广西南宁市2024届高三3月第一次适应性测试数学试题（解析版）.pdf

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1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 南宁市南宁市 2024 届普通高中毕业班第一次适应性测试届普通高中毕业班第一次适应性测试 数学数学 注意事项：注意事项：1满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2考生作答时，请将答案答在答题卡考生作答时，请将答案答在答题卡.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷

2、、草稿纸上作答无效内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的）1.设复数12,z z在复平面内的对应点关于实轴对称，若()12122,i2zzzz+=，（i为虚数单位），则1z=（）A.1 i+B.1 i C.1 i+D.1 i 2.已知集合1,1,1Ax axaRB=，若AB，则所有a取值构成的集合为（）A.1 B.

3、1,1 C.0,1 D.1,0,1 3.已知数列 na的首项1aa=（其中1a 且0a），当2n 时，111nnaa=，则2024a=（）A.a B.11a C.11a D.无法确定 4.()63212xxx展开式中的常数项为（）A.60 B.4 C.4 D.64 5.已知ABC的外接圆圆心为O，且2,AOABAC OAAC=+=，则向量CA 在向量CB 上的投影向量为（）A.14CB B.34CB C.14CB D.12CA 6.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab=右焦点为F，右顶点为A，过点F的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P，与其左支交于点Q，且点P与点Q不在同一象限，直线

4、AP与直线OQ（O为坐标原点）的的 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 的交点在双曲线E上，若2PQPF=，则文曲线E的离心率为（）A.3 B.2 C.73 D.3 7.在边长为 4 的菱形ABCD中，120ABC=将菱形沿对角线AC折叠成大小为30的二面角BACD若点E为B C的中点，F为三棱锥BACD表面上的动点，且总满足ACEF，则点F轨迹的长度为（）A.4622+B.4622+C.462+D.462+8.已知函数()f x的定义域为()()()()22R,f xy f xyfxfy+=，且当0 x 时，()0f x，则（）A.()01f=B.()f x是偶函数 C.()f x是

5、增函数 D.()f x是周期函数 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9.下列说法中，正确是（）A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第 40百分位数为 12 B.若样本数据121021,21,21xxx+的方差为 8，则数据1210,x xx的方差为 2 C.已知随机变量X服从正态分布()2,N，若()

6、()261P XP X+=，则2=D.在独立性检验中，零假设为0H：分类变量X和Y独立基于小概率值的独立性检验规则是：当2x时，我们就推断0H不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；当2x时，我们没有充分证据推断0H不成立，可以认为X和Y独立 10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮最高点距离地面高度为 110 米，转盘直径为 100 米，摩天轮的圆周上均匀地安装了 36 个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动 t分钟后距离地面的高度为 H 米，当15t=时，游客甲随

7、舱第一次转至距离地面最远处如图，以摩天轮的轴心 O 为原点，与地面平行的直线为 x轴建立直角坐标系，则()()sin(0,0,)H tAtb A=+，下列说法中正确的是（）的 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.H关于t的函数()H t是偶函数 B.若在()1212,t ttt时刻，游客甲距离地面的高度相等，则12tt+的最小值为 30 C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于 85米的时长为 10 分钟 D.若甲、乙两游客分别坐在,P Q两个座舱里，且两人相隔 5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ的弧长503l=米 11.已知抛物线2:4C yx=焦点为F，

8、过F作两条互相垂直的直线12,l l，1l与C交于P、Q 两点，2l与C交于M、N 两点，PQ的中点为,G MN的中点为H，则（）A.当2PFQF=时，36MN=B.PQMN+的最小值为 18 C.直线GH过定点()4,0 D.FGH的面积的最小值为 4 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为_.13.已知()170,cos,sin239+=，求证：abab+18.已知点()2,0F和圆22:(2)36,CxyM+=为圆C上的一动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交

9、于点S，记点S的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）已知点()0,1N，若曲线E与x轴的左、右交点分别为A B、，过点()1,0T的直线l与曲线E交于PQ、两点，直线APBQ、相交于点D，问：是否存在一点D，使得DMDN+取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 19.若无穷数列 na满足()110,nnaaaf n+=，则称数列 na数列，若数列 na同时满足12nna，则称数列 na为数列（1）若数列 na为数列，()1,f nn=N，证明：当2025n 时，数列 na为递增数列的充要条件是20252024a=；（2）若数列 nb为数列，()f nn=，记2nncb=，且

10、对任意的nN，都有1nncc+的右焦点为F，右顶点为A，过点F的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P，与其左支交于点Q，且点P与点Q不在同一象限，直线AP与直线OQ（O为坐标原点）的交点在双曲线E上，若2PQPF=，则文曲线E的离心率为（）A.3 B.2 C.73 D.3【答案】B【解析】【分析】根据对称性可判断四边形Q F QF 为平行四边形，即可利用相似求解.【详解】设F为双曲线的左焦点，由于直线AP与直线OQ（O为坐标原点）的交点Q在双曲线E上，【的 第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以Q与Q关于坐标原点对称,又O是F F 的中点，故四边形Q F QF 为平行四边形，故/,F

11、 QQF F QQF =故F Q APFA，3F QF AcaQFPFFAcaPF+=，故2,2cae=，故选：B 7.在边长为 4 的菱形ABCD中，120ABC=将菱形沿对角线AC折叠成大小为30的二面角BACD若点E为B C的中点，F为三棱锥BACD表面上的动点，且总满足ACEF，则点F轨迹的长度为（）A.4622+B.4622+C.462+D.462+【答案】A【解析】【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求62B D=，进而利用线面垂直可判断点F轨迹为EPQ，求解周长即可【详解】连接AC、BD，交于点O，连接OB，ABCD为菱形，120ABC=，所以ACBD，OBAC，ODAC

12、，所以B OD为二面角BACD的平面角，于是30B OD=，又因为122OBODAB=，所以222232cos3022222622B DB ODOB O DO=+=+=，第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 取OC中点P，取CD中点Q，连接EP、EQ、PQ，所以/PQOD、/EPOB，所以ACEP、ACPQ，EP，EQ相交，所以AC 平面EPQ，所以在三棱锥BACD表面上，满足ACEF的点F轨迹为EPQ，因为12EPOB=，12PQOD=，12EQB D=，所以EPQ的周长为()1462622222+=，所以点F轨迹的长度为4622+故选：A 8.已知函数()f x的定义域为()()(

13、)()22R,f xy f xyfxfy+=，且当0 x 时，()0f x，则（）A.()01f=B.()f x是偶函数 C.()f x是增函数 D.()f x是周期函数【答案】C【解析】【分析】对 A，令0 xy=求解即可；对 B，令0 x=化简可得()()0fyfy+=即可；对 C，设210 xx，结合题意判断()()22210fxfx判断即可；对 D，根据()f x是增函数判断即可.【详解】对 A，令0 xy=，则()()()222000fff=，得()00f=，故 A 错误；对 B，令0 x=，得()()()()220fy fyffy=，由()00f=整理可得()()()0fyfyfy

14、+=，将y变换为y，则()()()0fyfyfy+=，故()()20fyfy+=，故()()0fyfy+=，故()f x是奇函数，故 B错误；第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 对 C，设210 xx，则()()210,0f xf x，且()()()()()()()()22212121fxfxf xf xf xf x=+()()21210f xxf xx=+，故()()22210fxfx，则()()21f xf x.又()00f=，()f x是奇函数，故()f x是增函数，故 C 正确；对 D，由()f x是增函数可得()f x不是周期函数，故 D 错误.故选：C 二、多项选择题（本

15、题共二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第 40百分位数为 12 B.若样本数据121021,21,21xxx+的方差为 8，则数据1210,x xx的方差为 2 C.已知随机变量X服从正态分布()2,N，若()()261P XP X+=，则2=D.在独立性检验

16、中，零假设为0H：分类变量X和Y独立基于小概率值的独立性检验规则是：当2x时，我们就推断0H不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；当2x时，我们没有充分证据推断0H不成立，可以认为X和Y独立【答案】BC【解析】【分析】对 A，根据百分位数的定义求解即可；对 B，根据方差的公式推导数据1210,x xx的方差与121021,21,21xxx+的方差关系求解即可；对 C，根据正态分布的对称性推导即可；对 D，由独立性检验的性质判断即可.【详解】对 A，由于10,11,11,12,13,14,16,18,20,22共 10个数据，且10 0.44=，故第 40百分位数为第 4，5 个

17、数据的平均数为12 1312.52+=，故 A错误；对 B，设数据1210,x xx的平均数为121010 xxxx+=，方差为()()()22221210110sxxxxxx=+，则数据121021,21,21xxx+的平均数为 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()()()()12101210212121210211010 xxxxxxxx+=+，方差为()()()222211210121212110sxxxxxx=+()()()()()()22222212101210142222221010 xxxxxxxxxxxx=+=+248s=，所以22s=，故 B 正确；对 C，()(

18、)261P XP X+=则()()()6122P XP XP X=，即()()62P XP X=，由正态分布()2,N 的性质可得6222=，故 C正确；对 D，在独立性检验中，零假设为0H：分类变量X和Y独立基于小概率值的独立性检验规则是：当2x时，我们就推断0H不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；当2x+=，124y y=，同理344yym+=，344y y=，又2PFQF=，所以122yy=，所以218m=，所以()3434214222436MNxxyymm=+=+=+=，故 A正确；对于 B，由 A知，()34342142224MNxxyymm=+=+=+，()212

19、1222244PQxxm xxm=+=+=+，所以222222444444482 4816PQMNmmmmmm+=+=+=，当且仅当2244=mm，即1m=时，等号成立.故 B错误；对于 C，由 A知，()222221,2,1,GmmHmm+，所以直线 GH：()2222222122mmymxmmm+=，令0y=得3x=，所以直线 GH恒过定点()3,0，故 C错误；对于 D，由 C知直线 GH恒过定点()3,0，第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以1222242FGHGHGHSFAyyyymmmm=+=+，当且仅当1m=时，等号成立.故 D 正确；故选：AD 【点睛】思路点睛

20、：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为_.【答案】2:3.【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R.222226SRRRR=+=圆柱，24

21、SR=球，22:4:62:3SSRR=球圆柱.故答案为:2:3.【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.13.已知()170,cos,sin239=+=，则tan=_【答案】24【解析】【分析】根据同角三角函数的关系结合两角差的正弦值可得sin，进而可得tan.【详解】由题意，22 2sin1 cos3=，且322+，故 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()()24 2cos1 sin9+=+=.故()()()sinsinsincoscossin=+=+714 22 2193933=.故212 2cos133=，123tan42 23=.故答案为：24 14.已知函数()(

22、)21 exf xxax=+的最小值为1，则实数a的取值范围为_.【答案】)0,+【解析】【分析】求出导函数，根据 a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.【详解】因为()()21 exf xxax=+，所以()()e2e2xxfxxaxxa=+，若0a，则(),0 x 时，()0fx，故()f x在()0,+上单调递增，所以当0 x=时，()f x有最小值()01f=，满足题意；若a+=，求证：abab+【答案】（1）2 条 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分别求解()f x和()g x的切线方程，进而可得()112121e1eln1xxxxx=，构造函

23、数()()1e1,xh xxx=+-求导确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理判断根的个数即可求解，（2）通过换元以及指对互化，构造函数()()ln 1e,tq tt=+求导判断函数的单调性，即可求证.【小问 1 详解】设直线l与函数()f x和()g x分别相切于()()1122,e,lnxA xB xx，由()()1e,xfxgxx=可得121exx=，直线l方程为()111eexxyx x=-以及()2221lnyxxxx=，故()112121e1eln1xxxxx=，进而()1111e10 xxx+=-，令()()()1e1,e1xxh xxxh xx=+-=-，记()()()e1,

24、1 exxt xxtxx=+=-，当()()()1,0,xtxt xh x=单调递减，()()()1,0,xtxt xh x=单调递增，又()()0,0,11 e0 xt xt=单调递增，当()()()()0,0,xxt xh xh x=，第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 又()()2223e0,21 3e0hh=+，由()()1111eln1mfgf mg nnab+=+=+=，由于e1,m故ln0n，令ln0tn=，则e,e1tmnt=，故()ln 1mt=，故()ln 1e,0tmntt+=+记()()()()11 e1ln 1e,e11ttttq ttq ttt+=+=，

25、记()()()11 e,e0ttp ttp tt=+=，故()()11 e01ttq tt+=，所以1,mn+即111ab+，abab+【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题，从而判定不等关系；3适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18.已知点()2,0F和圆22:(2)36,CxyM+=为圆C上的一动点，线段MF的垂直平分线与线段MC

26、相交于点S，记点S的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）已知点()0,1N，若曲线E与x轴的左、右交点分别为A B、，过点()1,0T的直线l与曲线E交于PQ、两点，直线APBQ、相交于点D，问：是否存在一点D，使得DMDN+取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）22195xy+=的 第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（2）存在点D使得DMDN+取得最小值,且最小值为4016，【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而可得()12124my yyy=+，求解,AP BQ的直线方程，联立可得点D在定直线9

27、x=上，进而根据对称性即可求解.【小问 1 详解】由题意可得64SCSFSCSMMCCF+=+=,所以S点的轨迹是以,C F为焦点的椭圆，故26,243,2,5acacb=，故轨迹方程为22195xy+=【小问 2 详解】存在点D使得DMDN+取得最小值,且最小值为4016，由题意可知直线l的斜率不为 0，故设直线l方程为1xmy=+，221195xmyxy=+=，整理得()225910400mymy+=，设()()1122,P x yQ xy,所以1212221040,5959myyy ymm+=-=-，故()12124my yyy=+，由（1）()()3,0,3,0AB 故()11:33y

28、AP yxx=+，()22:33yBQ yxx=,设()00,D xy，将()00,D xy代入,AP BQ方程可得,第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()()()()()()21211220122012121211213444342332242yxymyyyyxmy yyxyxymymy yyyyy+=+，解得09x=，故点D在定直线9x=上，()0,1N关于9x=的对称点()18,1N，且()2,0C,故()22618214016DMDNDMDNMNCN+=+=+=，故DMDN+的最小值为4016，【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何

29、性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.若无穷数列 na满足()110,nnaaaf n+=，则称数列 na为数列，若数列 na同时满足12nna，则称数列 na为数列（1）若数列 na为数列，()1,f nn=N，证明：当2025n 时，数列 na为递增数列的充要条件是202520

30、24a=；（2）若数列 nb为数列，()f nn=，记2nncb=，且对任意的nN，都有1nncc+，求数列 nc的通项公式【答案】（1）证明见解析 （2）2ncn=【解析】第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先证必要性，根据递增函数可得数列 na是等差数列可得20252024a=，再证充分性，根据11nnaa+累加可得20252024a当且仅当11nnaa+=时取等号即可证明；（2）依题意 nb的偶数项构成单调递增数列，从而可得当20nb时，有2n，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得112,nnccn=，进而根据等差数列的通项公式求解即可.【小问 1 详解】先

31、证必要性：依题意得，11nnaa+=，又数列 na是递增数列，故11nnaa+=，故数列 na是10a=，公差1d=的等差数列，故()202502025 112024a=+=.再证充分性：由11nnaa+=，得11nnaa+，故()()()202520252024202420232112024aaaaaaaa=+，当且仅当11nnaa+=时取等号.又20252024a=，故11nnaa+=，故数列 na是递增数列.【小问 2 详解】因为2nncb=，由1nncc+，与条件矛盾；若1iibbi+=，则有112iiibbii+=+，与条件矛盾；第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 即假设不存在，即对任意正整数1,nnn b b+中至少有一个小于 0；由20nb，对2n 成立，故2n 时，210nb，210nb+，即221221,nnnnbbbb+，故()221212221,22nnnnbbnbbn=，故()()22121221nnnnbbbb+=，即2221,2nnbbn=，即112,nnccn=.又12240,1cbcb=，所以数列 nc是11c=，公差为 1 的等差数列，所以()112ncnn=+=.【点睛】思路点睛：（1）证明充要条件可分别证明充分性与必要性；（2）隔项数列可考虑每项前后的两项数列正负，并根据累加可得2221nnbb=.