江西省金太阳联考2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司江西省江西省 2024 届高三届高三 3 月月 28 日大联考数学试卷日大联考数学试卷一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1.双曲线22162yx的渐近线方程为A.13yx B.33yx C.3yx D.3yx 2.设集合2N|3,|02xAxxBxx,则ABA.0,1B.0,1,2C.1,2D.1,0,1,23.已知圆锥的母线长为 6,其侧面展开图是一个圆心角为23的扇形,则该圆锥的表面积为A.8B.12C.16

2、D.244.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分隔率,黄金分割率的值也可以用2sin18表示,即512sin182,设512m,则2tan811tan 81A.4mB.2mC.mD.2164mm5.已知实数 a,b 满足1522,log 3aab,则A.abB.abC.abD.a,b 的大小无法判断6.过点(1,1)P 的直线与圆22:64120C xyxy相切于点M,则PC PM A.4B.16C.17D.177.若一个四位数的各位数字之和为 4,则称该四位数为“F数”,这样的“F数”有A.20 个B.21 个C.22 个D.23 个8.C 是椭圆2222:1

3、0 xyEabab上一点,A,B 是椭圆 E 的左、右顶点,若:CACB:|2:1:7AB,则E的离心率为A.2 77B.3510C.145D.7010二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分.学科网（北京）股份有限公司9.已知函数()sin 23f xx.则A.()f x在区间,03上单调递增B.对13,()3xf xf RC.()f x关于点,03对称D.将

4、()f x的图象向左平移6个单位长度,所得到的函数是偶函数10.复数z满足31z,且1z,则A.|1z B.2zzC.2()zz D.12*0,nnnzzznN11.已知函数(),()f x g x及其导函数(),()fx g x的定义域均为R,若(21)fx 的图象关于直线1x 对称,()(1)1,(1)()f xg xxf xgxx,且(2)1g,则A.()f x为偶函数B.()g x的图象关于点(3,3)对称C.(202)1gD.1()4949nig i三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中

5、的横线上.12.样本数据 5,11,6,8,14,8,10,5 的40%分位数为_.13.如图,在正三棱锥DABC中,侧棱31,30ADBDC,过点A作与棱 DB,DC 均相交的截面AEF.则AEF周长的最小值为_,记此时AEF的面积为S,则2S _.14.若不等式322xabxbx在0,2x上恒成立,则ab的最大值为_.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题小题,共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分)设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的30%,30%,40%,并且各车间的次

6、品率依次为2%,3%,2%.(1)从该厂这批产品中任取一件,求取到次品的概率;(2)从该厂这批产品中有放回地抽取 100 次,每次抽取 1 件,且每次抽取均相互独立,用X表示这 100 次抽取的零件中是次品的总件数,试估计X的数学期望 EX.16.(15 分)已知数列na的前n项和为nS,且4(21)1nnSna.学科网（北京）股份有限公司(1)求 na的通项公式;(2)已知*kN,集合*2121,kn kanN中元素个数为kb,求12kbbb.17.(15 分)如图,在三棱柱111ABCABC中,5,2ABACBC,侧面11BBC C是正方形,P是平面111ABC上一点,且APBC.(1)证

7、明:点P到直线11AB和11AC的距离相等.(2)已知二面角1ABCB的大小是23,求直线 AB 与平面11ACC A所成角的正弦值.18.(17 分)在直角坐标系xOy中,点P到直线2x 的距离等于点P到原点O的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)点 A,B,C,D 在W上,A,B 是关于x轴对称的两点,点A位于第一多限,点C位于第三象限,直线 AC 与x轴交于点G,与y轴交于点,H AHHG,且 B,H,D 三点共线,证明:直线 CD 与直线 AC 的斜率之比为定值.19.(17 分)已知函数()xf xaexa.(1)讨论()f x的单调性;(2)若()f x0 恒成立,求

8、a的取值集合;(3)若存在12022xx,且1112221cos1cos0fxxxfxxx,求a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案1.D 由题可知双曲线22162yx的渐近线方程为3yx.2.B 依题得0,1,2,3,22ABxx,则0,1,2AB.3.C 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则23l2 r,解得2r,所以该圆锥的表面积为2212261623.4.A222tan81sin81 cos8111sin162sin181tan 81sin 81cos 81224m.5.A 因为()2xf xx在R上单调递增

9、,且112222f,所以12a.又16161log 3log 42b,所以ab.6.B 圆22:64120C xyxy,即圆22:(3)(2)1Cxy的圆心为(3,2)C,半径r1,点(1,1)P 到圆心(3,2)C的距离22(3 1)(21)17d,所以|PM 2(17)14.PC PM 2|cos|PMPCPMCPMPCPMPMPC 16.7.A 易知440003 100 220021 101 1 1 1 ,当四位数由 4,0,0,0 构成时,共有 1 种情况,当四位数由 3,1,0,0 构成时,共有2232C A6种情况,当四位数由 2,2,0,0 构成时,共有23C3种情况,当四位数由

10、 2,1,1,0 构成时,共有1133C C9种情况,当四位数由 1,1,1,1 构成时,共有 1 种情况,所以这样的“F数”有 20 个.8.D 由题可知4715 71742 7cos,cos1472272 17CABCBA ,则tanCAB33,tan52CBA.由题意不妨设00,C xy,又00(,0),(,0),tanyAaB aCABxa,22000220tan,1yxyCBAaxab,所以tantanCABCBA200022000yyyaxxaax2222022220310baxbaaxa,则E的离心率为2270110ba.学科网（北京）股份有限公司9.AC当,03x 时,2,33

11、 3x ,因为,3 3 是正弦函数的单调递增区间,所以()f x在区间,03上单调递增,A选项正确;1327sin033f,B 选项错误;sin03f,C 选项正确;将()f x的图象向左平移6个单位长度,得函数2()2sin 22sin 2633g xxx的图象,其中2(0)2sin33g,不是函数最值,y轴不是函数图象的对称轴,()g x不是偶函数,D 选项错误.10.ABD由31z,可得2(1)10zzz,则210zz,解得13i22z ,所以|z|1221.10nnnnzzzzzz,故选项 A,D 正确.当13i22z 时,22,()zzzz,当13i22z 时,22,()zzzz,故

12、选项 B 正确,选项 C 错误.11.BCD 由(21)fx 的图象关于直线1x 对称,可得(1)f x 的图象关于直线2x 对称,即()f x的图象关于直线1x 对称.由()(1)1f xg xx,可得(1)()fxgx x,又(1)()f xgxx,所以(1)(1)0fxf x,所以()f x的图象关于点(0,0)对称,即()f x为奇函数,周期为4(10)4.由()(1)1f xg xx,可得(f x 5)(6)6g xx,因为()f x的周期为 4,所以(5)(1)f xf x,则()gxx(6)6g xx,即()(6)6gxg x,所以()g x的图象关于点(3,3)对称.因为()f

13、 x的图象关于直线1x 对称,则(2)()fxf x,所以(2)()fxfx,所以(1)0f,因为()f x的周期为4,所以()fx的周期也为 4.由()(1)1f xg xx,可得()fx(1)1g x,所以(202)1(201)1(1)1gff .由()(1)1f xg xx,可得()(1)g xxf x,所以(2)2(1)gf,即991(1)1,(2)(0)0,(3)1,()iffffg i(12399)(0)(1)(98)4950(0)(1)(2)4949ffffff.12.88 40%3.2,将样本数据按从小到大的顺序排列为 5,5,6,8,8,10,11,14,故40%分位数为 8

14、.学科网（北京）股份有限公司13.62;2 33把正三棱锥DABC的侧面展开,两点间的连接线1AA是截面周长的最小值.正三棱锥DABC中,30BDC,所以1,31ADAD AD,所以162AA,故AEF周长的最小值为62.又111111sin23,621sin2A DEADEADEDEDASAEAAAESADEDEDA,所以1(631AE 1)226AE.则12,EF62AF.2222162(62)(2)2 33.22S14.6 由322xabxbx,可得321xabx,令函数3(),0,21xf xxx,则2223(1)ln333(1)ln3 13 ln3 1()0(1)(1)(1)xxxx

15、xxfxxxx,故()f x在0,2上单调递增,即31,31xx,所以22,2 32abab.故(3)2()ababab6,当且仅当2,4ab 时,上式成立.所以ab的最大值为 6.15.解:(1)记事件A为“任取一件产品,恰好是次品”,事件1B为“取到甲车间生产的产品”,事件2B为“取到乙车间生产的产品”,事件3B为“取到丙车间生产的产品”,则10.3P B,231230.3,0.4,0.02,0.03,0.02,P BP BP A BP A BP A B.3分所以由全概率公式得31()0.3 0.020.3 0.030.40.02iiiP AP B P A B0.023,故从该厂这批产品中

16、任取一件,取到次品的概率为 0.023.6 分(2)X的可能取值为0,1,2,3,100,且X服从二项分布.由(1)知,()0.023P A.8 分学科网（北京）股份有限公司因为(100,0.023)XB,所以1000.0232.3EX.13 分16.解:(1)令1n,得11a.2 分当2n时,因为4(21)1nnSna,所以114(21)1nnSna,两式相减得14(21)(21)nnnanana,.3 分即1(23)(21)nnnana,所以12123nnanan,.4 分所以2312135211323nnaaanaaan,即121nana,.5 分所以*212,nannnN.6 分又11

17、a,符合上式,所以*21nannN.7 分(2)由21 21 21kkn,可得121kk n,所以1121122kkkbkk.11 分21212(3)32112222kkkk kkkbbb.15 分17.(1)证明:当P和1A重合时,显然符合题意,当P和1A不重合时,连接1AP,延长1AP交11BC于点1M,因为11BBC C是正方形,所以1BBBC,又因为11/BBAA,所以1AABC.2 分因为1,APBC APA AA,所以BC 平面1AAP.4 分又1AP 平面1AAP,所以1BCAP,则1111BCAM.5 分因为ABAC,所以1M为11BC的中点,且11AM为111C AB的角平分

18、线.6 分所以点P到直线11AB和11AC的距离相等.7 分学科网（北京）股份有限公司(2)解:取 BC 的中点M,连接1,MMAM,所以1,MMBC AMBC,所以1AMM为二面角1ABCB的平面角,.8 分因为二面角1ABCB的大小是23,所以123AMM.9 分过M作平面 ABC 的垂线,交11AM于点N,分别以,MA MB MN 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,由题可得1(2,0,0),(1,0,3),(0,1,0),(0,1,0)AACB,所以1(2,1,0),(1,0,3),(2,1,0)ACAAAB ,11 分设平面11ACC A的法向量为(,)x y zn,

19、则10,0,AAACnn即30,20,xzxy 令3x,则2 3,1yz,所以(3,2 3,1)n,直线 AB 与平面11ACC A所成的角为,则sin|cos,|AB n|4 3155|165ABAB nn,所以直线 AB 与平面11ACC A所成角的正弦值为155.15 分18.(1)解:设(,)P x y,则22|2|xxy,.3 分两边平方,化简得244yx,故W的方程为244yx.5 分(2)证明:设点1122,(0,),C x yD xyHtAC的方程为()xm yt,则(,0)Gmt,因为AHHG,所以(,2),(,2),0,0A mtt B mtt tm.7 分从而直线 BD

20、的方程为()3mxyt.8 分学科网（北京）股份有限公司联立2(),44,xm ytyx可得24440ymymt,所以14Ayym,则142ymt,所以1(43)xmmt.10 分联立2(),344,mxytyx 可得2444033ymymt,所以243Byym,则243ym 2t,所以2433mxmt.12 分所以直线 CD 的斜率为1212yyxx44223342(43)33mmttmmmmmtt.15 分所以直线 CD 与直线 AC 的斜率之比为33212mm.17 分19.解:(1)()e1xfxa.1 分当0a时,()0fx,所以()f x在R上单调递减.3 分当0a 时,令()0f

21、x,解得lnxa,所以()f x在(,ln)a 上单调递减,在(ln,)a上单调递增.5 分(2)因为(0)0f,所以0a.6 分由(1)可知min()(ln)1lnf xfaaa,.8 分令函数11()1ln,()1ah aaa h aaa ,易知()h a在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,且(1)0h,要使得()0f x 恒成立,则1a,即a的取值集合为1.10 分(3)由1112221cos1cos0fxxxfxxx,可得1211ecosexxaxxaa22cos0 xxa.设函数()ecos,2 2xg xaxxa x ,即()g x在,02和0,2上存在零点.记()gx是

22、()g x的导数,()gx是()gx的导数,(4)()gx是()gx的导数.学科网（北京）股份有限公司()ecossin,()e2sincosxxg xaxxx gxaxxx,在0,2上,若0a,则()0g x,若1a,则()0,()(0)0g xg xg,矛盾.13分因此(0,1)a,此为必要条件,下证充分性:在0,2上,2()0,(0)10,e022gxgaga,即()g x先负后正,因此()g x先减后增,由2(0)0,e102xgga,可知()g x在区间0,2上有唯一零点.15 分在,02上,(4)()e3cossin,()e4sincos0 xxgxaxxx gxaxxx.由2e0,(0)3022gaga,可知()gx先负后正,因此()gx先减后增,2e20,(0)02gaga,可知()gx先负后正,()g x先减后增.由2e0,(0)1022gaga,可知()g x先正后负,因此()g x先增后减,由2e10,(0)02xgag,可知()g x在区间,02上有唯一零点,符合题意.所以a的取值范围为(0,1).17 分