2024届数学100题-九省联考模式T19填空题100题（含答案）.pdf

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1、第 1 页 共 249 页九省联考压轴通关九省联考压轴通关 100 题题1离散对数在密码学中有重要的应用设p是素数，集合1,2,1Xp，若,u vX mN，记uv为uv除以p的余数，,mu为mu除以p的余数；设aX，2,2,1,pa aa两两不同，若,0,1,2nab np，则称n是以a为底b的离散对数，记为log()anp b(1)若11,2pa，求1,pa；(2)对12,0,1,2m mp，记12mm为12mm除以1p的余数（当12mm能被1p整除时，120mm）证明：log()log()log()aaapbcpbpc，其中,b cX；(3)已知log()anp b对,1,2,2xX kp

2、，令,12,kkyayxb证明：2,21n pxyy2若有穷数列12:,(4)nA a aa n满足：1,1,2,iniaac cin R，则称此数列具有性质cP.(1)若数列23:2,2,6Aa a具有性质cP，求23,a a c的值；(2)设数列 A 具有性质0P，且12,naaa n为奇数，当,0 1,ija ai jn时，存在正整数k，使得jikaaa，求证：数列 A 为等差数列；(3)把具有性质cP，且满足212kkaam（*,2nkkmN为常数）的数列A 构成的集合记作,cTn m.求出所有的n，使得对任意给定的,m c，当数列,cATn m时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在

3、,1,ijaaiji jn.3给定正整数2n，对于一个由n个非负整数构成的数列A：12,na aa，如果存在非负整数0 x，12,nx xx，使得00nxx，且11,2,kkkaxxkn，则称数列A为“F数列”.2024届数学100题-九省联考模式T19填空题100题（含答案）第 2 页 共 249 页（）判断数列1A：1，2，3，4 和2A：1，3，4，2 是否为“F数列”；（）若数列A：12,na aa为“F数列”，求证：111nkkka为定值；（）求所有正整数n，使得存在 1，2，n的一个排列A：12,na aa，且A为“F数列”.4已知数列 na是正项等比数列，nb是等差数列，且112

4、2ab，24ab，534aa，(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)x表示不超过 x 的最大整数，4nT表示数列221nnb 的前4n项和，集合*422,nnnTbAnnaN共有 4 个元素，求范围；(3)1224,21,2,2,nnnnnnnnbbnkkcabbab nk kNN，数列 nc的前2n项和为2nS，求证：12252241839nnnS5已知12:,kQ a aa为有穷正整数数列，且12kaaa，集合1,0,1X 若存在,1,2,ixX ik，使得1 122kkx ax ax at，则称t为k 可表数，称集合1 122,1,2,kkiTt tx ax ax axX ik为k

5、 可表集(1)若110,2,1,2,iikaik，判定 31，1024 是否为k 可表数，并说明理由；(2)若1,2,nT，证明：312kn；(3)设13,1,2,iiaik，若1,2,2024T，求k的最小值6已知数列na满足111,()nnaaf a.(1)若()sin()2f xxAx，求最小正数A的值，使数列na为等差数列；(2)若()ln2f xxx，求证：21nna；第 3 页 共 249 页(3)对于（2）中的数列na，求证：222234441 11e(1)(1)(1)naaa7已知数列 A：a1，a2，aN3N 的各项均为正整数，设集合,1jiTx xaaijN，记 T 的元素

6、个数为 P T(1)若数列 A：1，2，4，5，求集合 T，并写出 P T的值；若数列 A：1，3，x，y，且3xy，3P T，求数列 A 和集合 T；(2)若 A 是递增数列，求证：“1P TN”的充要条件是“A 为等差数列”；(3)请你判断 P T是否存在最大值，并说明理由8如果无穷项的数列na满足“对任意正整数,i j ij，都存在正整数 k，使得kijaa a”，则称数列na具有“性质 P”(1)若数列na是等差数列，首项12a，公差3d，判断数列na是否具有“性质 P”，并说明理由；(2)若等差数列na具有“性质 P”，1a为首项，d为公差求证：10a 且0d；(3)若等比数列 na

7、具有“性质 P”，公比为正整数，且161514152,3,4,6这四个数中恰有两个出现在 na中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由9设正整数数列1:A a，2a，(3)NaN 满足ijaa，其中1ijN.如果存在2k，3，N，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”(1)判断数列 2，4，6，8，10 和数列 1，5，9，13，17 是否为“4阶平衡数列”？(2)若N为偶数，证明：数列:1A，2，3，N不是“k阶平衡数列”，其中2,3,kN 第 4 页 共 249 页(3)如果2019Na，且对于任意2,3,kN，数列A均为“k阶平衡数列

8、”，求数列A中所有元素之和的最大值10给定正整数3N，已知项数为m且无重复项的数对序列A：1122,mmx yxyxy满足如下三个性质：,1,2,iix yN，且1,2,iixy im；11,2,1iixy im；,p q与,q p不同时在数对序列A中.(1)当3N，3m 时，写出所有满足11x 的数对序列A；(2)当6N 时，证明：13m；(3)当N为奇数时，记m的最大值为T N，求T N.11设数列 na的前n项和为nS若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得nmSa，则称 na是“H数列”(1)若数列12,12,2nnnan，21nbn，判断 na和 nb是否是“H数列”；(2)设 na

9、是等差数列，其首项11a，公差0d 若 na是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列 na，总存在两个“H数列”nb和 nc，使得*nnnabcnN成立12在数列 na中，若121aa，且*21Nnnnaaan(1)试写出数列 na的前六项(2)求出 na中另两个可被 5 整除的项，并指出分别是第几项(3)指出 na中可被 5 整除的项出现的规律，并说明理由(4)12,a a能否取其他的自然数的值，使数列 na不出现 5 的倍数？为什么？(5)12,a a取怎样的自然数，才使 na中不出现 5 的倍数？试找出其中第 5 页 共 249 页12,a a取数规律，并说明理由13约数，又

10、称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m0m 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为121,kka aaa12kaaa.(1)当4k 时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；(2)当4k 时，若21321,kkaa aaaa构成等比数列，求正整数a；(3)记12231kkAa aa aaa，求证：2Aa.14设m为给定的正奇数，定义无穷数列mA：*1111,.2nnnnnaaaanamaN为偶数其中为奇数若ka是数列mA中的项，则记作kmaA.(1)若数列mA的前 6 项各不相同，写出m的最小值及此时数列的前 6项；

11、(2)求证：集合*,2kmkBkaAamN是空集；(3)记集合,mmSx xASx正奇数,mm xS，求集合S.（若m为任意的正奇数，求所有数列mA的相同元素构成的集合S.）15数列*Nnan有 100 项，1aa，对任意2,100n，存在,11niaadin,若ka与前 n 项中某一项相等，则称ka具有性质 P(1)若1a1,d2=，写出4a所有可能的值；(2)若 na不是等差数列，求证：数列 na中存在某些项具有性质 P;(3)若 na中恰有三项具有性质 P，这三项和为c，请用adc、表示12100aaa第 6 页 共 249 页16若数列 na满足：*0,1,Nnan，且11a，则称 n

12、a为一个X数列对于一个X数列 na，若数列 nb满足：11b，且*11,N2nnnnabab n，则称 nb为 na的伴随数列(1)若X数列 na中，2341,0,1aaa，写出其伴随数列 nb中234,b b b的值；(2)若 na为一个X数列，nb为 na的伴随数列证明：“na为常数列”是“nb为等比数列的充要条件；求2023b的最大值17已知 na是无穷数列，1aa，2ab，且对于 na中任意两项ia，()ja ij，在 na中都存在一项(2)ka jkj，使得2kjiaaa.(1)若3a，5b，求3a；(2)若0ab=，求证：数列 na中有无穷多项为 0；(3)若ab，求数列 na的通

13、项公式.18若存在常数t，使得数列 na满足1123nnaa a aat（1n，nN），则称数列 na为“H t数列”.(1)判断数列：1，2，3，8，49 是否为“1H数列”，并说明理由；(2)若数列 na是首项为2的“H t数列”，数列 nb是等比数列，且 na与 nb满足212321logninniaa a aab，求t的值和数列 nb的通项公式；(3)若数列 na是“H t数列”，nS为数列 na的前n项和，11a，0t，试比较lnna与1na 的大小，并证明1enSnnntSS.19已知三条直线:iilykxm（1,2,3i）分别与抛物线2:8yx交于点iA、iB，(,0)T t为x

14、轴上一定点，且123mmmt，记点T到直线il的距离为id，iiTAB的面积为iS(1)若直线3l的倾斜角为45，且过抛物线的焦点F，求直线3l的方第 7 页 共 249 页程；(2)若110OAOB，且10km，证明：直线1l过定点；(3)当1k 时，是否存在点T，使得1S，2S，3S成等比数列，1d，2d，3d也成等比数列？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由20已知数列 na是首项为 1 的等差数列，数列 nb是公比不为 1的等比数列，满足122aab，233aab，454aab(1)求 na和 nb的通项公式；(2)求数列n na b的前n项和nS；(3)若数列 nd满足11

15、d，1nnnddb，记12nknikdTb是否存在整数m，使得对任意的*nN都有212nnndmTb成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由21 对于项数为(3)m m 的有穷数列 na，若12231mmaaaaaa，则称 na为“P数列”.(1)已知数列 na、nb的通项公式分别为2(14)nann，1(15)2nnbn.分别判断 na、nb是否为“P数列”；（只需给出判断）(2)已知“P数列”1210,a aa的各项互不相同，且120a，102a.若1091,aaa也是“P数列”，求有穷数列 na的通项公式；(3)已知“P数列”na是1,2,3,m的一个排列（即数列 na中的项不计先后

16、顺序，分别取1,2,3,m），且231211mmaaaaaam，求m的所有可能值.22设数集 S 满足：任意xS，有0 x 对任意 x，yS（x，y 可以取相同值），有xyS或xyS，则称数集 S 具有性质 P第 8 页 共 249 页(1)判断数集0,1,3,6A 和0,3,6B 是否具有性质 P，并说明理由；(2)若数集12,nBa aa且11,2),1(iiaain 具有性质 P（i）当4n时，判断1234,a a a a是否一定构成等差数列，说明理由；（）若100n，数集 B 中的每个元素均为自然数且2023na，求数集 B 中所有元素的和的所有可能值23设,k m是正整数，如果存在非

17、负整数1212,kka aa c cc使得1(1)2iikacim，则称m是k 好数，否则称m是k 坏数例如：00002(1)2(1)2 ，所以 2 是2好数(1)分别判断22,23,24是否为3好数；(2)若m是偶数且是k 好数，求证：m是1k 好数，且2m是k 好数；(3)求最少的2023坏数24已知数列na是等差数列，数列 nb是等比数列，且11a，nnab的前 n 项和为nS.若1222nnnSn对任意的N*n恒成立.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）若数列 nc满足,.nnnb nca n是奇数是偶数问：是否存在正整数m，使得1187m mmc cc，若存在求出m的值，若不存在

18、，说明理由；（3）若存在各项均为正整数公差为d的无穷等差数列nd，满足152018da，且存在正整数k，使得115,kd dd成等比数列，求d的所有可能的值.25已知nA：12,4na aan为有穷数列.若对任意的0,1,1in，都有11iiaa（规定0naa），则称nA具有性质P.设,1,22,1,2,nijTi jaajini jn.(1)判断数列4A：1，0.1，-0.2，0.5，5A：1，2，0.7，1.2，2 是否第 9 页 共 249 页具有性质 P?若具有性质 P，写出对应的集合nT；(2)若4A具有性质P，证明：4T ；(3)给定正整数n，对所有具有性质P的数列nA，求nT中元

19、素个数的最小值.26对于数列 na定义1iiiaaa为 na的差数列，21iiiaaa为 na的累次差数列.如果 na的差数列满足ijaa，*,i jijN，则称 na是“绝对差异数列”；如果 na的累次差数列满足22jiaa，*,i jN，则称 na是“累差不变数列”.(1)设数列1A：2，4，8，10，14，16；2A：6，1，5，2，4，3，判断数列1A和数列2A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；(2)若无穷数列 na既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且 na的前两项10a，2aa，2iad（d为大于 0 的常数），求数列 na的通项公式；(3)已知数列

20、B：12212,nnb bbb是“绝对差异数列”，且122,1,2,2nb bbn.证明：12nbbn的充要条件是242,1,2,nb bbn.27设数列 ,nnab的前n项和分别为,nnA B，且122,23nnnnnaAa Bb(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设1121122,2nnnnnccabbbaaabn，数列 nc的前n项和为nS，证明：1212nnnSaaabbb；2nSn n第 10 页 共 249 页28 已知集合*123,NnAa a aa，其中Nn且1233,nnaaaa，若对任意的,x yA xy，都有xyxyk，则称集合A具有性质kM.(1)集合1,2,Aa具

21、有性质3M，求a的最小值；(2)已知A具有性质15M，求证：111115nnaa；(3)已知A具有性质15M，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.29对于数集121,nXx xx（2n为给定的正整数），其中120nxxx，如果对任意,a bX，都存在,c dX，使得0acbd，则称 X 具有性质 P(1)若102x，且集合11,12x具有性质 P，求 x 的值；(2)若 X 具有性质 P，求证：1X；且若1nx 成立，则11x；(3)若 X 具有性质 P，且2023nx，求数列12,nx xx的通项公式30已知数列 na满足2112(3)nnnnaaana，且121aa(1)求数列 na的

22、通项公式.(2)设2111()1(1.)(0,)1!2!xnf xxxxxnn*eN，其中 e 是自然对数的底数，求证：10()(1)!nxf xn(3)设nS为数列1na的前n项和，实际上，数列nS存在“极限”，即为：存在一个确定的实数 S，使得对任意正实数 u 都存在正整数 m 满足当nm时，nSSu（可以证明 S 唯一），S 称为数列nS的极限.试根据以上叙述求出数列nS的极限 S.31数列na：1a，2a，4nan 满足：11a，nam，10kkaa或1（1k，2，n1），对任意 i，j，都存在 s，t，使得ijstaaaa，其中1,2,tni j s,且两两不相等第 11 页 共 2

23、49 页(1)若2m，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：1，1，1，2，2，2；1，1，1，1，2，2，2，2；1，1，1，1，1，2，2，2，2(2)记12nSaaa，若3m，证明：20S；(3)若2022m，求 n 的最小值32给定正整数 k，m，其中2mk，如果有限数列 na同时满足下列两个条件则称 na为(,)k m 数列记(,)k m 数列的项数的最小值为(,)G k m条件：na的每一项都属于集合1,2,k；条件：从集合1,2,k中任取 m 个不同的数排成一列，得到的数列都是 na的子列注：从 na中选取第1i项、第2i项、第5i项（125iii）形成的新数列32

24、5,iiiaaa称为 na的一个子列(1)分别判断下面两个数列，是否为(33)，数列并说明理由！数列1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A；数列2:1,2,3,2,1,3,1A(2)求,2G k的值；(3)求证234(,)2kkG k k33已知有穷数列12:,3NA a aaNNN满足1,0,11,2,iaiN.给定正整数 m，若存在正整数,()s t st，使得对任意的0,1,2,1km，都有s kt kaa，则称数列 A 是 m-连续等项数列.(1)判断数列:1,1,0,1,0,1,1A是否是 3-连续等项数列，并说明理由；(2)若项数为N的任意数列A都是2-连续等项数列，求N的最小值

25、；第 12 页 共 249 页(3)若数列12:,NA a aa不是 4-连续等项数列，而数列112:,1NA a aa，数列212:,0NAa aa与数列312:,1NAa aa都是 4-连续等项数列，且30a，求Na的值.34设 na为无穷数列，给定正整数()2k k，如果对于任意*Nn，都有22nknn kaaa，则称数列 na具有性质()P k(1)判断下列两个数列是否具有性质(2)P；（结论不需要证明）等差数列A：5，3，1，；等比数列B：1，2，4，(2)已知数列 na具有性质(2)P，11a，22a，且由该数列所有项组成的集合*NZna n，求 na的通项公式；(3)若既具有性质

26、(6)P又具有性质()P k的数列 na一定是等差数列，求k的最小值35 正整数数列 na的前n项和为nS，前n项积nT，若*N(1,2,)iiTinS，则称数列 na为“Z数列”.(1)判断下列数列是否是Z数列，并说明理由；2，2，4，8；8，24，40，56(2)若数列 na是Z数列，且22a.求3S和3T；(3)是否存在等差数列是Z数列？请阐述理由.36 已知无穷数列 na的各项均为整数 设数列 na的前n项和为nS，记12,nS SS中奇数的个数为nb(1)若nan，试写出数列 nb的前 5 项；(2)证明：“1a为奇数，且2,3,4,ia i 为偶数”是“数列 nb为严格增数列”的充

27、分非必要条件；(3)若iiab（i为正整数），求数列 na的通项公式37已知数列 na给出两个性质：第 13 页 共 249 页对于 na中任意两项,ija a ij，在 na中都存在一项ka，使得kijaa a；对于 na中任意连续三项na，1na，2na，均有1212102nnnnnnaaaaaa(1)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由：（i）有穷数列 na：12(1,2,3)nnan；（）无穷数列 nb：21(1,2,3,)nbnn(2)若有穷数列 na满足性质和性质，且各项互不相等，求项数m 的最大值；(3)若数列 na满足性质和性质，且10a，21a ，32a，求 na的通

28、项公式38设1234,a a a a是各项为正数且公差为0d d 的等差数列(1)证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；(2)是否存在1,a d，使得2341234,a aaa依次成等比数列，并说明理由；(3)是否存在1,a d及正整数,n k，使得231234,nn knknkaaaa依次成等比数列，并说明理由39已知数列 ,nnab的项数均为 m(2)m，且,1,2,nna bm ,nnab的前 n 项和分别为,nnA B，并规定000AB对于0,1,2,km，定义max,0,1,2,kikri BA im，其中，maxM表示数集 M 中最大的数.(1)若1231232,1,

29、3,1,3,3aaabbb，求0123,r r r r的值；(2)若11ab，且112,1,2,1,jjjrrrjm，求nr；(3)证明：存在,0,1,2,p q s tm，满足,pq st使得tpsqABAB40如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第i行第j列的数第 14 页 共 249 页为,a i j，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列.1620(1)若,100a i j，求实数对,i j；(2)证明：所有正整数恰在数表中出现一次.41悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、架空电缆都

30、用到了悬链线的原理，经过很长时间的探究，在 17 世纪末期，莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是ee2xxcccy，其中 c 为曲线顶点到横轴的距离 当1c 时，称 eech2xxx为双曲线余弦函数(1)解方程 ch3x；(2)双曲余弦函数的导数成为双曲正弦函数，记作 sh x当0 x 时，求 sh3xx的最小值；(3)已知23ch23nnna，求数列 na的最大项（参考数据：3e1.4）42设数列 11:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,1,1,kknkakk 个，即当*1122kkk knkN时，11knak 记*12nnSaaanNL(1)写出1S，2S，3S，4S；(2

31、)令12kkkbS，求数列 kb的通项公式；第 15 页 共 249 页(3)对于*lN，定义集合*,1nlnSPnnnlaZN 且，求集合2023P中元素的个数43已知 na是由非负整数组成的无穷数列该数列前n项的最大值记为nA，第n项之后各项12,nnaa的最小值记为nB，nnndAB(1)若 na为2,1,4,3,2,1,4,3,，是一个周期为4的数列（即对任意*nN，4nnaa），写出1d，2d，3d，4d的值；(2)设 d 是非负整数证明：ndd（1,2,3,n）的充分必要条件为na是公差为 d 的等差数列；(3)证明：若12a，1nd（1,2,3,n），则 na的项只能是1或者2，

32、且有无穷多项为144给定项数为*N,3m mm的数列 na，其中0,11,2,iaim.若存在一个正整数21kkm，若数列 na中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列 na是“k阶可重复数列”，例如数列:0,1,1,0,1,1,0na.因为1234,a a a a与4567,a a a a按次序对应相等，所以数列 na是“4 阶可重复数列”.(1)分别判断下列数列:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0nb.:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1nc.是否是“5 阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这 5 项；(2)若项数为m的数列 na一定是“3 阶可重复数

33、列”，则m的最小值是多少？说明理由；(3)假设数列 na不是“5 阶可重复数列”，若在其最后一项ma后再添加一项 0 或 1，均可使新数列是“5 阶可重复数列”，且41a，求数第 16 页 共 249 页列 na的最后一项ma的值.45若数列 na满足111,2,3,12kkaaknn，则称数列 na为数列.记123nnSaaaa.(1)写出一个满足151aa，且55S 的数列；(2)若124,2000an，证明：数列 na是递增数列的充要条件是2023na；(3)对任意给定的整数3n n，是否存在首项为 1 的数列 na，使得1nS？如果存在，写出一个满足条件的数列 na；如果不存在，说明理

34、由.46若n、a、b均为正整数，且nab，p为一素数，n、a、b的p进制表示分别为000sssiiiiiiiiinn p aa p bb p，其中，010,1,iiinabpis、.证明：（1）若00,0,1,siiiind pdis，且对整数j0js均有1iiiijijd ppp，则sijijijnd pp，其中，x表示不超过实数x的最大整数.（2）1!,|!nnppa ba b0,1,iiii abn is，其中，A表示集合 A 中元素的个数.47已知有穷数列12:nA aaa，(3)n 中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1mn的整数m，令集合 1 2kA mk amkn，.记集合(

35、)A m中元素的个数为()s m（约定空集的元素个数为 0）.(1)若:6 3 2 5 3 7 5 5A，求(5)A及(5)s；(2)若12111()()()nns as as a，求证：12,na aa互不相同；(3)已知12,aa ab，若对任意的正整数()ij ijijn，都有()iijA a或第 17 页 共 249 页()jijA a，求12naaa的值.48已知无穷数列 na满足1212max,min,(1,2,3,)nnnnnaaaaan，其中max,x y表示 x，y 中最大的数，min,x y表示 x，y 中最小的数.(1)当11a，22a 时，写出4a的所有可能值；(2)若

36、数列 na中的项存在最大值，证明：0 为数列 na中的项；(3)若0(1,2,3,)nan，是否存在正实数 M，使得对任意的正整数 n，都有naM？如果存在，写出一个满足条件的 M；如果不存在，说明理由.49设为整数有穷数列 na的各项均为正整数，其项数为 m（2m）若 na满足如下两个性质，则称 na为P数列：1ma，且1(1,2,1)iaim；11,(1,2,1),2nnnnnaaanmaa为奇数为偶数(1)若 na为1P数列，且15a，求 m；(2)若 na为1P数列，求1a的所有可能值；(3)若对任意的1P数列 na，均有212logmad，求 d 的最小值50已知等比数列 na的公比

37、为 q（1q），其所有项构成集合 A，等差数列 nb的公差为 d（0d），其所有项构成集合 B 令CAB，集合 C 中的所有元素按从小到大排列构成首项为 1 的数列 nc(1)若集合1,3,4,5,6,7,9C，写出一组符合题意的数列 na和 nb；(2)若1*2nnanN，数列 nb为无穷数列，AB，且数列 nc的前 5 项成公比为 p 的等比数列当15ba时，求 p 的值；(3)若数列 nb是首项为 1 的无穷数列，求证：“存在无穷数列 na，使AB”的充要条件是“d 是正有理数”第 18 页 共 249 页51已知数列012:,nA x x xx.设集合,0,1,2,0,1,2,kiAi

38、 xk inkn，如果对任意的整数0kkn都有集合kA的元素个数等于kx，则称A为“完美数列”(1)分别判断数列1:2,0,2,0A和2:1,2,0,1A是否为“完美数列”，直接写出结论：(2)若A是“完美数列”，求证：01223122nxxxnxn；(3)若A是“完美数列”，且02023x，求出所有满足条件的数列A.52对于一个有穷单调递增正整数数列 P，设其各项为1a，2a，L，5nan，若数列 P 中存在不同的四项pa，qa，sa，ta满足pqstaaaa，则称 P 为等和数列，集合,pqstMaa a a称为 P 的一个等和子集，否则称 P 为不等和数列(1)判断下列数列是否是等和数列

39、，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；(2)已知数列 P：1a，2a，3a，4a，5a是等和数列，并且对于任意的,15i jij，总存在 P 的一个等和子集 M 满足集合,ija aM，求证：数列 P 是等差数列；(3)若数列 P：1a，2a，L，na是不等和数列，求证：294nnna53若无穷数列 na满足n N，11nnaan，则称 na具有性质1P若无穷数列 na满足n N，2421nnna aa，则称 na具有性质2P(1)若数列 na具有性质1P，且10a，请直接写出3a的所有可能取值；(2)若等差数列 na具有性质2P，且11a

40、，求2223aa的取值范围；(3)已知无穷数列 na同时具有性质1P和性质2P，53a，且0不是数列 na的项，求数列 na的通项公式54对于每项均是正整数的数列11:A a、2a、L、na，定义变换1T，1T第 19 页 共 249 页将数列A变换成数列 1:TAn、11a、21a、L、1na 对于每项均是非负整数的数列1:B b、2b、L、mb，定义变换2T，2T将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 2TB；又定义 222121222mmS Bbbmbbbb 设0A是每项均为正整数的有穷数列，令1210,1,2,kkATTAk(1)如果数列0A为5、1、3，写出数列1A

41、、2A；(2)对于每项均是正整数的有穷数列A，证明 1S T AS A；(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A，存在正整数K，当kK时，1kkS AS A55数列 na项数为N，我们称p为 na的“映射焦点”，如果p满足：22,4,pN；对于任意1,np，存在1,kpN，满足nkaa，并将最小的k记作nk；(1)若9N，判断5nan时，4 是否为映射焦点？5 是否为映射焦点？(2)若2240,loo6gl gnNan时，p是映射焦点，证明：p的最大值为 4；(3)若*1,1,1(1),21niinaaaiNnkpnp N，2100,5pNpa，求12100aaa的最小值.56给

42、定整数3n，由n元实数集合S定义其相伴数集,Taba bS ab，如果 min1T，则称集合 S 为一个n元规范数集，并定义 S 的范数f为其中所有元素绝对值之和.(1)判断0.1,1.1,2,2.5A 、1.5,0.5,0.5,1.5B 哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个n元规范数集 S，记m、M分别为其中最小数与最大数，第 20 页 共 249 页求证：minmax1SSn；(3)当122023,Sa aaL遍历所有 2023 元规范数集时，求范数f的最小值.注：min X、max X分别表示数集X中的最小数与最大数.57（1）*,xR nN，且1至x之间的整数中，有xn 个是n的

43、倍数（2）在!n中，质数p的最高方次数是23(!)nnnp nppp（3）x为实数，n为正整数，求证：121nxxxxnxnnn58设n是正整数，一个有限整数数列012,na a aa，定义它的差集A 为1(1)kkaakn构成的集合.(1)求下列数列的差集 A；1，2，3，4，5，6，7，8；1，2，4，8，16，32(2)若2021n，220201,2,2,2A，求20210aa的最大值和最小值;(3)若010naaa，并且2211,3,3,3,3nnA，求满足上述要求的整数列的个数()F n.59对于数列nu，若存在常数0M，对任意的*Nn，恒有1121|nnnnuuuuuuM，则称数列

44、nu为B数列(1)首项为 1，公比为12的等比数列na是否为B 数列？请说明理由；(2)设nS是数列na的前n项和，若数列nS是B数列，那么数列na是否为B 数列？若是，请说明理由；若不是，请举出一个例子；(3)若数列na，nb都是B 数列，求证：数列nna b是B 数列60已知数列 na的通项公式是12nna，数列 nb是等差数列，令集合12,nAa aa，*12,NnBb bbn，将集合AB中的元素按第 21 页 共 249 页从小到大的顺序排列构成的数列记为 nc.(1)若*Nncn n，写出一个符合条件的 nb的通项公式，并说明理由；(2)若2*2,31,Nnnnnnnbbn dnn，

45、且数列 nd在*Nn上严格单调递增，求实数的取值范围；(3)若AB，数列 nc的前 5 项成等比数列，且191,8cc，试求出所有满足条件的数列 nb.61设满足以下两个条件的有穷数列1a,2a,na为2,3,4,n n 阶“Q数列”：120naaa；121naaa(1)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“Q 数列”；(2)若 2018 阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；(3)记 n 阶“Q 数列”的前 k 项和为1,2,3,kSkn，求证12kS62已知12:,nA a aaL为正整数数列，满足12naaa记12nSaaa定义 A 的伴随数列(11)kTkn如下：10

46、T；1(1)kkkkTTakn，其中1,0,(1,2,)1,0kkkTknT(1)若数列 A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列(15)kTk；(2)当2n时，若22Sn，求证：11nnaa；(3)当2n时，若22Sn，求证：10nT63 设有限数列A：*12,Nna aan，定义集合1ijMaaijn 为数列 A 的伴随集合.(1)已知有限数列P：-1，0，1，2 和数列Q：1，2，4，8.分别写出第 22 页 共 249 页P和Q的伴随集合；(2)已知有限等比数列A：2*4,4,4Nnn，求A的伴随集合 M 中各元素之和 S；(3)已知有限等差数列A：122022,a aa，判断 0，

47、507，11100是否能同时属于A的伴随集合 M，并说明理由.64已知无穷数列 na满足：10a，21a，且当3n 时，总存在1,2,1in，使得11iinnaaaani(1)求4a的所有可能值；(2)求2023a的所有可能值中的最大值；(3)求证：当3n 时，11nnaan 65数列na的前n项和为nS，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得nmSa，则称数列na是“E数列”.(1)数列na的前n项和*3(N)nnSn，判断数列na是否为“E数列”，并说明理由；(2)数列 nb是等差数列，其首项11b，公差0d，数列 nb是“E数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列na，总存在两个

48、“E数列”nb和 nc，使得Nnnnabcn成立.66 设数集S满足：任意xS，有0 x；任意 x，yS，有xyS或xyS，则称数集S具有性质P.(1)判断数集0,1,2,4A 和0,2,4B 是否具有性质P，并说明理由；(2)若数集12,nCa aa且11,2,1iiaain具有性质P.（i）当5n 时，求证：1a，2a，na是等差数列；（ii）当1a，2a，na不是等差数列时，求n的最大值.第 23 页 共 249 页67定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此

49、类推可以得到n阶和数列，如2,4的一阶和数列是2,6,4，设n 阶和数列各项和为nS(1)试求数列2,4的二阶和数列各项和2S与三阶和数列各项和3S，并猜想 nS的通项公式（无需证明）；(2)设331321log3log3nnnnSnbSS，nb的前m项和mT，若20252mT，求m的最小值68记|A表示集合 A 中的元素个数，,ABab aA bB若1|(|1)2AAAA，则称集合 A 有“性质 T”(1)设 12,nnAa aaa为等比数列且各项为正有理数，证明集合 A有“性质 T”(2)已知集合 A，B 均有“性质 T”，且|ABn，求|AB的最小值69 已知数列A：12,4Na aaN

50、，其中12,Na aaZ，且12Naaa若数列12:,NA aaa满足11,NNaa aa，当2,3,1iN时，11iiaa或11iiaa，则称A：12,Na aa 为数列A的“紧数列”例如，数列A：2，4，6，8 的所有“紧数列”为 2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8(1)直接写出数列 A：1，3，6，7，8 的所有“紧数列”A；(2)已知数列 A 满足：11a，2NaN，若数列 A 的所有“紧数列”A均为递增数列，求证：所有符合条件的数列 A 的个数为1N；(3)已知数列 A 满足：10a，22a，对于数列 A 的一个“紧数列”A，第 24 页 共 249 页定