高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案含解析.docx

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1、高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案含解析中学数学其次章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案含解析 本文关键词：方程，圆锥曲线，其次章，曲线，中学数学中学数学其次章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案含解析 本文简介：2.1曲线与方程曲线与方程提出问题在平面直角坐标系中：问题1：直线x5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x5上问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x5.导入新知曲线的方程中学数学其次章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案含解析 本文内容：2.1曲线与方程曲线与方程提出问

2、题在平面直角坐标系中：问题1：直线x5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x5上问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x5.导入新知曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，假如某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线化解疑难“纯粹性”与“完备性”(1)定义中的关系说明曲线上任何点的坐标都满意方程，即曲线上全部

3、的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”(2)定义中的关系说明符合条件的全部点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.求曲线的方程提出问题在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(2,0)问题1：平面上任一点P(x，y)到A点的距离是多少？提示：|PA|.问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满意的方程是什么？提示：.问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？提示：轨迹是一条直线导入新知求曲线的方程的步骤化解疑难1步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理如定点作为原点，相互垂直的直线作为坐标轴等合理地建立坐标系，能使运算更便利2步骤(2)可以不必写

4、出，也就是说可以依据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并3步骤(5)没有特别状况可以省略不写如有特别状况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除.曲线的方程与方程的曲线的概念例1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)其次、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解；但以方程|x|2的解为坐标的点不肯定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的

5、直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不肯定满意方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积肯定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)其次、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满意xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在其次、四象限两坐标轴夹角的平分线上因此，其次、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.类题通法这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不行这就是我们推断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则活学活用命题“曲线C上的

6、点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0的曲线不肯定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上解析：选B“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，但“以方程f(x，y)0的解为坐标的点”不肯定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.曲线与方程的关系例2下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)0；(2)4x2y26x3y0.解(1)由方程(xy1)0，可得或x10，即xy10(x1)或x1.故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1.(2)方程可化为(2xy)(

7、2xy3)0，即2xy0或2xy30.故原方程表示的是两条直线2xy0和2xy30.类题通法推断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟识的形式，然后依据化简后的特点推断特殊留意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外，当方程中含有肯定值时，常采纳分类探讨的思想活学活用已知方程x2(y1)210.(1)推断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值解：(1)12(21)210，()2(31)2610，点P在方程x2(y1)210表示的曲线上，点Q不在方程x2(

8、y1)210表示的曲线上(2)x，ym适合方程x2(y1)210，即2(m1)210，解得m2或m.所以m的值为2或.求曲线的方程例3过点P(2,4)作两条相互垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解法一：设点M的坐标为(x，y)M为线段AB的中点A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)l1，l2均过点P(2,4)，且l1l2，PAPB，当x1时，kPAkPB1.而kPA，kPB，1，整理，得x2y50(x1)当x1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满意方程x2y50，综上所述，点M的轨迹方

9、程是x2y50.法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.l1l2，2|PM|AB|.而|PM|，|AB|，2.化简，得x2y50，即为所求轨迹方程类题通法干脆法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最简单出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，肯定要慎重分析和高度重视活学活用已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程解：法一(干脆法)：如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以OQC90.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)

10、29，所以OP的中点Q的轨迹方程为x22(去掉原点)法二：(定义法)：如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则Q在以OC为直径的圆上故Q点的轨迹方程为x22(去掉原点)法三：(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得即又因为x(y13)29，所以4x2429，即x22(去掉原点)典例(12分)在RtABC中，斜边长是定长2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程解题流程活学活用已知线段AB在直线y2上移动，|AB|4，O为坐标原点求AOB的外心M的轨迹方程解：点A，B在直线y2上，且|AB|4，故设A(x1，2)，B(x14，2)，直线OA的垂直平分线为y1，直线AB的垂直平分线

11、为xx12.联立消去x1，得x24(y2)故M的轨迹方程为x24(y2)随堂即时演练1方程x2xyx表示的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线解析：选C由x2xyx，得x(xy1)0，即x0或xy10.由此知方程x2xyx表示两条直线2已知两定点A(2,0)，B(1,0)，假如动点P满意|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()AB4C8D9解析：选B设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，整理得x24xy20，即(x2)2y24.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，则其面积是224.3若点P(2，3)在曲线x2ky21上，则实数k_.解析

12、：将点P(2，3)代入曲线方程得49k1，k.答案：4设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则动点P的轨迹方程是_解析：圆(x1)2y21的圆心为点B(1,0)，半径r1，则|PB|2|PA|2r2.|PB|22.P的轨迹方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y225一个动点到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x8的距离为|x8|，到点A的距离为.由已知，得|x8|2，化简得3x24y248.所以动点的轨迹方程为3x24y248.课时达标检测一、选择题1已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y

13、2)22，则点M(2,1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上解析：选B将点M(2,1)的坐标代入方程知Ml，MC.2曲线yx2与x2y25的交点坐标是()A(2,1)B(2,1)C(2,1)或(2，5)D(2,1)或(2，5)解析：选B将x24y代入x2y25，得y24y50，得(y5)(y1)0，解得y5或y1，y5不符合题意，舍去，y1，则x24，解得x2.3方程x|y1|0表示的曲线是()解析：选B方程x|y1|0可化为|y1|x0，则x0，因此选B.4已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的

14、动点，满意|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28xBy28xCy24xDy24x解析：选B设点P的坐标为(x，y)，则(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|4，|，4(x2)依据已知条件得44(2x)整理得y28x.点P的轨迹方程为y28x.5已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240解析：选B由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，线段AB的长度|AB|5.设点C的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4

15、x3y240.二、填空题6方程x22y24x8y120表示的图形为_解析：对方程左边配方得(x2)22(y2)20.(x2)20,2(y2)20，解得从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)7已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P满意PMPN12，则点P的轨迹方程为_解析：设P(x，y)，则PM(2x，y)，PN(2x，y)于是PMPN(2x)(2x)y212，化简得x2y216，此即为所求点P的轨迹方程答案：x2y2168已知点A(0，1)，当点B在曲线y2x21上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y02x1.又因为M为AB的

16、中点，所以即将其代入y02x1得，2y12(2x)21，即y4x2.答案：y4x2三、解答题9在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PMy轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且4，求动点P的轨迹方程解：由已知得M(0，y)，N(x，y)，则(x，2y)，故(x，y)(x，2y)x22y2.依题意知x22y24，因此动点P的轨迹方程为x22y24.10已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为(0，y0)因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，则x0x，y0.又因为点M在圆C上，所以xy4，即x24(y0)所以动点Q的轨迹方程是1(y0)第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页