重庆市南开中学校2023-2024学年高三下学期第七次质量检测数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司重庆市高重庆市高 2024 届高三第七次质量检测届高三第七次质量检测数学试题数学试题2024.3命审单位：重庆南开中学命审单位：重庆南开中学注意事项：注意事项：1.本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡

2、上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知随机变量X服从正态分布22,Ns，(1)0.7P X=，则(23)PX，若图中所示为 f x的部分图象，则下列描述正确的是（）A.3Apwj+=B.I x的最小正周期是2pC.若3pa=

3、，4pb=，则 123 sin 24I xxp=+D.若 0I x=，则1coscoscos8jaabbj-=-7.在一个抽奖游戏中共有*3,n nnN扇关闭的门，其中*2,k k nk-N扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为（）A.kn；1kn-B.1kn-；2kn-C.kn；12k nn n-D.12kn-；2kn-8.如图，双曲线2222:1xyEab-=的左右焦点分别为1F，2F，若存在过2F的直线l交双曲线E右

4、支于A，B两点，且12AFF，12BFF的内切圆半径1r，2r满足1234rr=，则双曲线E的离心率取值范围为（）A.1,3B.1,7C.2,4 3D.1,4 3学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.下列命题中正确的是（）A.若向量ar，br满足a ba b=rrrr，则abrrPB.若非零向量ar，br满足abab

5、+=-rrrr，则abrrC.若ar，br，cr为平面向量，则a b ca b c=rrrrrrD.若ar，br，cr为非零向量，且满足a ba c=rrr r，则bc=rr10.已知函数 xf xaxb=+，11f=，33f=-，令113x=，1nnxf x+=.则（）A.1a=-，2b=B.数列1nx为等差数列C.11niix=D.1231111enxxxx+L11.已 知 三 次 函 数 32127f xaxxcx=+有 三 个 不 同 的 零 点123123,x x xxxx，函 数 1g xf x=-.则（）A.31ac B.若1x，2x，3x成等差数列，则1,00,1a-UC.若

6、g x恰有两个不同的零点,()m n mn，则123mna+=-D.若 g x有三个不同的零点123123,t t tttt恒成立，求实数a的取值范围.17.（15 分）在平面直角坐标系xOy中，已知2,0M，动点P到y轴的距离为d，且2PMd-=.（1）求动点P的轨迹方程C；（2）过点3,2N作直线交曲线C于y轴右侧两点A、B，且ANBN=.求经过A、B且与直线:2l x=-相切的圆的标准方程.18.（17 分）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图.学科网（北京）股份有限公司

7、（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；（2）群主预告今天晚上 7 点将有 3 个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到 10 元以上金额的红包的概率.（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏.规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为14；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为12.设前n轮中群主发红包的次数为X，第n轮由群主发红包的概率为nP.求nP及X的期望E X.19

8、.（17 分）设集合S、T为正整数集*N的两个子集，S、T至少各有两个元素.对于给定的集合S，若存在满足如下条件的集合T：对于任意,a bS，若ab，都有abT；对于任意,a bT，若ab，则bSa.则称集合T为集合S的“K集”.（1）若集合11,3,9S=，求1S的“K集”1T；（2）若三元集2S存在“K集”2T，且2T中恰含有 4 个元素，求证：21S；（3）若312,nSx xx=L存在“K集”，且12nxxx=，(3)(1)0.3P XP X=，(23)0.2PX=.2.A【解析】13ABk=-，所以直线l的斜率为3lk=，所以直线方程为31231yxx=-+=-.3.B【解析】221

9、f xxx=+-，111210224f=+-=，01f=-.4.C【解析】设所求为t天，代入数据得：1.08 201.30 201.08 41.30 4005eeSS t-=，解得21.64.3220.85et=，取对数为21.6ln520.8ln3.22ln54.32t-=，所以25t.5.C【解析】由题意有11222248nnnnCC-=-，带入选项，6n=满足题意.6.D【解析】由图可知，2A=，且1151121222Tppppw-=，所以2w=.又 01f=，所以1sin2j=.因为2pj，所以6pj=.所以23Apwj+=，A 错误.因为2w=，所以 f x，g x，h x的最小正周

10、期均为p，所以 I xf xg xh x=+的最小正周期为p，B 选项错误.因为3pa=，4pb=，所以 2sin 22sin 22sin 2226 sin 26344I xxxxxpppp=+=+，C 错误.因为 0I x=，所以2sin 22sin 22sin 20 xxxjab+=，展开得sin2coscoscoscos2sinsinsin0 xxabjabj+=，等式恒成立，则coscoscos0sinsinsin0abjabj+=+=，coscoscossinsinsinabjabj+=-+=-，平 方 求 和 得：22cos1ab+-=，1cos2ab-=-；同 理，可 得1cos

11、2ja-=-，1cos2bj-=-，学科网（北京）股份有限公司1coscoscos8jaabbj-=-，故 D 正确.7.C【解析】不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为kn；换门：若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为12kn-；若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概率为2kn-.所以换门的中奖概率为111222k nkkkkn nnnn n-+-=-.8.B【解 析】如 图，连 接12OO，12O F，22O F，可 知12OOx轴，设 直 线AB的 倾 斜 角 为q，122O F Hpq-=，222O F Hq=，又2F Hca=-，11tancot22rO Hcacap

12、qq-=-=-，22tan2rO Hcaq=-，3cot4tan22cacaqq-=-，解得3tan22q=，22tan2tan4 31tan2ABkqqq=-，4 3ABbka=，则离心率1,7e.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.AB10.ACD【解析】由 11f=，33f=-，解得1a=-，2b=，A 正确；2xf xx=-，113

13、x=，12nnnxxx+=-，12121nnnnxxxx+-=-，111121nnxx+-=-，又1112x-=，数列11nx-是首项为 2，公比为 2 的等比数列.112nnx-=，121nnx=+.B 错误；学科网（北京）股份有限公司121211111111112121212222ninnnix=+=-+LL.C 正确；1231212ln1111ln1ln1ln11nnnxxxxxxxxxx+=+LLL，即1231111enxxxx+，31ac，A 正确；对 B，由1x，2x，3x成等差数列，及三次函数的中心对称性可知213xa=-，所 以2221290327aacf xfaa+-=-=，

14、又13ac，故2293aac+=，所 以21a，所 以1,00,1a-U，故 B 正确；对 C：0g x=，即3226027axxcx+-=，若 g x恰有两个零点，则m或n必为极值点；若m为极值点，则该方程的三个根为m，m，n，由一元三次方程的韦达定理可知：12mna+=-；若n为极值点，同理可得12mna+=-，故 C 错；对 D：由韦达定理12312312233 11 22 33 11xxxtttacx xx xx xt tt tt ta+=+=-+=+=得2212312233 11231 22 33 122xxxx xx xx xtttt tt tt t+-+=+-+，即2222221

15、23123xxxttt+=+，故 D 正确.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.132i-+【解析】13i2w-=，213i2w-+=，31w=，20242022213i2www-+=.13.3【解析】10coscoscoscossinsinsin13ABABCCA+-=-，5cos13B=，12sin13B=.学科网（北京）股份有限公司3 2b=，6ac+=，由余弦定理，222518182()21313acacacac=+-=+-，132ac=，1sin32ABCSacB=.14.493p【解析】取BC和AB的中点分别为1O

16、，D，过点P作PE 面ABC于点E，连结PD，1DO，DE.易知120PDE=，且3PE=，11DO=.因为ABC为等腰直角三角形，所以1O是ABC的外心.设三棱锥PABC-的 外 接 球 的 球 心 为O，则1OO 面ABC.设1OOh=，OAR=，则222Rh=+，且22(3)4Rh=-+，解得24912R=，所以外接球表面积为24943SRpp=.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）解：（1）证明：ABAD=，PBD、CBD为等边三角形，M为BD中点，AMB

17、D，PMBD，CMBD.又AMPMM=I，BD 平面APM，PA平面APM，BDPA；CMPMM=I，BD 平面CPM，PC 平面CPM，BDPC；PAPCP=I，BD 平面PAC.设平面PAC与直线BD交于点M，BDAM.又AM平面ABD，在平面ABD内，过直线BD外一点A有且仅有一条直线与BD垂直，M与M重合，即有P，A，M，C四点共面.6 分（2）如图，以M为原点，建立空间直角坐标系，平面ABD 平面PBD，平面ABDI平面PBDBD=，AM 平面ABD，AM 平面PBD，AMMP.PBD和CBD均为等边三角形，学科网（北京）股份有限公司3PMMCPC=，60PMC=.3 30,22P，

18、0,3,0C，1,0,0B，0,3,1A-.1,3,1AB=-uuu r，3 31,22BP=-uuu r，1,3,0BC=-uuu r.设平面PBC的法向量为,mx y z=r，33022m BPxyz=-+=uuu rr，30m BCxy=-+=uuu rr.取3,3,1m=r.设直线AB与平面PBC夹角为q，565sincos,13513AB mq=uuu r ur.直线AB与平面PBC所成角的正弦值为6513.15 分16.（15 分）解：（1）22afxxx=-+，当1a=，时，11f=-，1fx=，故切线方程为：2yx=-；5 分（2）法一：不妨设120 xx，同除以12x x得

19、1212f xf xxx，所以 ln2f xa xG xxxx=-+在0,+单调递增，所以 21 ln10axGxx-=+.7 分若0a=，0Gx恒成立，符合题意.若0a，则21ln1xax-恒成立.令 2ln1xF xx-=，则 332lnxFxx-=，所以 F x在320,e单调递增，在32e,+单调递减，所以32311e2eFa=，所以30,2ea.若0a-，学科网（北京）股份有限公司令 ln2f xxg xxaxx=-+，则只需 g x在0,+单调递增，即 0gx恒成立；7 分 2221 ln1 ln1axxaxgxxx-+-=+=，令 21 lnh xxax=+-，则 0h x 恒成

20、立；又 222axah xxxx-=-=，当0a=时，2h xx=，h x在0,+单调递增成立；当0a，h x在0,+单调递增，又当0 x 时，h x -，故 0h x 不恒成立，不满足题意；（3）当0a 时，由 0h x=得2ax=，则 h x在0,2a单调递减，在,2a+单调递增，因为 0h x 恒成立，所以min()1 ln3ln022222aaaaah xha=+=-，解得32ea，故302ea；综上，实数a的取值范围是30,2ea.15 分17.（15 分）解：（1）2,0M，设,P x y，因为2PMd-=，所以22(2)2xyx-+=+，整理得244yxx=+，所以，当0 x时，

21、28yx=；当0 x 时，0y=；所以P的轨迹方程为C：280yx x=，0(0)yx=.6 分（2）过3,2N的 直 线 不 与x轴 的 负 半 轴 相 交，N为AB中 点，设11,A x y，22,B xy，联 立222111221222888yxyyxxyx=-=-=，即12121242yy yyxx+-=-，24ABk=，2ABk=.直线AB：24yx=-.此时l：2x=-为抛物线的准线，2,0M为焦点，联立228416024yxyyyx=-=-由韦达定理可得124yy+=，1216y y=，得弦长10AB=，所以直线AB的中垂线的方程为：1722yx=-+，学科网（北京）股份有限公司

22、由圆心在弦的中垂线上，故可设圆心为7,2mQ m-，半径为R，因为圆Q与直线l相切，故22Rmm=-=+，又222222222|71|(3)225530145424ABmRQAQNANQNmmm-=+=+=-+-+=-+，所以221|2|5301454mmm+=-+，即2461290mm-+=，解得3m=或43m=；故3,2Q或43,18Q-，半径5R=或 45，故圆Q的方程为：22(3)(2)25xy-+-=或22(43)(18)2025xy-+=.15 分18.（17 分）解：（1）平均值为：5152535450.066 50.054 50.040 50.032 50.008 59.052

23、2222x=+=；众数为最高矩形的中点坐标，即为 2.5.3 分（2）由题可知，每个红包抢到 10 元以上金额的概率为 0.4，且 3 次红包相互独立，所以至少两次抢到 10 元以上金额的概率为223333440.40.60.40.352125CC+=；8 分（3）由题意，11P=，111142nnnPPP+=+-，1212545nnPP+-=-，又12355P-=，25nP-是以35为首项，14-为公比的等比数列，1231554nnP-=-.1231554nnP-=+-.13 分设kx为第k轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，故kx服从两点分布：1kkPPx=，01kkPPx=-.1,2,

24、3k=L，101kkkkEPPPx=+-=.由已知123nXxxxx=+L，则123nE XExxxx=+L 123nEEEExxxx=+L学科网（北京）股份有限公司123nPPPP=+L1123415514nn-=+212115254nn=+-17 分19.（17 分）解：（1）若11,3,9S=，由题意可得，1 3，1 9，3 9T，即3,9,27T，此时19 27 27,339S，满足题意，假设集合T中还有第四个元素为t，则由题意可知：若3t，则127St，不成立；若3t，则13tS，3t=或 9 或 27，矛盾.故集合T中无四个元素，所以集合3,9,27T=.3 分（2）设集合2123

25、,Sa a a=，不妨设123aaa，假设21S，即11a=，则231aa且2323,a a a aT，由知322aSa，注意到3321aaa，故有322aaa=，即232aa=，所以22221,Sa a=，故3232a aaT=，即23222,a aaT，因为集合T中有 4 个元素，故设23222,Ta aa t=，由可得：若2ta，322aSt，矛盾；若2ta，22tSa，则21ta=或2a或22a，所以2ta=或22a或32a，与集合元素的互异性矛盾，假设错误，故21S.9 分（3）*312,nSx xx=NL，*12,nx xx NL，不妨设121nxxxL，所以12x xT，2nx

26、xT，又122nx xx x，故23121nnx xxSx xx=，同理可得3(1)jixSij nx，若11x=，与（2）类似得2132221,nSxxx-=L，从而必有223222,nxxxT-L，对任意的123ijn-，有2232jj iixxSx-=，即12242223,nxxxS-L，所以241nn-，即3n.学科网（北京）股份有限公司若11x，即12x，321111nnxxxxxxxL，故11nnxxx-=，121nnxxx-=，321xxx=L，211xxx=，所以2312131111,nnnnxxxxxxxx-=L，即23111,nSx xx=L，从而必有3421111,nxxxT-L，对任意的321ijn-，必有1131jj iixxSx-=，即12242223,nxxxS-L，所以24nn-，即4n.综上，得4n，又4n=时，有2,4,8,16S=，8,16,32,64,128T=符合题意，所以n的最大值为 4.17 分