高中数学知识要点及解题方法精粹.docx

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1、高中数学知识要点及解题方法精粹陈永清高高中三𝒚𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒃𝑶𝒅𝒙𝒂𝒄同综步合学复习习的的助利手器通法先行，随机应变；大胆猜想，小心求证！立足基础是关键，通则通法要熟练，思想方法再掌握，不怕题目再三变。不怕难题不得分，就怕每题扣点分！1坚决消灭会而不对，对而不全丢分现象！思维有术，表达无方字迹工整，卷面整洁，规范答题，详略得当目录2目录1作者自序4专题A 常用的数学思想和方法5专题B常用化简技巧与常用公式6专题C数学解题经验谈9专题

2、D数学解题表10专题 1集合(B1)11专题 2函数及其定义域(B1)13专题 3函数解析式的求法(B1)15专题 4值域，最值(B1)17专题 5函数图象及其变换(B1)19专题 6单调性(B1)21专题 7奇偶性、对称性(B1)23专题 8周期性(B4)25专题 9指数与指数函数(B1)27专题 10 对数与对数函数(B1)28专题11 幂函数的图像与性质(B1)29专题 12 定点问题及抽象函数(B1)30专题 13 成立与恒成立(B1)31专题 14 函数与方程、二分法(B1)33专题 15 二次方程根的分布(B1)34专题 16 函数的应用(B1)35专题 17 空间几何体(B2)3

3、6专题 18 点、直线、平面之间的关系(B2)38专题 19 直线方程(B2)41专题 20 曲线的对称性(B2)43专题 21 圆的方程(B2)44专题 22 直线、圆的位置关系(B2)46专题 23 空间直角坐标系B247专题 24 算法、程序框图、程序(B3)48专题 25 统计(B3)51专题 26 概率(B3)54专题 27 三角函数(B4)56专题 28 三角函数的图象与性质(B4)59专题 29 平面向量(B4)61专题 30 两角和与差的公式(B4)65专题 31 解三角形(B5)66专题 32 数列(B5)67专题 33 等差数列(B5)69专题 34 等比数列(B5)71专

4、题 35 数列求和(B5)74专题 36 递推数列的通项公式(B5)75专题 37 数列型不等式的证明(B5)77专题 38 不等式的性质(B5)80专题 39 解不等式(B5)81专题 40 含参数不等式的解法(B5)82专题 41 线性规划问题(B5)83专题 42 基本（均值）不等式(B5)85专题 43 常用逻辑用语X2187专题 44 曲线与方程及求轨迹方程X2189专题 45 椭圆X2190专题 46 双曲线X2192专题 47 抛物线X2194专题 48 直线交圆锥曲线的解题模式X2197专题 49 直线与圆锥曲线的综合知识X21100专题 50 曲线中的最值，定值(点)，取值范

5、围X21101专题 51 空间向量与立体几何(X21)102专题 52 导数X22106专题 53 定积分(X22)110专题 54 推理与证明X22111专题 55 复数X22113专题 56 排列与组合(X23)115专题 57 二项式定理(X23)116专题 58 随机变量及其分布(X23)117专题 59 回归分析、独立性检验X23119专题 60 几何证明选讲(X41)120专题 61 坐标系与参数方程X44121专题 62 不等式选讲(X45)123专题 63 常见题型的解题思路125专题 64 精选练习140练习 01集合140练习 02解不等式143练习 03函数定义域143练

6、习 04求函数解析式144练习 05函数值域147练习 06函数图象148练习 07函数单调性149练习 08函数奇偶性151练习 09周期性153练习10指数函数155练习11对数函数157练习 12定点和定值问题、抽象函数问题161练习 13恒成立、有解、无解问题164练习 14函数与方程166练习 15函数的应用168练习 16必修 1 教材经典习题精选170练习 17空间几何体171练习 18立体几何173练习 19直线与方程181练习 20圆与方程184练习 21必修 2 教材经典习题精选189练习 22综合训练（1）190练习 23算法、统计、概率194练习 33函数性质220练习

7、 24平面向量196练习 34恒成立问题221练习 25三角函数200练习 35排列与组合225练习 26数列204练习 36概率与统计（1）226练习 27不等式、线性规划208练习 37概率与统计（2）228练习 28简易逻辑与充要条件210练习 38不等式选讲230练习 29圆锥曲线（1）211练习 39教材经典习题精选231练习 30圆锥曲线（2）214练习 40综合训练（2）237练习 31立体几何217练习 32函数综合题218后记241【说明】括号中的B1 表示必修 1，括号中X21 表示选修 2-1，以此类推！（注意：X11、X12 的内容在加中括号的X21、X22、X23 中

8、）总结细致入微，促你于无声处常顿悟！ 归纳全面突破，助你求知路上拔头筹！数学其实也是一门游戏，先掌握好规则，（规则：数学定义、定理、运算法则等）再学习如何用好规则，就能取得好成绩！任何一种简洁的解题方法都离不开准确快速的运算做支撑！可以说，得运算者得数学，得数学者得天下！高考数学能力要求空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、以及应用意识、创新意识其中，运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力：运算的合理性，运算的准确性，运算的熟练性，运算的简洁性它体现了思维的灵活性、敏捷性、深刻性不仅包括对数的运算，也包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查态度决定人生的高度！记性、悟

9、性、自觉性决定了你学习上的收获！高分数、好成绩是靠自己悟出来的！正所谓：师傅领进门，修行在个人！纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行！3高中数学知识要点及解题方法精粹打开成功大门的金鈅匙作者自序这是一本极具个性和特色的高中数学知识要点和解题方法的辅导工具书！它是来自于长期在教学一线并从事高三数学教学多年的教师的心血之作！它站在实用的立场，瞄准高考，几乎一网打尽高考数学解题方法和策略！一、大开本页面排版，使得每个专题的知识点、题型方法在一面上就能集中连贯流畅的显示，阅读起来非常方便；它避免了同学们在笔记本上因东抄西写而不成系统的缺陷，因此使用起来效率更高二、编排上不同于一些数学知识手册，它不是简单地将

10、课本上的概念、定义、公式、定理简单罗列，而是将有规律性的数学结论（如周期性、等比型递推数列、线性规划中目标函数的类型等）集中在一起，有些结论给出了详尽的推导过程，还有一些给出了方法提示，阅读的时候若能比较、鉴别、思考，就能悟出许多解题方法三、将平常练习与考试中经常遇到的问题归结为一个题型，或进一步提供解题思路、或进一步归纳解决这一类问题的理论依据，以达到训练思维的作用如：“𝑥1 𝐴，𝑥2 𝐵，使得方程g(𝑥2) = 𝑓(𝑥1)成立”，这句话的含义就是“𝑦|ү

11、10; = 𝑓(𝑥)，𝑥 𝐴 𝑦|𝑦 = g(𝑥)，𝑥 𝐵”，如果悟出了这个含义，涉及它的问题不就很容易解决了吗！如果平时没有学会这些命题或语句的转化，临到考试时岂不是束手无策？本书（如专题“成立与恒成立”）收集了众多这种能训练思维、清晰解题思路的命题或语句，如果平时能多悟一悟，解题能力必将上一新台阶！四、强调知识、方法应用的可操作性作者在归纳中，强调通则通法的掌握运用，并不归纳怪、偏、难的方法，如专题“常见函数题型的解题思路”，可使学生在模仿解题中感

12、悟，在感悟中收获还有些知识点，通过作者的反复揣摩，归纳出可操作性的步骤和结论，掌握之后，再全面理解整个知识点的发生过程就容易多了五、将教师在教学中常常需要强调的东西形成文字，便于学生反复阅读，从而加深印象它也将许多散见于各种资料中和师生面授相传中的好方法汇集在其中六、本书归纳的方法、结论、解题规律确实很多，除少部分常用结论和方法要铭记于心之外，大部分只要通过反复体会和运用就能掌握，无需死记呆背为了帮助同学们掌握方法和记忆重要结论，或直观理解一些结论，作者编配了一些顺口溜，绘制了一些对应的图象七、本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此在一轮复习时若能及时同步消化吸收，必将奠定夺取高分的坚固基石

13、；本书也是二三轮复习，乃至考前必读材料；高中数学有十多本教材，考前不可能再一一翻阅，正是由于本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此考前对于自己感觉薄弱的地方，及时查阅强化不无裨益便捷八、同时本书又适于高一、高二学生作为工具书使用，同步积累知识和方法，为高考打下坚实的基础九、本书配备了一些题组训练，它们主要来自于近几年高三学生在平时的练习或考试（试题主要来源于湖南四大名校的试卷）中容易出错、或不会解答的题，但并非怪题、难题，它们甚至可以说是具有代表性的经典题、综合题，如果我们能在平时一一攻克，必将使我们的数学思维能力得到极大的锻炼和提高，解题能力产生质的飞跃；或期望读者通过对解题过程的理解，（

14、客观题有关键性提示和答案，解答题则有详尽的解答过程），进一步掌握解题方法和思路，能够举一反三，避免在考试中失误正所谓，它山之石，可以攻玉作者：陈永清说明这份资料是我是已出版的轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法的前身，是出版前最全的一份了。轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法由湖南师范大学出版社出版，2019 年 6 月出版第二版，有兴趣的读者，可以到淘宝网（简爱图书专营店）购买（又称 2020 版）。4不怕难题不得分，就怕每题扣点分！专题 A常用的数学思想和方法一数学思想：1数形结合的思想；2分类与整合的思想；3函数与方程的思想；4转化与化归的思想； 5特殊与一般的思想；6有限与无限的思想；7或

15、然与必然的思想；8正难则反的思想二数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快】三数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等【也称数学思维方法】四选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！求解对照法(直接法)；逆推代入法(淘汰法)；数形结合法(不要得意忘形)；特值检验法(定值问题)；

16、特征分析法(针对选项)；合理存在性法(针对选项)；逻辑分析法(充要条件)；近似估算法(可能性)五填空题的方法：直接法；特例法(定值问题)；数形结合法；等价转化法六熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化七计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】学会总结归类：从数学思想上归类；从知识应用上归类；从解题方法上归类；从题型类型上归类【

17、特别提醒】1. 一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用】2. 解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明3. 转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=”特别是求取值范围时，端点一定要准确处理

18、4. 平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！5. 在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明6. 在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题7. 平常要多积累解题经验和解题技巧熟记一些数学规律

19、和数学小结论对解题也是很有帮助的8. 数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件】9. 可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固 作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！新时代的三好学生：习惯

20、好，基础好，方法好5我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。牛顿专题 B常用化简技巧与常用公式一、代数部分：掌握运算技巧，可提高解题速度得运算者得数学，得数学者得天下基本公式1. 因式分解、乘法公式：𝑎2 𝑏2 = (𝑎 𝑏)(𝑎 + 𝑏)；(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐

21、+ 2𝑏𝑐；𝑎2 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 𝑏)2；𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2；𝑎3 𝑏3 = (𝑎 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)；𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + w

22、887;)(𝑎2 𝑎𝑏 + 𝑏2)；(𝑎 𝑏)3 = 𝑎3 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 𝑏3； (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏32. 设𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0的两

23、根为𝑥1，𝑥2，令= 𝑏2 4𝑎𝑐【注意：𝑏𝑥或𝑐缺省时，意味着𝑏 = 0 或𝑐 = 0】，6求根公式：𝑥= 𝑏𝑏24𝑎𝑐( 0)另有|𝑥 𝑥 | = (𝑥 𝑥 )2 = (𝑥+ 𝑥 )2 4𝑥 𝑥= 1，22𝑎&#

24、119909; + 𝑥1212= 𝑏 ，121 2|𝑎|12根与系数的关系（韦达定理）：𝑎【注意：解此类方程组时可构造方程𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0再解】𝑥 𝑥 = 𝑐 𝑎𝑎1 2𝑎因式分解：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 𝑥1)(&#

25、119909; 𝑥2)【十字交叉法分解因式要熟练！】3配方：𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 + 𝑏 )2 + 4𝑎𝑐𝑏2 (𝑎 0)；2𝑎4𝑎𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐

26、= 1 (𝑎 𝑏)2 + (𝑎 𝑐)2 + (𝑏 𝑐)2；2𝑎2 𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 𝑏)2 + 3 𝑏2；𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 2𝑎𝑏；𝑥2 + 1 = (𝑥 + 1)2 2常见化简1 2 124(1 2 1)𝑥2w

27、909;1. 繁分式化简分式： 𝑎+𝑏+𝑐 =3 1+ 4𝑎𝑐 𝑏 𝑏𝑐𝑎+𝑏+𝑐 𝑎𝑏𝑐( 3 1+ 4 )𝑎𝑏𝑐𝑎𝑐 𝑏 𝑏𝑐= 𝑏𝑐+2𝑎𝑐+𝑎𝑏

28、(同乘) 3𝑏𝑎𝑐+4𝑎2分式中的负指数幂化成正指数幂：𝑎𝑥+𝑎𝑥 = (𝑎𝑥+𝑎𝑥)𝑎𝑥 = 𝑎2𝑥+1(同乘)𝑎𝑥𝑎𝑥(𝑎𝑥𝑎𝑥)𝑎𝑥𝑎2𝑥13齐次

29、式变形：𝑧 = 𝑎+3𝑏；𝑧 = 2𝑎2+4𝑎𝑏3𝑏2 ；𝑎2 5𝑎𝑏 + 4𝑏2 0(同除)3𝑎+𝑏𝑎2+𝑎𝑏+𝑏24除法分配律（分数裂项）：𝑏+𝑐 = 𝑏 + 𝑐；𝑎𝑏 = 1 1 (分式变形时常用)Ү

30、86;𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎5分子常数化：𝑦 = 2𝑥1 = (2𝑥2)+1 = 1+ 2； 𝑦 = 2𝑥 = 2(𝑥 0)； 𝑦 = 𝑎𝑥1 = (𝑎𝑥+1)2 = 1 2 ；𝑥1𝑥1𝑥1𝑥+41 4𝑥𝑎𝑥+1⻔

31、6;𝑥+1𝑎𝑥+1+𝑦 = 2𝑥24𝑥+3 = 2(𝑥1)2+1 = 2(𝑥 1) + 1 （或用换元法令分母为𝑡后，达到分子常数化要求）𝑥1𝑥1𝑥1𝑦 = 9𝑥4+10𝑥2+1 = 1 +4𝑥2= 1 +4（借鉴分子常数化，使分子降次少项）9𝑥4+6𝑥2+19𝑥4+6𝑥2+12

32、 129𝑥 + +6𝑥说明：分子常数化手段，对于我们了解分式函数单调性，图象，求数列最大项、最小项，整数解问题等都有极大的帮助 6分母有理化： 1 = 1(𝑎𝑏) = 𝑎𝑏；1 =1(𝑥2+1+𝑥)= 𝑥2 + 1 + 𝑥；𝑎+𝑏(𝑎+𝑏)(𝑎𝑏)𝑎𝑏𝑥2+1𝑥(𝑥

33、;2+1𝑥)(𝑥2+1+𝑥) 分子有理化：𝑎 𝑏 = (𝑎𝑏)(𝑎+𝑏) = 𝑎𝑏 ； 𝑛2 + 1 𝑛 = 𝑛2+1𝑛 = (𝑛2+1𝑛)(𝑛2+1+𝑛) =1；1(𝑎+𝑏)𝑎+𝑏11(𝑛2+1+𝑛

34、)𝑛2+1+𝑛7平方法化简根式：𝑎 = 5 21 + 5 + 21 𝑎2 = 10 + 24 = 14 𝑎 = 14常见问题1你会解这两个（含参数的）方程吗？𝑎𝑥 + 𝑏 = 0；𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0；𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 = 0对于𝑥

35、; 𝑅或𝑚，𝑛 𝑅恒成立 𝑎 = 0，𝑏 = 0𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0；𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚𝑛 + 𝑐𝑛2 = 0 对于𝑥 𝑅或𝑚，𝑛 𝑅恒成立 𝑎 = 0，𝑏 = 0，𝑐 =

36、03若𝑃关于𝑄成反比，则𝑃 = 𝑘；若𝑃关于𝑄成正比，则𝑃 = 𝑘𝑄【其中𝑘为待定系数】𝑄若𝑦关于𝑢成正比，且关于𝑣成反比，则𝑦 = 𝑘 𝑢𝑣𝑎， 𝑎 0，4|𝑎| = 𝑎， 𝑎 0|𝑎 𝑏| = |

37、𝑏 𝑎|（数轴上𝑎，𝑏两点间的距离）；|𝑎| = |𝑎|，(𝑎 𝑏)2 = (𝑏 𝑎)2|𝑎| = |𝑏| 𝑎2 = 𝑏2 𝑎 = 𝑏或𝑎 = 𝑏𝑎𝑏 = 0 𝑎 = 0 或𝑏 = 0；𝑎𝑏 0 𝑎

38、0 ，即𝑎 0 且𝑏 0𝑏 0我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。牛顿两边同时平方两边同时开算术根5等式的常见代数变形：𝑎 = 𝑏 𝑎2 = 𝑏2；𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏；7两边同时开算术根22两边同时取倒数 11𝑎= 𝑏 |𝑎| = |𝑏|；𝑎 = 𝑏 = ；𝑎𝑏两边

39、同时取对数两边同时取𝑓𝑎 = 𝑏 log𝑐 𝑎 = log𝑐 𝑏或lg 𝑎 = lg 𝑏或ln 𝑎 = ln 𝑏； 𝑎 = 𝑏 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)；6. 解方程组时消元的方法：代入消元；加减消元；乘除消元7. 求值时，很多时候要进行检验，以防止产生增根，此外还要考虑是否漏根；求取值范围时，一般来说，只要限制条件考虑周全，则

40、不需检验端点要特别注意是否包含！二、几何部分：准确作图，对解题是有很大帮助的因此作图工具要备好：圆规、三角板、量角器、铅笔𝐵𝐷𝐶1. 三角形中的三边、边角不等关系，外角定理，𝐴𝑛边形内角和：(𝑛 2) 180；𝑛边形外角和：360角平线定理：在𝐴𝐵𝐶中，𝐴的平分线交𝐵𝐶边于𝐷，则𝐵𝐷 = 𝐴𝐵𝐷

41、𝐶𝐴𝐶重心性质：设𝐴𝐵𝐶的三条中线𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐶𝐷相交于点𝑂，则𝐴𝑂 = 2𝑂𝐸，𝐵𝑂 = 2𝑂𝐹，𝐶𝑂 = 2𝑂𝐷𝐴𝐴、𝐵、𝐶、

42、19863;四点共圆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角互补𝐷𝐹11𝑂22面积公式：𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑎 = 𝑎𝑏sin𝐶，𝐴𝐵𝐶𝐷面积𝑆 = 𝐴𝐵 𝐴𝐷 sin𝐴𝐵𝐸&

43、#119862;2𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆，内切圆半径为𝑟，则利用𝑆 = 1 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑟可求内切圆半径𝑟(等积法)2若四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的体积为𝑉，内切球半径为𝑟，则利用𝑉 = 1 S𝑟可求内切球半径𝑟(等积法)3 全3. 三角形的四心（正三角形的四心合一！）外心：三角形外接圆

44、圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等内心：三角形内切圆圆心，是三角形三内角平分线的交点，到三角形的三边的距离相等重心：三角形三条中线的交点，重心把每条中线都分成2: 1(到顶点的距离：到中点的距离)𝐴垂心：三角形三边上的高的交点（顶点、垂足、垂心 7 个点中，有六组四点共圆）4. 直角三角形中的射影定理：𝐴𝐵2 = 𝐵𝐷 𝐵𝐶𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷 𝐶𝐵𝐴

45、;𝐷2 = 𝐵𝐷 𝐷𝐶5. 圆幂定理：相交弦定理、割线定理、切割线定理的统称𝐵𝐷𝐶射影定理𝐴𝐷𝑃𝐵𝐶𝑃𝐴 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 𝑃𝐷𝐴𝐵𝑃𝐷𝐶 𝑃𝐴 

46、9875;𝐵 = 𝑃𝐶 𝑃𝐷𝐶𝐴𝐵𝑃2𝑃𝐶= 𝑃𝐴 𝑃𝐵三、基本概念相交弦定理割线定理切割线定理1. 质数：对于正整数𝑛，如果𝑛有且仅有两个正约数，则𝑛是质数（素数）；2. 合数：对于正整数𝑛，如果𝑛至少有三个正约数，则𝑛是合数3.1 既非质数也非合数！4（最小）

47、公倍数、（最大）公约数，5熟悉几组常用勾股数：3，4，5； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25四、常用数学方法1. 待定系数法：贯穿整个高中数学，是一种非常重要的数学解题方法；求函数解析式，求点、对称点、向量的坐标，求直线方程，求圆的方程，求圆锥曲线方程，求切线方程，求数列通项公式，求复数等，【待定系数法一般用于非设不可的题型，即不设就不易表达数量关系而导致无法解决问题，分为“设而求之”与“设而不求”（韦达定理法与点差法）两种】2. 换元法：换元法使复杂问题简单化；求函数值域，确定复合函数单调性，圆锥曲线的参数方程等，常需使用换元法；3. 坐标法：又称解析法，与平面几何、立体几

48、何、向量等有关的问题都可以考虑建坐标系完成4. 定义法：（构造型）等比数列、等差数列的证明，圆锥曲线定义的应用，概率与统计中事件性质的判断等我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。牛顿五、常用数学思想函数与方程的思想函数问题与方程问题的相互转化（甚至反复转化）是为了寻找到容易解决问题的方法！函数思想：用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题（函数的定义域、值域或最值、单调性、奇偶性或对称性、周期性、零点等性质能否确定?）方程思想：转化为方程或方程组去分析问题和解决问题如含参数的方程的讨论、曲线与方程的相互转化求值的问题，大多也是运用方程的思想，即通过条件转化为方程

49、或方程组后，解方程（组）而解决问题函数问题中用好方程思想，（曲线）方程问题中用好函数思想，常常是解决相关问题的关键数形结合的思想是一种非常实用的思想方法函数问题(求单调区间、值域、解集、零点、判断奇偶性等)、立体几何、解析几何、平面向量等都可充分利用图象有时甚至需要画两次图象：第一次画出草图研究出一些性质后，再准确画一次图象，再彻底解决问题数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休由形到数易，由数到形难；难点一突破，思路如涌泉注意：在解答题中，不能简单地完全以图替代解题过程，要有适当的推理过程和符号、文字表述某些问题貌似需要数形结合法，但由形又转化不出东西来的，这时候就应该

50、注重代数转化了化归与转化的思想几乎无处不在它使：复杂问题简单化，较难问题容易化，陌生问题熟悉化因此，思路未定，化简先行；细节处理，峰回路转；已知推导，未知转化；前后联系，问题突破转化与化归，除了常规转化外，还常需要使用一些数学方法，如待定系数法、换元法值得注意的是，无论是对已知的“数”，还是对数形结合的“形”，转化时都应先整体上转化完整、周全，否则容易产生遗漏，或导致答案错误或解答极不完整分类讨论的思想又称分类与整合的思想，找到讨论标准是关键，分类讨论完之后要整合（即总结）含参数问题，往往涉及分类讨论，但若能事先确定参数的讨论标准，再进行分类讨论，过程将变得很简洁所谓标准，就是影响结果的参数的

51、临界值！简而言之，由确定状态求出参数的值，就是讨论标准！得标准者得天下！确定的函数零点，区间端点，相切，曲线的端点、定点等都是确定的状态！一般来说，求不等式或方程的解集，求定义域、值域或最值，求单调区间，求函数零点、极值点，求曲线交点个数，找到影响所求结果的参数临界值进行讨论是关键含参数问题，也要学会避免讨论【这是更具实用价值的创新思维，正所谓“不战而屈人之兵善之善者也”】一般来说，方程有解、无解，不等式成立、恒成立问题，若能分离出参数，一般就不需要讨论了；讨论函数零点个数、方程解的个数、曲线交点个数，若能分离出参数，则用数形结合法，也可以很轻松的解决问题说明：1求不等式或方程的解集，求定义域

52、、值域或最值，求单调区间，是必须分类讨论的2. 有些问题字面上虽有“讨论”二字，但实际上只是进一步确定某种状态，如求出单调区间后讨论单调性讨论含参数函数的单调性，可以不总结，只需分类陈述清楚即可（可参考此类高考题的答案）.3. 含参数函数如何画图、如何讨论：“从 0、1 开始”，即先让参数取值为 0 或 1，画出函数图象后，再考虑参数的变化对图象的影响还有（特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想，正难则反的思想）8学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。苏步青专题 C数学解题经验谈1. 善于学习的人，就要会归纳总结2. 函数、方程、不等式的整理要规范化简、变形应

53、有目的，要避免盲目性、随意性： 分式是否要通分，整式是否要（展开）去括号，多项式是否要提公因式，怎样移项，3. 既要学会分类讨论，也要学会避免讨论4. 题中的条件都化简、转化了吗？问题（还）能转化吗？有些问题的后续思路往往在边计算边化简中发现的，因此计算、化简的准确性非常重要！ 5解题的最高境界就是揣摩出命题者的意图，从而巧妙解题（智取远胜硬拼！）6. 换元法使复杂问题简单化；待定系数法用于非设不可的题型，即不设就不易表达数量关系而无法求解7. 含参数问题中，给出某个结果(值域、最值等)，往往需要主动再求出这个结果，利用它们要吻合，解决问题8. 数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己

54、的主动思维活动去获取的；学习数学必须要有自己的体会，自己悟透了才可以学好平时要养成对重点题目以及考试中的错题一定要算出答案的习惯，哪怕问了或者看了解答或老师作了讲评，也应该自己再动手完整演算、书写一遍，即做到“考后满分”9. 准确计算，并注意计算结果的合理性，如椭圆、双曲线、抛物线方程中𝑎2，𝑏2，𝑝的值通常为一些正整数，点的坐标已确定的平面的法向量的坐标值比较简单等，如数值反常，则要考虑是否计算粗心出错高考题一般不会人为加大计算量，高考要求控制计算量、加大思维量 流畅、简洁地表达解题过程，也是数学思维的一部分；要做到：会解题，会表达要掌握一些常

55、规解答题的解答步骤和规范、简洁的答题模式，养成良好书写习惯 错题本上的习题你都会做了吗？经典题的解题思路你都掌握了吗？ 向老师请教时，你的准备工作做好了没有？该画的图象画了没有？可以化简或转化的，你化简或转化没有？解题若无思路，则更应做好上述工作！因为往往在此过程中，解题思路自然就清晰起来了 要重视基础题的训练，不要一味的去攻克难题，基础不落实，往往会事倍功半 平时计算不要依赖计算器，因为高考毕竟不允许使用计算器，而且平时养成心算或笔算，也能训练解题速度 为便于自学，购买教辅资料时，尽量选每一题解答都非常详尽的那一种（但不要边做练习边看答案！） 建议高一时，买一本高三一轮复习资料(每一题都有详

56、尽解答的)作同步学习资料用，一是了解基础的重要性，二是了解知识的综合性，三是不知不觉就完成了高三一轮复习，这对我们真正进入高三复习有极大的帮助数学解题如何表达(平时作业要求)1. 字迹工整，页面整洁；作图或列表，用尺规、铅笔；2. 每写一（小）题，空一行；作业本可对折，左右各做一题；3. 解题正式书写时，应先写上“解：”或“证明：”；错题及时更正，要抄题重做；虽然有时题目没有明确要求画图，但需要借助图象解题，则也应画出图形来【美观】【大气】【规范】4解答题的过程要简洁，即把体现解题思路性的东西写上，代数化简的过程则不必太详尽 【灵活】只有平时作业养成良好的书写习惯，考试才不会出问题，有时会因卷

57、面漂亮多得分，小小失误不扣分！解答题中必要的常用的文字表达 1解，令，则，而，又，且，即，当，若，记，故，设，取，或，及，再，由.2. 证明，解得，由于，于是，因此，从而，因为，所以，同理，此时，又即，假设，欲证，只需证，结合.3. 由已知，据题设，依题意，化简得，等价于，整理得，不妨设，解之得，要满足，事实上，注意到，由条件，一般地.4. 由可知，综上可知，综上所述，由此可得，两式相减(加、乘、除)得，问题等价为，由定理得，一方面，另一方面.5. 以𝑂为原点，所在直线分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴，建立如图所示的空间直角坐标系w

58、874;𝑥𝑦𝑧.【坐标系应符合右手直角坐标系，即𝑥、𝑦、𝑧轴要按逆时针螺旋式上升标记！且𝑧轴(竖轴)箭头一般是向上的！】 6由猜想，下面（用数学归纳法、或综合法等方法）证明.9学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。苏步青专题 D数学解题表美国数学教育家波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把数学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决弄清问题第一：你必须弄清楚问题1. 已知数据、条件是什么？未知数是什么？条件是否充分？或不充分？题目中是否有隐含的条件？2. 画张图，引入适当的符号