【数学】第六章平面向量及其应用单元测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

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1、第六章平面向量及其应用(单元模拟测试卷)2023-2024学年高一下学期人教A版 一 选择题（共8小题）1下列各式正确的是（）ABCD2.设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）Ae1+e2和e1e2Be1和e1+e2Ce1+3e2和e2+3e1D3e12e2和4e26e13将向量OA=(1，1)绕坐标原点O逆时针旋转60得到OB，则OAAB=（）A1 B1 C2 D24已知向量a=1,0，b=2,1，则向量a在向量b方向上的投影向量为 ()A. 2 55, 55B. 25,0 C. 45,25D. 45,255在平行四边形中，设，则ABCD6设e1，e2是两个不共

2、线的向量，已知AB=2e1ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1e2，若三点A，B，D共线，则实数k的值为（）A一8B8C6D67在中，内角所对的边分别是，已知，则的大小为（）ABC或D或8若O是ABC垂心，A=6，sinBcosCAB+sinCcosBAC=2msinBsinCAO，则m的值为（）A12B32C36D33二多选题（共3小题）9设m=(1，3)，n=(1，2)，则（）A|m2n|=10B(m2n)mC若(m2n)(km+n)，则k=12Dn在m上的投影向量为12m10在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（）ABCD11“奔驰定理”是平面向量中一个非常

3、优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA+SBOB+SCOC=0若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OAOB=OBOC=OCOA则（）AO为ABC的垂心BAOBCC|OA|：|OB|：|OC|sinA：sinB：sinCDtanAOA+tanBOB+tanCOC=0三填空题（共3小题）12平面向量a，b满足a=(3，2)，ab=(1，k)，且ab，则k的值为 13已知O（0，0），A（1，

4、2），B（3，1），若向量mOA，且m与OB的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为 14在锐角三角形ABC中，已知AB=3，tanC=34，则三角形ABC面积的范围是 四解答题（共5小题）15已知向量a=(1，2x)，b=(x，3)，c=(2，0)（1）若(a+2b)(2ac)，求实数x的值；（2）若(a+2b)(2ac)，求实数x的值16.已知，求：（1）与的夹角；（2）17.设，是两个不共线向量，知，（1）证明：、三点共线（2）若，且、三点共线，求的值18已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为ABC的重心（1）证明：PA+PB+PC=3PG；（2）若向量PA，PB，PC的模长均为

5、2，且两两夹角为3，求|PG|19在锐角中，角、的对边分别为、，若，（1）求角的大小和边长的值；（2）求面积的最大值参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1下列各式正确的是（）ABCD解：对于A选项，故A选项错误，故B选项正确，故C选项错误，故D选项错误故选：B2.设e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）Ae1+e2和e1e2Be1和e1+e2Ce1+3e2和e2+3e1D3e12e2和4e26e1解：e1，e2是平面内的一组基底，e1，e2不共线，而4e26e1=2（3e12e2），则根据向量共线定理可得，（4e26e1）（3e12e2），根据基底的条件，选项D不

6、符合题意，故选：D3将向量OA=(1，1)绕坐标原点O逆时针旋转60得到OB，则OAAB=（）A1B1C2D2解：因为|OA|=12+12=2，且|OB|OA|=2，所以OAAB=OA（OBOA）=OAOBOA2=22cos60(2)2=1故选：B4.已知向量a=1,0，b=2,1，则向量a在向量b方向上的投影向量为 ()A. 2 55, 55B. 25,0 C. 45,25D. 45,25解：依题意，向量a在向量b方向上的投影向量为abbbb=2 52,1 5=45,25故选D5在平行四边形中，设，则ABCD解：四边形为平行四边形，解得，故选：6设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e

7、1ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1e2，若三点A，B，D共线，则实数k的值为（）A一8B8C6D6解：根据题意，已知AB=2e1ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1e2，则BD=CDCB=e14e2，若三点A，B，D共线，设AB=tBD，则有2e1ke2=t（e14e2）te14te2，变形可得（2t）e1=（k4t）e2，必有t=2k=4t，必有k8故选：B7.在中，内角所对的边分别是，已知，则的大小为（）A BC或 D或解：在中由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以8若O是ABC垂心，A=6，sinBcosCAB+sinCcosBAC=2msinBsinCAO，则m的值为（）A

8、12B32C36D33解：在ABC中，sinBsinC0，由sinBcosCAB+sinCcosBAC=2msinBsinCAO，得cosCsinCAB+cosBsinBAC=2mAO，连接CO并延长交AB于D，因为O是ABC的垂心，所以CDAB，AO=AD+DO，所以cosCsinCAB+cosBsinBAC=2m(AD+DO)，同乘以AB，得cosCsinCABAB+cosBsinBACAB=2m(AD+DO)AB，cosCsinCc2+cosBsinBbccosA=2mADAB=2mbcosAc，因为A=6，所以cosCsinCc2+cosBsinBbc32=3mbc，由正弦定理可得co

9、sCsinC+32cosBsinC=3msinBsinC，又sinC0，所以有cosC+32cosB=3msinB，而C=AB=56B，所认cosC=cos(56B)=32cosB+12sinB，所以得到12sinB=3msinB，而sinB0，所以得到m=36故选：C二多选题（共3小题）9设m=(1，3)，n=(1，2)，则（）A|m2n|=10B(m2n)mC若(m2n)(km+n)，则k=12Dn在m上的投影向量为12m解：根据题意，依次分析选项：对于A，m=(1，3)，n=(1，2)，则m2n=（3，1），故|m2n|=9+1=10，A错误；对于B，（m2n）m=（1）（3）+3（1）

10、0，则有（m2）m，B正确；对于C，若（m2n）（km+n），可以设（m2n）（km+n），则有m2n=km+n，必有1=k2=，则有k=12，C正确；对于D，n在m上的投影向量nm|m|m|m|=nm|m|2m=1+61+9m=12m，D正确故选：BCD10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（）ABCD解：在中，由正弦定理，故ABD错误，C正确.11“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积

11、分别为SA，SB，SC，则SAOA+SBOB+SCOC=0若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OAOB=OBOC=OCOA则（）AO为ABC的垂心BAOBCC|OA|：|OB|：|OC|sinA：sinB：sinCDtanAOA+tanBOB+tanCOC=0解：OAOB=OBOC=OCOA，（OAOC）OB=0，CAOB，同理：ABOC，BCOA，O为ABC的垂心，A正确；延长BO交AC于点D，延长AO交BC于点E，在四边形ODCE中，OECODC90，DOE+DCE180，DOE180DCE，即AOB180C，B正确；OAOB=|OA|OB|cosAOB|OA

12、|OB|cos（180C）|OA|OB|cosC，同理：OAOC=|OA|OC|cosB，OBOC=|OB|OC|cosA，|OA|OB|cosC|OA|OC|cosB|OB|OC|cosA，|OA|：|OB|：|OC|cosA：cosB：cosC，C错；SA=12|OB|OC|sin（180A）=12|OB|OC|sinA，同理：SB=12|OA|OC|sinB，SC=12|OA|OB|sinC，SA：SB：SC=sinA|OA|：sinB|OB|：sinC|OC|=sinAcosA：sinBcosB：sinCcosCtanA：tanB：tanC，由奔驰定理得tanAOA+tanBOB+ta

13、nCOC=0，D正确故选：ABD三填空题（共3小题）12平面向量a，b满足a=(3，2)，ab=(1，k)，且ab，则k的值为 8解：根据题意，平面向量a，b满足a=(3，2)，ab=(1，k)，则b=a（ab）（4，2k），若ab，则ab=12+2（2k）0，解可得k8故答案为：813已知O（0，0），A（1，2），B（3，1），若向量mOA，且m与OB的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为 （1，2）解：根据题意可得：OA=(1，2)，OB=(3，1)，设m=(x，y)，因为向量mOA，且m与OB的夹角为钝角，所以1y=2x3x+(1)y03y(1)x，所以x0，不妨令x1，所以y2，

14、m=(1，2)故答案为：（1，2）14在锐角三角形ABC中，已知AB=3，tanC=34，则三角形ABC面积的范围是 （6，274解：锐角ABC中，cAB3，tanC=34，sinCcosC=34，sinC=34cosC，sin2C+cos2C=916cos2C+cos2C=2516cos2C1，解得cosC=45，sinC=35，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=335=5，a5sinA，b5sinB；ABC的面积为S=12absinC=125sinA5sinB35=152sinAsin（CA）=152sinAsin（C+A）=152sinA（sinAcosC+cosAsinC

15、）6sin2A+92sinAcosA3（1cos2A）+94sin2A=94sin2A3cos2A+3=154sin（2A）+3，其中sin=45，cos=35，（0，2）；又sinCcos（2C）=35，cosCsin（2C）=45，C（0，2），所以=2C；在锐角ABC中，A（0，2），B（0，2），B（A+C），0A20AC2，2CA2，2C2A，又=2C，2C2A2+C，tanC=341，C（0，2），C（0，4），42C2，22+C34，又sin（2+C）cosC=45，sin（2C）=45，45sin（2A）1，154sin（2A）+3（6，274，则ABC面积的范围是（6，274

16、故答案为：（6，274四解答题（共5小题）15已知向量a=(1，2x)，b=(x，3)，c=(2，0)（1）若(a+2b)(2ac)，求实数x的值；（2）若(a+2b)(2ac)，求实数x的值解：a=(1，2x)，b=(x，3)，c=(2，0)，则a+2b=(1+2x，2x+6)，2ac=（4，4x），（1）(a+2b)(2ac)，则（1+2x）4x4（2x+6），解得x2或x=32；（2）(a+2b)(2ac)，则4（1+2x）+4x（2x+6）0，解得x=4+142或x=414216.已知，求：（1）与的夹角；（2）解：（1），即化为 （2）17.设，是两个不共线向量，知，（1）证明：、三

17、点共线（2）若，且、三点共线，求的值解：（1）证明：，与有公共点，、三点共线（2）解：、三点共线，存在实数，使，又不共线，解得，18已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为ABC的重心（1）证明：PA+PB+PC=3PG；（2）若向量PA，PB，PC的模长均为2，且两两夹角为3，求|PG|（1）证明：由重心的性质可知，GA+GB+GC=0，则GP+PA+GP+PB+GP+PC=0，即PA+PB+PC=3PG（2）解：向量PA，PB，PC的模长均为2，且两两夹角为3，由（1）得PG=PA+PB+PC3，两边同时平方可得，所以|PG|2=|PA|2+|PB|2+|PC|2+2(PAPB+PAPC+PBPC)9=223+2322cos39=249，即|PG|2=26319在锐角中，角、的对边分别为、，若，（1）求角的大小和边长的值；（2）求面积的最大值解：（1），为锐角，由正余弦定理可得，整理可得，解得（2），故面积的最大值为第16页，学科网（北京）股份有限公司