估计值,=10.5.规定初试成绩不低于 90 分的学生才能参加复试,试估

5、计能参加复试的人数;(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为 x,答对物理题的概率为 y.若小明全部答对的概率为18,答对两道题的概率为 P,求概率 P 的最小值.附:若随机变量 X 服从正态分布 N,2(),则 P(-X+)0.6827,P(-2X+2)0.9545,P(-3X+3)0.9973.#QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=#2024 年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第 4 页(共 4 页)17.(15 分)设函数 f(x)=m(x+1)ex,m

6、0.(1)求 f x()的极值;(2)若对任意 x(-1,+),有 ln f(x)2ex恒成立,求 m 的最大值.18.(17 分)已知双曲线:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为 F1(-3,0),点 M(2,6)在双曲线上,直线 l 与双曲线 交于 A,B 两点.(1)若 l 经过点(-2,0),且AOB=90,求 AB;(2)若 l 经过点 F1,且 A,B 两点在双曲线 的左支上,则在 x 轴上是否存在定点 Q,使得QAQB为定值.若存在,请求出QAB 面积的最小值;若不存在,请说明理由.19.(17 分)给定整数 n3,由 n 元实数集合 P 定义其随影数集 Q=|x-y|

7、x,yP,xy.若 min(Q)=1,则称集合 P 为一个 n 元理想数集,并定义 P 的理数 t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合 S=-2,-1,2,3,T=-0.3,-1.2,2.1,2.5是不是理想数集;(结论不要求说明理由)(2)任取一个 5 元理想数集 P,求证:min(P)+max(P)4;(3)当 P=x1,x2,x2024取遍所有 2024 元理想数集时,求理数 t 的最小值.注:由 n 个实数组成的集合叫做 n 元实数集合,max(P),min(P)分别表示数集 P 中的最大数与最小数.#QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoO

8、wAAMoAAACRFABAA=#2024 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 1 页(共 5 页)2024 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案CBADCBCD8.D 解析:构造 g(x)=f(x)ex+x,g(x)=f(x)ex-f(x)exe2x+1=f(x)-f(x)+exex0,g(x)在 R 上单调递减,由 f(x)(2-x)ex得:f(x)+xex2ex,f(x)ex+x2=f(1)e+1,即 g(x)1,故选

9、D.二、多选题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分)题号91011答案ACDBCACD11.ACD 解析:由 f(x)+f(x+2)=4,知 y=f(x)的周期为 4.且 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(3)+f(2)+f(4)=8,所以 2024i=1f(i)=5064i=1f(i)=4048,故 D 正确.由 g(2x-1)为奇函数知 g(x)关于(-1,0)对称,所以 g(-1)=0.由 f(x)+f(x+2)=4 得 f(x)+f(x+2)=0,即

10、 g(x)+g(x+2)=0.故 g(x)的周期为 4 且 g(-1)+g(1)=0,可得 g(1)=0,故 A 正确.由上知 g(x)的周期为 4 且 g(x)关于(-1,0)对称,所以 g(x)关于(3,0)对称.则有g(x)+g(6-x)=0,即 f(x)+f(6-x)=0.所以 f(x)-f(6-x)=c,令 x=3,得 c=0.故 f(x)-f(6-x)=0,所以 f(x)关于 x=3 对称.又 f(2)+f(4)=4,所以 f(2)=f(4)=2,故 B 错误.又f(4)=f(8),所以 f(2)=f(8),故 C 正确.三、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分

11、)12.9 13.714 14.(2 2-7,+)14.(2 2-7,+)解析:原不等式等价于 m2x+y-4x2+3xy+y2xy,令 z=2x+y-4x2+3xy+y2xy=2xy+yx-4xy+yx+3.令 t=2xy+yx,且 t2 2,则 z=t-t2-1=1t+t2-1在(2 2,+)上单调递减,z12 2+7=2 2-7,m2 2-7.故 m 的范围是(2 2-7,+).#QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=#2024 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 2 页(共 5 页)四、解答题(本大题

12、共5 小题,共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13 分)(1)证明:连接 AC,底面 ABCD 是菱形,BDAC.2 分又 AA1平面 ABCD,BD平面 ABCD,BDAA1.4 分又 ACAA1=A,BD平面 A1AC.四棱台 ABCD-A1B1C1D1中,AA1,CC1延长线交于一点,A1,C1,C,A 四点共面.BDCC1.6 分(2)由(1)知,建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),D(0,2,0),D1(0,1,3),若存在点 P 满足题意,则设 P(3,y,0),y-1,1.易知平面 AD1D 的一个法向量 n=(1,0,0),7

13、 分设平面 AD1P 的法向量 m=(x0,y0,z0).AD1=(0,1,3),AP=(3,y,0).则mAD1=0,mAP=0.则y0+3z0=0,3x0+yy0=0.令 y0=3,则 z0=-1,x0=-y,m=(-y,3,-1).9 分cosm,n=mnm n=y4+y2=1717,解之得 y=12.12 分故在棱 BC 上存在点 P 满足题意,此时 CP=12或 CP=32.13 分16.(15 分)(1)10(0.012+0.026+0.032+a+0.01)=1,a=0.02.2 分样本平均数的估计值为 500.12+600.26+700.32+800.2+900.1=69.4

14、分(2)=69,=10.5.P(X90)=P(X+2)=1-0.95452=0.02275.6 分 能参加复试的人数约为 400000.02275=910(人).7 分(3)由题意有 x2y=18.9 分答对两道题的概率 P=x2(1-y)+C12x(1-x)y=x2+2xy-3x2y.11 分而 x2y=18 P=x2+14x-38.12 分令 f(x)=x2+14x-38(0 x1),则 f(x)=2x-14x2,#QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=#2024 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 3

15、页(共 5 页)当 x 0,12()时,f(x)0,f(x)在12,1()内单调递增.当 x=12时,f(x)min=38.故概率 P 的最小值为38.15 分17.(15 分)解:(1)f(x)=m(x+2)ex,m0.1 分令 f(x)0,得 x-2,令 f(x)0,得 x-2.故 f(x)在(-,-2)单调递减,在(-2,+)单调递增.4 分 f(x)在 x=-2 处取得极小值 f(-2)=-me2,无极大值.6 分(2)ln f(x)2ex对x(-1,+)恒成立,即 ln m2ex-ln(x+1)-x 对x(-1,+)恒成立.令 g(x)=2ex-ln(x+1)-x,x(-1,+),则

16、只需 ln mg(x)min即可.9 分g(x)=2ex-1x+1-1,x(-1,+).g(x)在(-1,+)上单调递增且 g(0)=0.当 x(-1,0)时,g(x)0,g(x)单调递增.13 分 g(x)min=g(0)=2.故 ln m2=ln e2,00.y1+y2=4 3t2t2-1,y1y2=42t2-1.10 分由题意 y1y20,2t2-10,t212.QAQB=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(ty1-3-m,y1)(ty2-3-m,y2)=(t2+1)y1y2-(3+m)t(y1+y2)+(3+m)2=(t2+1)42t2-1-(3+m)t4 3t2t2-1+(m+3

17、)2=(-8-4 3m)t2+42t2-1+(m+3)2,要使 QAQB为定值,则-8-4 3m2=4-1,解之得 m=0.存在 Q(0,0),使得 QAQB为定值-1.13 分此时 SQAB=12F1Q y2-y1=32(y1+y2)2-4y1y2=3216t2+16(2t2-1)2=2 3t2+12t2-1=2 3t2+11-2t2.14 分令t2+1=u1,u2=t2+132,1-2t2=3-2u2.u1,62).SQAB=2 3u3-2u2=2 33u-2u.y=3u-2u 在1,62)递减,y=3u-2u 在 u=1 时取得最大值 1.SQAB的最小值为 2 3.17 分19.(17

18、 分)解:(1)集合 S 是理想数集,集合 T 不是理想数集.2 分(2)不妨设集合 P=x1,x2,x3,x4,x5且 x1x2x5,即 min(P)=x1,max(P)=x5.#QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=#2024 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第 5 页(共 5 页)P 为理想数集,iN,1i4,则 xi+1-xi1,且i0N,1i04,使得 xi0+1-xi0=1.4 分当 x10 时,min(P)+max(P)=x1+x5=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x5-x4)

19、+2x14+2x14.当且仅当 xi+1-xi=1 且 x1=0 时,等号成立;5 分当 x50 时,min(P)+max(P)=x1+x5=-x1-x5=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x5-x4)-2x54-2x54.当且仅当 xi+1-xi=1 且 x5=0 时,等号成立;6 分当 x10 时,min(P)+max(P)=x1+x5=-x1+x5=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x5-x4)4.当且仅当 xi+1-xi=1 时,等号成立.7 分综上所述:min(P)+max(P)4.8 分(3)设 x1x2x2024.P 为理想数集.iN,1i2023

20、,xi+1-xi1,且i0N,1i02023,使得 xi0+1-xi0=1.对于 Pj=xj,x2025-jP,同样有iN,1j1012,xj+1-xj1.10 分下先证对 n 元理想数集 P,有 min(P)+max(P)n-1.不妨设集合 P 中的元素满足 x1x2xn.即 min(P)=x1,max(P)=xn.P 为理想数集,iN,1in-1,xi+1-xi1,且x0N,1i0n-1,使得 xi0+1-xi0=1.11 分当 x10 时,min(P)+max(P)=x1+xn=x1+xn=(x2-x1)+(x3-x2)+(xn-xn-1)+2x1n-1+2x1n-1,当且仅当 xi+1

21、-xi=1 且 x1=0 时,等号成立;12 分当 xn0 时,min(P)+max(P)=x1+xn=-x1-xn=(x2-x1)+(x3-x2)+(xn-xn-1)-2xnn-1-2xnn-1,当且仅当 xi+1-xi=1 且 xn=0 时,等号成立;13 分当 x10 时,min(P)+max(P)=x1+xn=-x1+xn=(x2-x1)+(xn-xn-1)n-1.当且仅当 xi+1-xi=1 时,等号成立.min(P)+max(P)n-1.14 分min(Pj)+max(Pj)2025-2j.当且仅当 xj+1-xj=1 时,等号成立.15 分x1+x20242023,x2+x20232021,x1012+x10131.理数 t=x1+x2+x20242023+2021+1=(2023+1)10122=10122.当且仅当 x1012=0 或 x1013=0 时,等号成立.理数 t 的最小值为 10122=1024144.17 分注:解答题有其他解法酌情给分.#QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=#