2024年高考数学一模好题分类汇编：导数及其应用含答案.pdf

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1、1导数及导数应用导数及导数应用题型01 导数的几何意义题型02 导数与函数的单调性题型03 导数与函数的极值、最值题型04 导数的综合应用题型05 导数的新颖题型题型01 导数的几何意义题型02 导数与函数的单调性题型03 导数与函数的极值、最值题型04 导数的综合应用题型05 导数的新颖题型题型01 导数的几何意义题型01 导数的几何意义1(2024下广东茂名市一模)(2024下广东茂名市一模)曲线 f x=ex+ax在点 0,1处的切线与直线y=2x平行，则a=()A.-2B.-1C.1D.22(2024下广东梅州市一模)(2024下广东梅州市一模)已知 f1x=xex+sinx+cosx

2、，fn+1x是 fnx的导函数，即 f2x=f1x，f3x=f2x，fn+1x=fnx，nN*，则 f20240=()A.2021B.2022C.2023D.20243(2024下广东大湾区校联考模拟预测)(多选)(2024下广东大湾区校联考模拟预测)(多选)若过点(a,b)可作曲线 f(x)=x2lnx的n条切线(nN)，则()A.若a0，则n2B.若0ae-32，且b=a2lna，则n=2C.若n=3，则a2lnab2ae-32+12e-3D.过 e-32,-6，仅可作y=f(x)的一条切线4(2024下广东广州市一模)(多选)(2024下广东广州市一模)(多选)已知直线y=kx与曲线y=

3、lnx相交于不同两点M x1,y1,N x2,y2，曲线y=lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P x0,y0，则()A.0k1eB.x1x2=ex0C.y1+y2=1+y0D.y1y20)，设曲线y=f x在点 xi,f xi处切线的斜率为kii=1,2,3，若x1,x2,x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为题型02 导数与函数的单调性题型02 导数与函数的单调性6(2024下广东茂名市一模)(多选)(2024下广东茂名市一模)(多选)若 f x=-13x3+12x2+2x+1是区间 m-1,m+4上的单调函数，则实数m的值可以是()A.-4B.-3C.3D.4202

4、4年高考数学一模好题分类汇编：导数及其应用27(20242024下下 广东广东 省一模省一模)已知0a13题型题型0303 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值9(20242024下下 广东广东 佛山禅城一模佛山禅城一模)若函数 f x=alnx+4x+bx2(a0)既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是()A.a0B.b-1D.a+b010(20242024下下 广东广东 广州市二中模拟广州市二中模拟)已知函数 f x=ex-12 a+1x2-bx a,bR没有极值点，则ba+1的最大值为()A.e2B.e2C.eD.e2211(20242024下下 广东广东 深圳市一模深圳市

5、一模)()(多选多选)设a1,b0，且lna=2-b，则下列关系式可能成立的是()A.a=bB.b-a=eC.a=2024bD.abe12(20242024下下 广东广东 佛山禅城一模佛山禅城一模)若函数 f x=exlnx+xex-alnxx-a(aR R)有2个不同的零点，则实数a的取值范围是13(2024下广东广州市一模)已知函数 f x=cosx+xsinx,x-,.(1)求 f x的单调区间和极小值；(2)证明：当x 0,时，2f xex+e-x.414(20242024下下 广东大湾区广东大湾区 校联考模拟预测校联考模拟预测)设函数 f(x)=lnx+a(x-1)(x-2)，其中a

6、为实数(1)当a=1时，求 f(x)的单调区间；(2)当 f(x)在定义域内有两个不同的极值点x1,x2时，证明：f x1+f x259+ln91615(20242024下下 广东广东 梅州市一模梅州市一模)已知函数 f x=ax-1x-a+1lnx aR.(1)当a=-1时，求曲线y=f x在点 e,f e处的切线方程；(2)若 f x既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.516(20242024下下 广东广东 百校联考百校联考)已知函数 f x=ex-ln x-m(其中e为自然对数的底数)(1)当m=-1时，求 f x的最小值；(2)若对定义域内的一切实数x，都有 f x4，求整

7、数m的最小值(参考数据：e543.49)17(20242024下下 广东广东 梅州市一模梅州市一模)已知函数 f x=ln x+1-axx+1a0.(1)若x=1是函数 f x的一个极值点，求a的值；(2)若 f x0在 0,+上恒成立，求a的取值范围；(3)证明：202420232024e(e为自然对数的底数).6题型题型0404导数的综合应用导数的综合应用18(20242024下下 广东广东 广州天河区一模广州天河区一模)已知函数 f x=lnx+2x-b(b2).(1)证明：f x恰有一个零点a，且a 1,b；(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法

8、是“牛顿切线法”.任取x1 1,a，实施如下步骤：在点 x1,f x1处作 f x的切线，交x轴于点 x2,0：在点x2,f x2处作 f x的切线，交x轴于点 x3,0；一直继续下去，可以得到一个数列 xn，它的各项是f x不同精确度的零点近似值.(i)设xn+1=g xn，求g xn的解析式；(ii)证明：当x1 1,a，总有xnxn+127题型题型0505导数的新颖题型导数的新颖题型20(20242024下下 广东广东 番禺番禺)对于函数y=f(x)，把 f(x)称为函数y=f(x)的一阶导，令 f(x)=g(x)，则将g(x)称为函数y=f(x)的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书

9、写，我们将n阶导用f(x)n表示.(1)已知函数 f(x)=ex+alnx-x2，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在y=f(x)取a1=f(1)作为数列的首项，并将f(1+n)n,n1作为数列的第n+1项.我们称该数列为y=f(x)的“n阶导数列”若函数 g(x)=xn(n 1)，数列 an 是 y=g(x)的“n 阶导数列”，取 Tn为 an 的前 n 项积，求数列TnTn-1 的通项公式.在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.(写出一个即可)821(20242024下下 广东广

10、东 广州市二中模拟广州市二中模拟)数列 an严格减数列且为无穷数列，满足条件.若x=m时，函数 f(x)取得极大值或极小值，则称m为函数 f(x)的极值点.已知函数 f(x)=xln+2x+a，g(x)=ax，其中a为正实数.(1)若函数 f(x)有极值点，求a的取值范围；(2)当x2x10，x2和x1的几何平均数为x2x1，算术平均数为x1+x22.判断x2-x1x2-x1lnln与x2和x1的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；当a1时，证明：f(x)g(x).922(20242024下下 广东广东 茂名市一模茂名市一模)若函数 f x在 a,b上有定义，且对于任意不同的x1,x

11、2 a,b，都有 f x1-f x2k x1-x2，则称 f x为 a,b上的“k类函数”.(1)若 f x=x22+x，判断 f x是否为 1,2上的“3类函数”；(2)若 f x=a x-1ex-x22-xlnx为 1,e上的“2类函数”，求实数a的取值范围；(3)若 f x为 1,2上的“2类函数”，且 f 1=f 2，证明：x1，x2 1,2，f x1-f x21.1导数及导数应用导数及导数应用题型题型0101 导数的几何意义 导数的几何意义题型题型0202 导数与函数的单调性 导数与函数的单调性题型题型0303 导数与函数的极值、最值 导数与函数的极值、最值题型题型0404 导数的综

12、合应用 导数的综合应用题型题型0505 导数的新颖题型 导数的新颖题型题型题型0101 导数的几何意义导数的几何意义1(20242024下下 广东广东 茂名市一模茂名市一模)曲线 f x=ex+ax在点 0,1处的切线与直线y=2x平行，则a=()A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】【详解】因为曲线 f x=ex+ax在点 0,1处的切线与直线y=2x平行，故曲线 f x=ex+ax在点 0,1处的切线的斜率为2，因为 fx=ex+a，所以 f0=e0+a=1+a=2，所以a=1，故选：C.2(20242024下下 广东广东 梅州市一模梅州市一模)已知 f1x=xex+sinx+co

13、sx，fn+1x是 fnx的导函数，即 f2x=f1x，f3x=f2x，fn+1x=fnx，nN*，则 f20240=()A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】B【解析】【详解】解：因为 f1x=xex+sinx+cosx，所以 f2x=f1x=x+1ex+cosx-sinx；f3x=f2x=x+2ex-sinx-cosx；f4x=f3x=x+3ex-cosx+sinx；f5x=f4x=x+4ex+sinx+cosx；，由此规律可得：f2024x=f2023x=x+2023ex-cosx+sinx.所以 f20240=0+2023e0-cos0+sin0=2023-1=202

14、2.2故选：B.3(20242024下下 广东大湾区广东大湾区 校联考模拟预测校联考模拟预测)()(多选多选)若过点(a,b)可作曲线 f(x)=x2lnx的n条切线(nN)，则()A.若a0，则n2B.若0ae-32，且b=a2lna，则n=2C.若n=3，则a2lnab0，所以g(x)在 0,e-32上单调递增，x e-32,+，g(x)0，所以在 e-32,+上单调递减，g e-32=-2ae-32+12e-3-b，在 0,+两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，所以g(x)至多有2个零点，故A正确；当a 0,e-32时，x(0,a)和x e-32,+时，g(x)0，所以g(x)a,e-

15、32上单调递增，g(a)=a2lna-b，g e-32=-2ae-32+12e-3-b，当b=a2lna时，g(a)=0，所以g e-320，结合图象，值域为-,-2ae-32+12e-3-b，所以n=2，B正确；若n=3，则g(a)0g e-32，即a2lnabe-32时，g e-320g(a)，即-2ae-32+12e-3b0时，g(x)有1个零点，即b0，D正确故选：ABD.4(20242024下下 广东广东 广州市一模广州市一模)()(多选多选)已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M x1,y1,N x2,y2，曲线y=lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P x0,y

16、0，则()A.0k1eB.x1x2=ex0C.y1+y2=1+y0D.y1y2x1x2,lnx2-lnx1x2-x11x1x2，即k1x1x2，k x1x21，即k2x1x21,kx1kx21，即y1y21，D对.方法二：kx1=lnx1=y1kx2=lnx2=y2，令g x=lnx,gx=1xg x在M处的切线方程为y=1x1x-x1+lnx1=1x1x+lnx1-1在N处的切线方程为y=1x2x+lnx2-1由kx=lnxk=lnxx有两个不等实根x1,x2，作出y=lnxx的大致图象如下0kex0,B错.对于C，由x0=kx1x2知y0=1x1kx1x2+lnx1-1=kx1+kx2-1

17、=y1+y2-1y1+y2=1+y0，C正确.对于D，由kx1=y1lnk+lnx1=lny1lnk+y1=lny1，同理lnk+y2=lny2lny1-y1=lny2-y2y2-y1lny2-lny1=1y1y2y1y20)，设曲线y=f x在点 xi,f xi处切线的斜率为kii=1,2,3，若x1,x2,x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为【答案】18【解析】【详解】由于 f x=a x-x1x-x2x-x3(a0)，故 fx=ax-x1x-x2+x-x2x-x3+x-x3x-x1，故k1=a x1-x2x1-x3,k2=a x2-x3x2-x1，k3=a x3-x1x3

18、-x2，则1k1+1k2+1k3=1a x1-x2x1-x3+1a x2-x3x2-x1+1a x3-x1x3-x25=x3-x2+x1-x3+x2-x1a x1-x2x2-x3x3-x1=0，由k2=-2，得1k1+1k3=12，由k2=-2，即k2=a x2-x3x2-x10，知x2位于x1,x3之间，不妨设x1x20,k30，故k1+4k3=2 k1+4k31k1+1k3=2 5+k1k3+4k3k12 5+2k1k34k3k1=18，当且仅当k1k3=4k3k11k1+1k3=12，即k1=6,k3=3时等号成立，故则k1+4k3的最小值为18，故答案为：18题型题型0202 导数与函

19、数的单调性导数与函数的单调性6(20242024下下 广东广东 茂名市一模茂名市一模)()(多选多选)若 f x=-13x3+12x2+2x+1是区间 m-1,m+4上的单调函数，则实数m的值可以是()A.-4B.-3C.3D.4【答案】CD【解析】【详解】由题意，fx=-x2+x+2=-x-2x+1，令 fx0，解得-1x2，令 fx0，解得x2，所以 f x在-1,2上单调递减，在-,-1，2,+上单调递减，若函数 f x=-13x3+12x2+2x+1在区间 m-1,m+4上单调，则m+4-1或m-12或m-1-1m+42，解得m-5或m3或m，即m-5或m3.故选：CD.7(20242

20、024下下 广东广东 省一模省一模)已知0a0 x1，又函数定义域为-,0 0,+，所以函数在-,0和 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增.【小问2详解】因为0a1，所以：当x0时，f x=aex-ax0，函数在 0,1上递减，在 1,+递增，所以 f xmin=f 1=ae1-aae0=a，所以方程 f x=a无解.综上可知：方程 f x=a的根的个数为0.8(20242024下下 广东广东 东莞东莞)已知函数 f x=1+lnxeln1ax(1)讨论 f x的单调性；(2)若方程 f x=1有两个根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：x1x21【答案】(1)f x在 0,1上单调递

21、增，1,+上单调递减，(2)见解析【解析】【小问1详解】由题意可得x0,1ax0，所以a0，f x=1+lnxeln1ax=1+lnxax的定义域为 0,+，又 fx=1xax-1+lnxaax2=-lnxax2，由 fx=0，得x=1，当0 x0，则 f x在 0,1上单调递增，当x1时，fx0，则 f x在 1,+上单调递减，【小问2详解】由1+lnxax=1，得1+lnxx=a，设g x=1+lnxx，gx=1xx-1+lnxx2=-lnxx2，由gx=0，得x=1，当0 x0，则g x在 0,1上单调递增，当x1时，gx0，则g x在 1,+上单调递减，7又g1e=0，g 1=1，且当

22、x趋近于正无穷，g x趋近于0，g x=1+lnxx的图象如下图，所以当0a1时，方程1+lnxx=a有两个根，证明：不妨设x1x2，则0 x11x2，1+lnx1x1=1+lnx2x2，设h x=g x-g1x=1+lnxx-x 1-lnx，hx=-lnxx2+lnx=x2-1x2lnx0，所以h x在 0,+上单调递增，又h 1=0，所以h x1=g x1-g1x10，即g x1g1x1，又g x1=g x2，所以g x21，1x11，g x在 1,+上单调递减，所以x21x1，故x1x21.题型题型0303 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值9(20242024下下 广东广东

23、佛山禅城一模佛山禅城一模)若函数 f x=alnx+4x+bx2(a0)既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是()A.a0B.b-1D.a+b0【答案】C10(20242024下下 广东广东 广州市二中模拟广州市二中模拟)已知函数 f x=ex-12 a+1x2-bx a,bR没有极值点，则ba+1的最大值为()A.e2B.e2C.eD.e22【答案】B【详解】函数 f x=ex-12 a+1x2-bx没有极值点，8 fx=ex-1a+1x-b0，或 fx0恒成立，由y=ex指数爆炸的增长性，fx不可能恒小于等于0，fx=ex-1a+1x-b0恒成立令h x=ex-1a+1x-b，则hx

24、=ex-1a+1，当a+10恒成立，h x为R上的增函数，因为ex 0,+是增函数，-1a+1x-b-,+也是增函数，所以，此时h x-,+，不合题意；当a+10时，hx=ex-1a+1为增函数，由hx=0得x=-a+1ln，令hx0 x-a+1ln，hx0 x0，ba+1a+1ln+1a+12，令a+1=x x0，u x=x+1lnx2x0，则，ux=x-x+1ln2xx4=-2x+1lnx3，令ux00 x1e，令ux1e，所以当x=1e时，u x取最大值u1e=e2故当a+1=1e，b=e2，即a=ee-1，b=e2时，ba+1取得最大值e2综上，若函数h x没有极值点，则ba+1的最大

25、值为e2故选：B.11(20242024下下 广东广东 深圳市一模深圳市一模)()(多选多选)设a1,b0，且lna=2-b，则下列关系式可能成立的是()A.a=bB.b-a=eC.a=2024bD.abe【答案】AC【解析】【详解】由于lna=2-b，知b=2-lna，及其a1,b0，则b=2-lna0，解得1ae2，9对AB，b-a=2-lna-a，设函数 f(a)=2-lna-a,1ae2，f(a)=-1a-10，故 f(a)在 1,e2上单调递减，则-e2=f e2 f(a)f(1)=1，即-e2b-a1，故A对B错；对C，由于1ae2,ba=2-lnaa，设g(a)=2-lnaa,1

26、ae2，g(a)=lna-3a20，故g(a)在 1,e2上单调递减，0=g e2g(a)0，则a e,e2，h(a)0，则h(a)在(1,e)上单调递增，在 e,e2上单调递减，hmax(a)=e,h(1)=2,h e2=0，故h(a)(0,e，即00)，设g x=lnx+x，可得gx=1x+10，g x单调递增，且g12=-ln2+120，所以存在唯一的x1 0,1，使g x1=0，即lnx1+x1=0，令ex-ax=0，即a=xex，设h x=xex，可得hx=(x+1)ex0，则h x在 0,+上单增，又由h 0=0且x+时，h x+，所以当a 0,+时，存在唯一的x2 0,+，使h

27、x2=a，即a=x2ex2，若x1=x2时，可得lnx1+x1=0a=x1ex1，则lnx1=-x1，可得x1=e-x1，所以x1ex1=1，所以a=1，综上所述，实数a的取值范围为 0,1 1,+故答案为：0,1 1,+13(2024下广东广州市一模)已知函数 f x=cosx+xsinx,x-,.(1)求 f x的单调区间和极小值；(2)证明：当x 0,时，2f xex+e-x.10【解析】(1)fx=-sinx+sinx+xcosx=xcosx=0 x=0或2或-2当-x0,f x；当-2x0时，fx0,f x；当0 x0,f x；当2x时，fx59+ln916【答案】(1)f(x)的单

28、调递增区间为 0,12,(1,+)，单调递减区间为12,1(2)证明见解析【解析】【小问1详解】f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1x+(2x-3)=2x2-3x+1x，令 fx=2x-1x-1x=0，得x=12或x=1，x 0,12(1,+)时，f(x)0，x12,1时，f(x)0 x1x2=12a0=9a2-8a0，解得a89，11因为 f x1+f x2=ln x1x2+a x21+x22-3a x1+x2+4a=ln x1x2+ax1+x22-2x1x2-3a x1+x2+4a=-ln 2a+74a-1，设g(a)=-ln(2a)+74a-1，a89，则g(a)=74-1a=7a

29、-44a0，故g(a)在89,+上单调递增，又g(a)g89=-ln169+59=59+ln916，故 f x1+f x259+ln91615(20242024下下 广东广东 梅州市一模梅州市一模)已知函数 f x=ax-1x-a+1lnx aR.(1)当a=-1时，求曲线y=f x在点 e,f e处的切线方程；(2)若 f x既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.【答案】(1)y=1e2-1x-2e；(2)(0,1)(1,+).【解析】【小问1详解】当a=-1时，函数 f(x)=-x-1x，求导得 f(x)=1x2-1，则 f(e)=1e2-1，而 f(e)=-e-1e，所以曲线y

30、=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y-e-1e=1e2-1(x-e)，即y=1e2-1x-2e.【小问2详解】函数 f(x)=ax-1x-(a+1)lnx的定义域为(0,+)，求导得 f(x)=a+1x2-a+1x=ax2-(a+1)x+1x2=(ax-1)(x-1)x2，当a0时，ax-10，得0 x1，由 f(x)1，则函数 f(x)在(0,1)上递增，在(1,+)上递减，函数 f(x)只有极大值 f(1)，不合题意；当a0时，由 f(x)=0，得x=1或x=1a，若01a1，由 f(x)0，得0 x1，由 f(x)0，得1ax1，即0a0，得0 x1a，由 f(x)0，得1x4，

31、求整数m的最小值(参考数据：e543.49)【答案】(1)1(2)1【解析】【小问1详解】m=-1时，f x=ex-ln x+1，故 fx=ex-1x+1,x-1，因为y=ex,y=-1x+1在-1,+上均为增函数，故 fx在-1,+上为增函数，而 f0=0，故当x 0,+时，fx0，当x-1,0时，fxm，因为y=ex,y=-1x-m在 m,+上均为增函数，故 fx在 m,+上为增函数，而 fm+1=em+1-1m+1-m1-11=0，当xm(从m的右侧)时，fx-，故 fx在 m,+上存在一个零点x0，且x m,x0时，fx0；故 f x在 m,x0上为减函数，在 x0,+上为增函数，故

32、f xmin=f x0=ex0-ln x0-m4，而ex0=1x0-m，故x0=-ln x0-m，且m=x0-1ex0，故 f x0=ex0+x0，故ex0+x04，故x01，故m=x0-1ex01-1e0，故m1.13若m=1，则1=x0-1ex0即x0-1ex0-1=0，因为y=x-1,y=-1ex在 1,+均为增函数，故v x=x-1ex-1在 1,+为增函数，而v54=e54-44e54，但e5243256=44，故e544，即v5454，但e54+543.49+1.254，即ex0+x04成立故m=1时，f x4恒成立，故整数m的最小值为1.17(20242024下下 广东广东 梅州

33、市一模梅州市一模)已知函数 f x=ln x+1-axx+1a0.(1)若x=1是函数 f x的一个极值点，求a的值；(2)若 f x0在 0,+上恒成立，求a的取值范围；(3)证明：202420232024e(e为自然对数的底数).【答案】(1)a=2(2)0,1(3)证明详见解析【解析】【分析】(1)由 f1=0求得a，验证后确定a的值.(2)对a进行分类讨论，根据 f x在区间 0,+上的最小值不小于0求得a的取值范围.(3)将要证明的不等式转化为证明ln20242023-120240，结合(2)的结论来证得不等式成立.【小问1详解】f x=ln x+1-axx+1a0，定义域为-1,+

34、，fx=x+1-ax+12a0，因为x=1是 f x的一个极值点，所以 f1=2-a4=0,a=2.此时 fx=x-1x+12，所以 f x在区间-1,1上 fx0,f x单调递增，所以x=1是 f x的极小值点，符合题意，所以a=2.【小问2详解】因为 f x0在 0,+上恒成立，所以 f xmin0.当01时，令 fx=x+1-ax+120，得xa-1，令 fx=x+1-ax+120，得0 xa-1，所以 f x在 0,a-1上单调递减，在 a-1,+上单调递增，当x 0,a-1时，f xe，即证明ln202420232024lne，即证明ln20242023-120240，由(2)得a=

35、1时，f x=ln x+1-xx+1在 0,+上单调递增，所以 f12023=ln 1+12023-120231+12023=ln20242023-12024 f 0=0，从而原不等式成立.题型题型0404导数的综合应用导数的综合应用18(20242024下下 广东广东 广州天河区一模广州天河区一模)已知函数 f x=lnx+2x-b(b2).(1)证明：f x恰有一个零点a，且a 1,b；(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取x1 1,a，实施如下步骤：在点 x1,f x1处作 f x的切线，交x轴于点 x2,0：在点x2,f x

36、2处作 f x的切线，交x轴于点 x3,0；一直继续下去，可以得到一个数列 xn，它的各项是f x不同精确度的零点近似值.(i)设xn+1=g xn，求g xn的解析式；(ii)证明：当x1 1,a，总有xnxn+1a.【答案】(1)证明见解析(2)g(xn)=-xnlnxn+(b+1)xn1+2xn，证明见解析【解析】【分析】(1)根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；(2)(i)由导数的几何意义得曲线 f(x)在 xn,f(xn)处的切线方程为 y=1+2xnxnx+lnxn-b-1，进而得g(xn)=-xnlnxn+(b+1)xn1+2xn；(ii)令h(x)=1+2xnxnx+

37、lnxn-b-1，进而构造函数F(x)=f(x)-h(x)=lnx-1xnx-lnxn+1，结合函15数单调性证明xn+10，f(xn)xn即可得答案【小问1详解】f x=lnx+2x-b(b2)，定义域为(0,+)，所以，f(x)=1x+20在(0,+)上恒成立，所以函数 f(x)在(0,+)上单调递增，因为 f 1=ln1+2-b=2-b2)，f b=lnb+2b-b=lnb+b0(b2)，所以，存在唯一a(1,b)，使得 f a=0，即：f(x)有唯一零点a，且a(1,b)；【小问2详解】(i)由(1)知 f(x)=1x+2，所以，曲线 f(x)在 xn,f(xn)处的切线斜率为kn=1

38、xn+2，所以，曲线 f(x)在 xn,f(xn)处的切线方程为y-f(xn)=f(xn)(x-xn)，即y=1+2xnxnx+lnxn-b-1，令y=0得x=-xnlnxn+(b+1)xn1+2xn，所以，切线与x轴的交点-xnlnxn+(b+1)xn1+2xn,0，即xn+1=-xnlnxn+(b+1)xn1+2xn，所以，g(xn)=-xnlnxn+(b+1)xn1+2xn；证明：(ii)对任意的 xn(0,+)，由(i)知，曲线 f(x)在(xn,f(xn)处的切线方程为：y=1+2xnxnx+lnxn-b-1，故令h(x)=y=1+2xnxnx+lnxn-b-1，令F(x)=f(x)

39、-h(x)=lnx-1xnx-lnxn+1，所以，F(x)=1x-1xn=xn-xxnx，所以，当x(0,xn)时，F(x)0，F(x)单调递增，当x(xn,+)时，F(x)0，F(x)单调递减，所以，恒有F(x)F(xn)=0，即 f(x)h(x)恒成立，当且仅当x=xn时等号成立，另一方面，由(i)知，xn+1=xn-f(xn)f(xn)，且当xna时，xn+1xn，(若xn=a，则 f(xn)=f a=0，故任意xn+1=xn=x1=a，显然矛盾)，因为xn+1是h(x)的零点，所以 f(xn+1)h(xn+1)=f a=0，因为 f(x)为单调递增函数，16所以，对任意的xna时，总有

40、xn+1a，又因为x1a，所以，对于任意nN*，均有xn0，f(xn)xn，综上，当x1(1,a)，总有xnxn+12【答案】(1)-1(2)答案见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)对 f x=-2xlnx-x2求导，构造函数后再求导，由二次导数得到 g x在 e-2,1上单调递减，再由零点存在定理确定 f x的最小值.(2)求导后令 fx=0得a=2 lnx+x+1elnx+x+1，再利用换元法设lnx+x+1=t，得到a=2tet，构造函数h t=2tet，利用导数分析其单调性和极值，画出图像，再由方程 h t=a 根的个数讨论函数零点的个数.(3)先证明当 x 0,4时，sinx

41、x2 2，构造函数 n x=sinxxx 0,4，求导后分析单调性得到最小值 n x n4=2 2可证明之；再由(2)知，当函数 f x无极值点时，a 2e，则 0 12ae42 2，即可证明.【小问1详解】当a=0时，f x=-2xlnx-x2，则 fx=-2 1lnx+x1x-2x=-2 lnx+x+1，令g x=fx，则gx=-21x+1，因为x e-2,1，所以gx0,f1=-40,f 1=-1，所以函数 f x在 e-2,1上的最小值为-1【小问2详解】fx=a 1ex+1+x-1ex+1-2 1lnx+x1x-2x=axex+1-2 lnx+x+1，由 fx=0，解得a=2 lnx

42、+x+1xex+1=2 lnx+x+1elnx+x+1，易知函数y=lnx+x+1在 0,+上单调递增，且值域为R R，令lnx+x+1=t，由 fx=0，解得a=2tet，设h t=2tet，则ht=2 1-tet，因为当t0，当t1时，ht2e时，方程h t=a无解，即 fx无零点，f x没有极值点；()当a=2e时，fx=2elnx+x-2 lnx+x+1，设m x=ex-x-1 x0，则mx=ex-1，令ex-10 x0，则m x在 0,+上时单调递增函数，即exx+1，得 fx2 lnx+x+1-2 lnx+x+1=0，此时 f x没有极值点；()当0a2e时，方程h t=a有两个解

43、，即 fx有两个零点，f x有两个极值点；()当a0时，方程h t=a有一个解，即 fx有一个零点，f x有一个极值点18综上，当a0时，f x有一个极值点；当0a2 2设n x=sinxxx 0,4，则nx=cosxx-sinxx2，记p x=xcosx-sinx x 0,4，则px=1cosx+x-sinx-cosx=-xsinx0,p x在0,4上单调递减，当x 0,4时，p xp 0=0,nxn4=2 2，即当x 0,4时，不等式sinxx2 2成立由(2)知，当函数 f x无极值点时，a2e，则012ae42 2中，取x=12a，则有2asin12a2 2，即不等式asin12a2成

44、立题型题型0505导数的新颖题型导数的新颖题型20(20242024下下 广东广东 番禺番禺)对于函数y=f(x)，把 f(x)称为函数y=f(x)的一阶导，令 f(x)=g(x)，则将g(x)称为函数y=f(x)的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用f(x)n表示.(1)已知函数 f(x)=ex+alnx-x2，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在y=f(x)取a1=f(1)作为数列的首项，并将f(1+n)n,n1作为数列的第n+1项.我们称该数列为y=f(x)的“n阶导数列”若函数 g(x)=xn(n 1)，数列 an 是 y=g(x)

45、的“n 阶导数列”，取 Tn为 an 的前 n 项积，求数列TnTn-1 的通项公式.在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.(写出一个即可)【答案】(1)f(x)2=ex-ax2-2，单调性见解析(2)TnTn-1=nn!；存在h x=-ex，证明见解析【解析】19【分析】(1)求导再次求导得到 f(x)2=ex-ax2-2，再求导讨论 a 0 和 a0恒成立，f(x)2在 0,+上单调递增，当a0时，取f(x)3=ex+2ax3=0，则a=-x3ex2，设m x=-x3ex2，x 0,+，则mx=-12exx23+

46、x0恒成立，且m x=-x3ex2-,0，故存在唯一的x=x0满足a=-x30ex02，当x 0,x0时，f(x)30，函数单调递增，综上所述：a0时，f(x)2在 0,+上单调递增；a0时，存在唯一的x=x0满足a=-x30ex02，x 0,x0时，函数单调递减，x x0,+时，函数单调递增.【小问2详解】g(x)=xn，则g 1=1，g(x)1=nxn-1，g(x)2=n n-1xn-2，gxn-1=n n-12x，故an=nn!，TnTn-1=an=nn!；存在，取h x=-ex，a1=h 1=-e，则 hxn=-ex，则an+1=-en+1，即an=-en，an+1-an=en-en+

47、1=en1-ex10，x2和x1的几何平均数为x2x1，算术平均数为x1+x22.20判断x2-x1x2-x1lnln与x2和x1的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；当a1时，证明：f(x)g(x).【解析】(1)0,12(2)答案见解析；证明见解析【详解】(1)fx=1x-2x+a2=x+a2-2xx x+a2=0在 0,+上有变号零点，即g(x)=x2+2a-2x+a2=0在 0,+上有变号零点.若1-a0，即a1时，只需g(0)=a20，即0a0a12故a的取值范围为0,12.(2)x1x2x2-x1lnx2-lnx12 x2-x1x2+x1=2x2x1-1x2x1+1，令x

48、2x1=t,t1证：tln 2 t-1t+1，令g(t)=tln-2 t-1t+1，g(t)=1t-2 t+1-2 t-1t+12=t-12t t+120g(t)在 1,+上单调递增，g(t)g(1)=0再证左边证：2x2x1lnx2x1-x1x2，令x2x1=t证2tln 1令h(t)=tln-12t-1t，h(t)=1t-121+1t2=2t-t2-12t2=-t-122t20h(t)在 1,+上单调递减，h(t)0，21当0m0，m=m4-m3+m2+m+20；当m1时，m4m3，m=m4-m3+m2+m+20，H(x)在 0,1上单调递增，1,+上单调递减，H(x)H(1)=0，所以当

49、a1时，f(x)g(x).22(20242024下下 广东广东 茂名市一模茂名市一模)若函数 f x在 a,b上有定义，且对于任意不同的x1,x2 a,b，都有 f x1-f x2k x1-x2，则称 f x为 a,b上的“k类函数”.(1)若 f x=x22+x，判断 f x是否为 1,2上的“3类函数”；(2)若 f x=a x-1ex-x22-xlnx为 1,e上的“2类函数”，求实数a的取值范围；(3)若 f x为 1,2上的“2类函数”，且 f 1=f 2，证明：x1，x2 1,2，f x1-f x21.【答案】(1)f x=x22+x是 1,2上的“3类函数”，理由见详解.(2)1

50、e2a4+eee+1(3)证明过程见详解.【解析】【分析】(1)由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明 f x1-f x23 x1-x2即可；(2)由已知条件转化为对于任意 x 1,e，都有-2 fx 2，fx=axex-x-lnx-1，只需 a x+lnx-1xex，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.(3)分 x1-x212和12 x1-x2 1 两种情况进行证明，f 1=f 2，用放缩法 f x1-f x2=f x1-f 1+f 2-f x2 f x1-f 1+f 2-f x2进行证明即可.【小问1详解】对于任意不同的x1,x2 1,2，有1x1x22，2x1+x24，所以2x1+x