2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线含答案.pdf

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1、1直线与圆、圆锥曲线直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型01 直线与圆题型01 直线与圆1(2024浙江校联考一模)(2024浙江校联考一模)圆C:x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为()A.C 1,-2,r=5B.C 1,-2,r=5C.C-1,2,r=5D.C-1,2,r=52(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)“a-5 或a5”是“圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x+a)2+(y-2a)2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D

2、.既不充分也不必要条件3(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)已知圆C1:(x-3)2+y2=1,C2:x2+(y-a)2=16，则下列结论正确的有()A.若圆C1和圆C2外离，则a4B.若圆C1和圆C2外切，则a=4C.当a=0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线D.当a=-2时，圆C1和圆C2相交4(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=3ty=4t-1(t为参数)，直线l2的参数方程为x=12sy=32s(s为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一

3、般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C:(x-3)2+(y-4)2=m2都相离，求m的取值范围.5(2024重庆统考一模)(2024重庆统考一模)过点P作圆C:x2+y2-4x-4 3y+15=0的两条切线，切点分别为A,B，若PAB为直角三角形，O为坐标原点，则 OP的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+26(2024江西吉安吉安一中校考一模)(2024江西吉安吉安一中校考一模)已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx-y-2k+1=0与圆C始终有两个交点B.若M是圆C上任一点，则|M

4、Q|的取值范围为 2 2,6 2C.若点P(m,m+1)在圆C上，则直线PQ的斜率为142024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线2D.圆C与x轴相切7(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)已知圆C:x2+2x+y2-1=0，直线mx+n y-1=0与圆C交于A，B两点.若ABC为直角三角形，则()A.mn=0B.m-n=0C.m+n=0D.m2-3n2=08(20242024 广东深圳广东深圳 校考一模校考一模)已知圆C：x2+y2-2kx-2y-2k=0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C关于直线y=kx对称，则k=1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k=1时，

5、P x,y为圆C上任意一点，则y+3x的最大值为5+3D.当k=1时，直线l:2x+y+2=0,M为直线l上的动点，过点M作圆C的切线MA,MB，切点为A，B，则 CM AB最小值为49(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)已知直线y=kx+2 kR R交圆O:x2+y2=9于P x1,y1,Q x2,y2两点，则 3x1+4y1+16+3x2+4y2+16的最小值为()A.9B.16C.27D.3010(20242024 吉林延边吉林延边 统考一模统考一模)已知A x1,y1,B x2,y2是圆O:x2+y2=4上的两点，则下列结论中正确的是()

6、A.若点O到直线AB的距离为2，则 AB=2 2B.若 AB=2 3，则AOB=3C.若AOB=2，则 x1+y1-1+x2+y2-1的最大值为6D.x1x2+y1y2的最小值为-4题型题型0202 椭圆椭圆11(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x2k+8+y29=1(k-8)的离心率为e=12，则k=()A.4B.4或-54C.-45D.4或-4512(20242024 福建厦门福建厦门 统考一模统考一模)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若 F1F2=2，且ABF

7、2的周长为8，则()A.a=2B.C的离心率为14C.|AB|可以为D.BAF2可以为直角13(20242024 云南曲靖云南曲靖 统考一模统考一模)已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0上一点，F1,F2分别为C的左、右焦点，且PF1PF2，若PF1F2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C的离心率为314(20242024 重庆重庆 统考一模统考一模)已知点F为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3的直线交椭圆于P,Q两点，FP+FQ=FP-FQ，则该椭圆的离心率为15(20242024 黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔 统考一模统考一模)已知P为椭

8、圆C:x29+y23=1上的一个动点，过P作圆M:(x-1)2+y2=2的两条切线，切点分别为A,B，则 AB的最小值为.16(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)若椭圆C1和C2的方程分别为x2a2+y2b2=1(ab0)和x2a2+y2b2=(ab0,0且1)则称C1和C2为相似椭圆己知椭圆C1:x24+y23=1,C2:x24+y23=(0b0)的离心率为63，点P 0,2在椭圆C上，过点P的两条直线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kPA+kPB=4kABkAB0(1)求椭圆C的方程；(2)证明直线AB

9、过定点；(3)椭圆C的焦点分别为F1，F2，求凸四边形F1AF2B面积的取值范围418(20242024 江西吉安江西吉安 吉安一中校考一模吉安一中校考一模)如图，D为圆O：x2+y2=1上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得 WA=1，点W的轨迹记为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)若过点K-2,0的两条直线l1，l2分别交曲线C于M，N两点，且l1l2，求证：直线MN过定点；(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线x=x0与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点请探究：y轴上是否存在点R，使得ORP+ORQ=2？若存在，

10、求出点R坐标；若不存在，请说明理由519(20242024 湖南长沙湖南长沙 雅礼中学校考一模雅礼中学校考一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，且点1,-32在椭圆上(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M,N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A,B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：k21+k22k1k2为定值20(20242024 吉林延边吉林延边 统考一模统考一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F2，上顶点为H，O为坐标原点，OHF2=30，点 1,32在椭圆E上(1)求椭圆E的

11、方程；(2)设经过点F2且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P-2,0，Q 2,0若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记MPQ，NPQ的面积分别为SMPQ，SNPQ，求SMPQSNPQ的值621(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F 2,0，点2,3在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过F的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B两点和P,Q两点，设AB,PQ的中点分别为M,N，求FMN面积的最大值22(20242024 山西晋城山西晋城 统考一模统考一模)已知椭圆P:x26+

12、y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点(1)求E的方程；(2)若F x0,y0，C，D三点均在E上，且CFDF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)23(20242024 浙江浙江 校联考一模校联考一模)已知椭圆C:x24+y23=1的左右焦点分别为F1,F2，点P x0,y0为椭圆C上异于顶点的一动点，F1PF2的角平分线分别交x轴、y轴于点M、N(1)若x0=12，求 PF1；(2)求证：PMPN为定值；(3)当F1PN面积取到最大值时，求点P的横坐标x0724(20242024 辽宁沈阳辽宁沈阳 统考一模统考一模

13、)已知如图，点B1,B2为椭圆C的短轴的两个端点，且B2的坐标为 0,1，椭圆C的离心率为22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l不经过椭圆C的中心，且分别交椭圆C与直线y=-1于不同的三点D,E,P(点E在线段DP上)，直线PO分别交直线DB2,EB2于点M,N.求证：四边形B1MB2N为平行四边形.825(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，经过点F1且倾斜角为 02的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)，ABF2的周长为8(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，将平面

14、xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AF1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BF1F2)互相垂直若=3，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；是否存在 00,b0)的右顶点，O为坐标原点，B,C为双曲线E上两点，且AB+AC=2AO，直线AB,AC的斜率分别为2和14，则双曲线E的离心率为()A.2B.52C.62D.228(20242024 云南曲靖云南曲靖 统考一模统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0，过其右焦点F作一条直线分别交两条渐近线于A,B两点，若A为线段BF的中点，且OABF，则双曲线C的渐近线方程为()A.y=2xB.y=3

15、xC.y=5xD.y=12x29(20242024 河南郑州河南郑州 郑州市宇华实验学校校考一模郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右顶点分别为A1,A2,F为C的右焦点，C的离心率为2，若P为C右支上一点，PFFA2，记A1PA2=00，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是右支上一点，满足AF1AF2，直线AF2交双曲线于另一点B，且 BF1-AF1=2a，则双曲线的离心率为31(20242024 浙江浙江 校联考一模校联考一模)已知A,B分别是双曲线C:x24-y2=1的左，右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M,N两

16、点，PMN,PAB的外接圆面积分别为S1,S2，则S1S2的最小值为()A.316B.34C.34D.132(20242024 湖南长沙湖南长沙 雅礼中学校考一模雅礼中学校考一模)已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、10右焦点分别是F1，F2，离心率为62，点P x1,y1是C的右支上异于顶点的一点，过F2作F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，|MO|=2，若双曲线C上一点T满足F1T F2T=5，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为()A.2 2B.2 3C.2 5D.2 633(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考

17、一模)已知F1，F2分别是双曲线:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB=3F2A，BF2平分F1BC，则双曲线的离心率为()A.7B.5C.3D.234(20242024 山西晋城山西晋城 统考一模统考一模)双曲线C:x2-y2=m2(m0)的左、右焦点分别为F1，F2，P(t,s)(s0)为C的右支上一点，分别以线段PF1，PF2为直径作圆O1，圆O2，线段OO2与圆O2相交于点M，其中O为坐标原点，则()A.O1O2=3mB.OM=mC.点(t,0)为圆O1和圆O2的另一个交点D.圆O1与圆O2有一条公切线的倾斜

18、角为435(20242024 重庆重庆 统考一模统考一模)已知点M为圆C:(x-2)2+y2=4上任意一点，B-2,0，线段MB的垂直平分线交直线MC于点Q(1)求Q点的轨迹方程；(2)设过点C的直线l与Q点的轨迹交于点P，且点P在第一象限内已知A-1,0，请问是否存在常数，使得PCA=PAC恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由1136(20242024 吉林延边吉林延边 统考一模统考一模)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左 右焦点分别为F1，F2，从F

19、2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cosBAC=-45，ABBD，则E的离心率为.题型题型0404 抛物线 抛物线37(20242024 河北河北 校联考一模校联考一模)若抛物线x2=2py(p0)上一点M n,6到焦点的距离是4p，则p的值为()A.127B.712C.67D.7638(20242024 辽宁沈阳辽宁沈阳 统考一模统考一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点 4,0距离最近的点，则 QF=.39(20242024 河南郑州河南郑州 郑州市宇华实验学校校考一模郑州市宇华实验学校校考一模)抛物线C：y2=2px(p0)的顶点为O

20、，斜率为1的直线l过点 2p,0，且与抛物线C交于A，B两点，若OAB的面积为8 5，则该抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-22C.x=-2D.x=-21240(20242024 新疆乌鲁木齐新疆乌鲁木齐 统考一模统考一模)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为4的直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l切于点M-p2，2，则C的方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x41(20242024 重庆重庆 统考一模统考一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点，其准线与x轴交于点M，经过点M的直线l与抛物线交于不同两点A

21、 x1,y1,B x2,y2，则下列说法正确的是()A.OA OB=5B.存在AMF=50C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆D.当ABF的面积为4 2 时，直线l的倾斜角为6或5642(20242024 广西南宁广西南宁 南宁三中校联考一模南宁三中校联考一模)抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点过点P 2 2,5且平行于y轴的一条光线射向抛物线C:x2=4y上的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点B，则 AB=()A.72B.9C.36D.9243(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一

22、模)已知F为拋物线C:y=14x2的焦点，过点F的直线l与拋物线C交于不同的两点A，B，拋物线在点A,B处的切线分别为l1和l2，若l1和l2交于点P，则|PF|2+25AB的最小值为.44(20242024 山西晋城山西晋城 统考一模统考一模)吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线(设该抛物线的焦点到准线的距离为p米)的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米(将每根吊索视为线段)已知最中间的吊索的长度(即图中点A到桥面的距离)为b米

23、，则最靠近前主塔的吊索的长度(即图中点B到桥面的距离)为()A.98a2+pbp米B.49a2+pbp米C.169a2+pbp米D.169a2+2pb2p米45(20242024 浙江浙江 校联考一模校联考一模)设P是抛物线弧C:y2=8x(y0)上的一动点，点F是C的焦点，A 4,4，则()A.F 2,0B.若 PF=4，则点P的坐标为 2,4C.AP+AF的最小值为2+2 5D.满足PFA面积为92的点P有2个1346(20242024 广东深圳广东深圳 校考一模校考一模)设抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，点P a,4在抛物线C上，POF(其中O为坐标原点)的面积为4(1)求a；(

24、2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为43，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标47(20242024 黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔 统考一模统考一模)在平面直角坐标系xOy中，点F 0,1,P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记P的轨迹为.(1)求的方程；(2)设M为直线y=-1上的动点，过M的直线与相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求MAB面积的最小值.1448(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)设抛物线C:y2=2px(p0)，过焦点F的直线与抛物线C交于点A x1,y1，B x2,y2.当直

25、线AB垂直于x轴时，AB=2.(1)求抛物线C的标准方程.(2)已知点P 1,0，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.求证：直线CD过定点；求PAB与PCD面积之和的最小值.1549(20242024 云南曲靖云南曲靖 统考一模统考一模)已知斜率为1的直线l1交抛物线E:x2=2py p0于A、B两点，线段AB的中点Q的横坐标为2(1)求抛物线E的方程；(2)设抛物线E的焦点为F，过点F的直线l2与抛物线E交于M、N两点，分别在点M、N处作抛物线E的切线，两条切线交于点P，则PMN的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l2的方程；若不存在，请说明理由50(20242

26、024 广西南宁广西南宁 南宁三中校联考一模南宁三中校联考一模)已知曲线:x2=4y(1)若点T t,s是上的任意一点，直线l:y=t2x-s，判断直线l与的位置关系并证明(2)若E是直线y=-1上的动点，直线EA与相切于点A，直线EB与相切于点B试问AEB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由若直线EA,EB与x轴分别交于点C,D，证明：EBEC=ABCD1直线与圆、圆锥曲线直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型题型0101 直线与圆 直线与圆1(20242024 浙江浙江 校联考一模校联考一模)圆C:x2+y2-2x+4y=0的圆心

27、C坐标和半径r分别为()A.C 1,-2,r=5B.C 1,-2,r=5C.C-1,2,r=5D.C-1,2,r=5【答案】A【详解】圆C:x2+y2-2x+4y=0，即C:x-12+y+22=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C 1,-2,r=5.故选：A.2(20242024 河南郑州河南郑州 郑州市宇华实验学校校考一模郑州市宇华实验学校校考一模)“a-5 或a5”是“圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x+a)2+(y-2a)2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】圆C1的圆心为 0,0，半径r1=1，圆C2的圆

28、心为-a,2a，半径r2=6，所以两圆的圆心距为d=C1C2=a2+4a2=5a2，两圆内含时，即5a2 6-1，解得-5 a4B.若圆C1和圆C2外切，则a=4C.当a=0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线D.当a=-2时，圆C1和圆C2相交【答案】BCD【详解】C13,0,C20,a,C1C2=9+a2,r1=1,r2=4.若C1和C2外离，则 C1C2=9+a2r1+r2=5，解得a4或a-4，故A错误；若C1和C2外切，C1C2=9+a2=5，解得a=4，故B正确；2当a=0时，C1C2=3=r2-r1,C1和C2内切，故C正确；当a=-2时，3 C1C2=13 5,C1和C2相交，

29、故D正确.故选：BCD4(20242024 河南郑州河南郑州 郑州市宇华实验学校校考一模郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=3ty=4t-1(t为参数)，直线l2的参数方程为x=12sy=32s(s为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C:(x-3)2+(y-4)2=m2都相离，求m的取值范围.【答案】(1)l1:4x-3y-3=0，l2:3x-y=0(2)4-3 32m m3 3-42 m，即35 m3 3-42 m，解得4-3 32m0，则k-1对于A，若圆C关于直线y=kx对称，则直线过圆心，所以

30、1=k2，得k=1，又k=-1时，r=0，方程不能表示圆，故A是假命题；对于B，对于圆C，圆心为C k,1，半径r=k+10，则k-1，当直线为x=-1时，圆心到直线的距离d=k-(-1)=k+1=r，故存在直线x=-1，使得与所有的圆相切，故B是真命题；对于C，当k=1时，圆的方程为 x-12+y-12=4，圆心为C 1,1，半径r=2由于P x,y为圆C上任意一点，设y+3x=m，则式子可表示直线y=-3x+m，此时m表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m的取值范围,于是圆心C 1,1到直线y=-3x+m的距离d=3+1-m12+32=r=2，解得m=3-3或m=5+3，则3-3m

31、5+3，所以y+3x的最大值为5+3，故C为真命题；对于D，圆的方程为 x-12+y-12=4，圆心为C 1,1，半径r=2，如图，连接AC,BC，因为直线MA,MB与圆C相切，所以MAAC,MBBC，且可得 MA=MB，又 AC=BC=r=2，所以MCAB，且MC平分AB，所以S四边形MBCA=12CM AB=2SMAC=212MA AC，5则 CM AB=2 MA AC=2CM2-r22=4CM2-4，则 CM AB最小值即 CM的最小值，即圆心C 1,1到直线l:2x+y+2=0的距离d=CMmin=2+1+222+12=5，所以 CM AB的最小值为4，故D为真命题.故选：BCD.9(

32、20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)已知直线y=kx+2 kR R交圆O:x2+y2=9于P x1,y1,Q x2,y2两点，则 3x1+4y1+16+3x2+4y2+16的最小值为()A.9B.16C.27D.30【答案】D【详解】由题设直线与y轴的交点为A 0,2，设弦PQ的中点为E x,y，连接OE，则OEPQ，即OEAE，所以OE AE=0，即 x,y x,y-2=x2+y y-2=0，所以点E的轨迹方程为x2+(y-1)2=1，即E的轨迹是以 0,1为圆心，1为半径的圆，设直线l为3x+4y+16=0，则E到l的最小距离为4+165-1=

33、3，过PEQ分别作直线l的垂线，垂足分别为M,R,N，则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点，则ER是直角梯形的中位线，所以 MP+NQ=2 ER，即3x1+4y1+165+3x2+4y2+165=2 ER，即 3x1+4y1+6+3x2+4y2+6=10 ER30，所以 3x1+4y1+16+3x2+4y2+16的最小值为30.故选：D.10(20242024 吉林延边吉林延边 统考一模统考一模)已知A x1,y1,B x2,y2是圆O:x2+y2=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O到直线AB的距离为2，则 AB=2 2B.若 AB=2 3，则AOB=3C.若AOB=2，则

34、 x1+y1-1+x2+y2-1的最大值为66D.x1x2+y1y2的最小值为-4【答案】ACD【详解】依题意，圆O:x2+y2=4的圆心O 0,0，半径为r=2如图所示：对于A选项：因为点O到直线AB的距离为2，所以 AB=2 r2-d2=2 2，故选项A正确；对于B选项：因为 AB=2 3，且 OA=OB=r=2，所以在ABC中，由余弦定理可得：cosAOB=OA2+OB2-AB22 OAOB=4+4-12222=-12,所以AOB=23，故选项B错误；对于C选项：由 x1+y1-1+x2+y2-1=2x1+y1-12+x2+y2-12，其几何意义为A x1,y1,B x2,y2到直线x+

35、y-1=0的距离之和的2 倍设A,B的中点为C x0,y0,结合梯形的中位线可知：则有 x1+y1-1+x2+y2-1=2 2x0+y0-12，因为AOB=2，所以 AB=4+4=2 2,在直角三角形OAB中，OC=12AB=2,所以点C的轨迹为以原点 0,0为圆心，2 为半径的圆.因为 0,0到x+y-1=0的距离为d=0+0-12=22，所以x0+y0-12max=22+2=3 22，所以x1+y1-1+x2+y2-1max=2 2x0+y0-12max=6，故选项C正确；对于D选项：因为x1x2+y1y2=OA OB=22cosOA,OB，所以当OA,OB 所成的角为时，x1x2+y1y

36、2min=22cos=-4.故选项D正确;故选：ACD.7题型题型0202 椭圆椭圆11(20242024 安徽合肥安徽合肥 合肥一六八中学校考一模合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x2k+8+y29=1(k-8)的离心率为e=12，则k=()A.4B.4或-54C.-45D.4或-45【答案】B【详解】解：因为椭圆x2k+8+y29=1(k-8)的离心率为e=12，当k+89时，椭圆焦点在x轴上，可得：a=k+8,b=3,c=a2-b2=k-1,e=k-1k+8=12，解得k=4，当0k+8b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若 F1F2=2，且ABF2的周长为

37、8，则()A.a=2B.C的离心率为14C.|AB|可以为D.BAF2可以为直角【答案】AC【详解】由 F1F2=2c=2c=1，如下图ABF2周长为4a=8a=2，故b2=a2-c2=3，所以，椭圆离心率为e=12，A对，B错；当ABx轴，即AB为通径时|AB|min=2b2a=3，且|AB|2a=4，所以3|AB|b0上一点，F1,F2分别为C的左、右焦点，且PF1PF2，若PF1F2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C的离心率为【答案】57【详解】由题意，在RtPF1F2中|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,F1PF2=90，所以其外接圆半径R=|F1F2|2=c，内切

38、圆的半径为|PF1|+|PF2|-|F1F2|2=a-c，故ca-c=52e=ca=57.故答案为：5714(20242024 重庆重庆 统考一模统考一模)已知点F为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3的直线交椭圆于P,Q两点，FP+FQ=FP-FQ，则该椭圆的离心率为【答案】3-1/-1+3【详解】令椭圆的左焦点为F，半焦距为c，分别连接FP，FQ，由 FP+FQ=FP-FQ，得四边形FPFQ为矩形，而FOP=3，则OFP为正三角形，所以|FP|=c，FP=3c，2a=PF+|PF=(3+1)c，则椭圆离心率为e=ca=3-1，故答案为：3-1.15(20

39、242024 黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔 统考一模统考一模)已知P为椭圆C:x29+y23=1上的一个动点，过P作圆M:(x-1)2+y2=2的两条切线，切点分别为A,B，则 AB的最小值为.【答案】2 105/2510【详解】设P x,y,MAB=，由已知MAAP，由对称性可得ABPM,所以PAB+MAB=2,MPA+PAB=2，则 AB=2 2cos，MPA=MAB=，9且sin=2PM，因为 PM=(x-1)2+y2=(x-1)2+3-x23=23x-322+52，因为-3x3，所以 PM102，当且仅当x=32时等号成立，所以sin=2PM25，又 0,2，所以cos=1-sin2

40、15=55，所以 AB=2 2cos2 2 55=2 105.所以 AB的最小值为2 105.故答案为：2 105.16(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)若椭圆C1和C2的方程分别为x2a2+y2b2=1(ab0)和x2a2+y2b2=(ab0,0且1)则称C1和C2为相似椭圆己知椭圆C1:x24+y23=1,C2:x24+y23=(00，设M x1,y1，N x2,y2，则x1+x2=-8st4s2+3，x1x2=4t2-124s2+3，10y1+y22=s x1+x2+2t2=-4s2t4s2+3+t=3t4s2+3，所以P点坐标为-4st

41、4s2+3,3t4s2+3，因为点P在椭圆C2上，所以t2=4s2+3，因为原点O到直线MN的距离为t1+s2，MN=1+s2x2-x1=1+s2x1+x22-4x1x2，所以MON的面积为SMON=12tx1-x2=2 3 t4s2-t2+34s2+3=2 3 4s2+31-4s2+34s2+3=2 3 1-，综上，SMON=2 3 1-，又0b0)的离心率为63，点P 0,2在椭圆C上，过点P的两条直线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kPA+kPB=4kABkAB0(1)求椭圆C的方程；(2)证明直线AB过定点；(3)椭圆C的焦点分别为F1，F2，求

42、凸四边形F1AF2B面积的取值范围【答案】(1)x212+y24=1(2)证明见解析(3)24 611,8 2【详解】(1)由题设得b=2ca=63a2=b2+c2，解得a2=12，所以C的方程为x212+y24=1；(2)由题意可设lAB:y=kx+m(m2)，设A x1,y1，B x2,y2，由y=kx+mx212+y24=1，整理得 1+3k2x2+6kmx+3m2-12=0，11=36k2m2-4 1+3k23m2-12=12 12k2-m2+40由韦达定理得x1x2=3m2-121+3k2，x1+x2=-6mk1+3k2，由kPA+kPB=4kAB得y1-2x1+y2-2x2=4k，

43、即kx1+m-2x1+kx2+m-2x2=4k，整理得2mk(m-2)=2 4-m2k，因为k0，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1，m=2时，直线AB过定点P(0,2)，不合题意，舍去；m=-1时，满足=36 4k2+10，所以直线AB过定点(0,-1)(3)由(2)得直线lAB:y=kx-1，所以x=1k(y+1)，由x=1k(y+1)x212+y24=1，整理得1k2+3y2+2k2y+1k2-12=0，=361k2+40，由题意得SF1AF2B=12F1F2y1-y2=2 2 y1-y2=12 21k2+41k2+3，因为kAF2=12 2，所以k218，所以01k2b0)的离心

44、率为12，且点1,-32在椭圆上(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M,N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A,B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：k21+k22k1k2为定值【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)由椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，且点 1,-32在椭圆上，可得ca=12，所以b2a2=1-c2a2=1-122=34，又点 1,-32在该椭圆上，所以1a2+94b2=1，所以a2=4，b2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1(2)证明：设M x1,y1,N

45、x2,y2，由于该直线斜率不为0，可设LMN：x=my-1，联立方程x=my-1和x24+y23=1，得(3m2+4)y2-6my-9=0，0恒成立，根据韦达定理可知，y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,my1y2=-32y1+y2，k1=y2x2-2,k2=y1x1+2，14k2k1=y1(x2-2)(x1+2)y2=y1(my2-3)(my1+1)y2=my1y2-3y1my1y2+y2，k2k1=-32(y1+y2)-3y1-32(y1+y2)+y2=3，k21+k22k1k2=k1k2+k2k1=10320(20242024 吉林延边吉林延边 统考一模统考一模)已知椭

46、圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F2，上顶点为H，O为坐标原点，OHF2=30，点 1,32在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点F2且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P-2,0，Q 2,0若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记MPQ，NPQ的面积分别为SMPQ，SNPQ，求SMPQSNPQ的值【答案】(1)x24+y23=1(2)13【详解】(1)由OHF2=30，得b=3c(c为半焦距)，点 1,32在椭圆E上，则1a2+94b2=1又a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1椭圆E的方程为x24+y23=1(2)由(1)知F21,0设直线l:x

47、=my+1，A x1,y1，B x2,y2由x=my+1x24+y23=1 消去x，得 3m2+4y2+6my-9=0显然=144 m2+10则y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4my1y2=32y1+y2由P-2,0，Q 2,0，得直线AP的斜率k1=y1x1+2，直线BQ的斜率k2=y2x2-2又 k1=OMOP，k2=ONOQ，OP=OQ=2，OMON=k1k2SMPQSNPQ=12PQ OM12PQ ON=OMON=k1k2k1k2=y1x2-2x1+2y2=y1my2-1my1+3y2=my1y2-y1my1y2+3y2=32y1+y2-y132y1+y2+3y2=

48、12y1+32y232y1+92y2=13SMPQSNPQ=131521(20242024 山东济南山东济南 山东省实验中学校考一模山东省实验中学校考一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为F 2,0，点2,3在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)过F的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B两点和P,Q两点，设AB,PQ的中点分别为M,N，求FMN面积的最大值【答案】(1)x28+y24=1(2)49【详解】(1)由题意知c=2又a2=b2+c2，所以a2=b2+4把点2,3代入椭圆方程，得2b2+4+3b2=1，解得b2=4故椭圆C的方程为x28+y24=1(2)由题意知直

49、线AB,PQ的斜率均存在且不为零设直线AB的方程为y=k x-2k0，且A x1,y1,B x2,y2由y=k x-2x28+y24=1 消去y，得 1+2k2x2-8k2x+8k2-8=0所以x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-81+2k2而y1+y2=k x1-2+k x2-2=k x1+x2-4k=-4k1+2k2，所以M4k21+2k2,-2k1+2k2同理得N42+k2,2k2+k2若4k21+2k2=42+k2，则k=1，此时直线MN的斜率不存在，可得直线MN:x=43此时 MN=43，所以SFMN=124323=49；若k1，则直线MN的斜率为-2k1+2k2-2k2

50、+k24k21+2k2-42+k2=3k2 1-k2，可得直线MN：y+2k1+2k2=3k2 1-k2x-4k21+2k2化简，得y=3k2 1-k2x-43所以直线MN过定点T43,0所以SFMN=SFTM+SFTN=1223-2k1+2k2+12232k2+k2=132 k1+2k2+132 k2+k2=132 k3+3k21+2k22+k2=2 k1+k22k4+5k2+2=2 k+1k2 k2+1k2+5令t=k+1k 2,+，则SFMN=f t=2t2 t2-2+5=2t2t2+116因为 ft=2 1-2t22t2+120，所以 f t在t 2,+上单调递减所以 f t f 2=