2024年高考数学答题技巧与模板构建题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）（解析版）.pdf

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1、题型题型 10 6 类O角恒等变换解题技巧类O角恒等变换解题技巧拼凑思想、升降幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式 拼凑思想、升降幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式 技法技法 01 拼凑思想的应用及解题技巧拼凑思想的应用及解题技巧知识迁移知识迁移 12()()()221()()2424aa=+=+=例 1-1全国高考真题tan255=技法 01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法 02 升降幂公式的应用及解题技巧 技法 03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法 04 半角公式的应用及解题技巧 技法 05 万能公式的应用及解题技巧 技法 06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在O角函数求值

2、题目当中常常会出现已知条件中给出两个或者一个O角函数值求问题中的O角函数值解决l类问题的关键在于用已知角=来表示未知角=11当已知角=有两个时所求角一般表示两个已知角=的和与差的关系21当已知角有一个时l时应着眼于所求角=与已知角=的和与差或倍数的关系然后借助O角恒等变换公式把所求角=变r已知角=2024年高考数学答题技巧与模板构建题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）（解析版）A23 B2+3 C23 D2+3 0详解1000000tan255tan(18075)tan75tan(4530)=+=+=000031tan45tan303

3、23.1 tan45 tan30313+=+例 1-22023江苏南京南京市第一中学校考一模若2sinsin36+=则tan3=A5 38+B3 34 C43 3+D5 38 0详解1由2sin2sin2cossin32666+=+=所以tan26=则()()()()3tantan26332 363663tantan5 38366332 332 332 31tantan12663=+1 2022云南云南民族大学附属中学校考模拟预测 已知2 6sin7=()10cos5=且304304则sin=A9 1535 B11 1035 C1535 D1035 2 2023山东泰安统考模拟预测已知A为锐角

4、costan22sinAAA=()2 15tan15AB=则tanB=A1517 B1517 C2 1517 D2 1517 32023湖南湘潭统考二模已知()()0,cos2cos212coscos2+=+则 A6+=B3+=C6=D3=技法技法 02 升升降降幂幂公公式式的的应应用及用及解题技巧解题技巧 知识迁移知识迁移 升幂公式：升幂公式：2sin212cos=1cos22cos2=降幂公式：降幂公式：22cos1sin2=22cos1cos2+=例 2-12023全国模拟预测已知2sin63x+=则2cos23x=A29 B19 C19 D29 0详解1因为2sin63x+=所以2co

5、ssin363=+=22cos22cos133x=412199=例 2-22023全国统考高考真题已知()11sin,cossin36=则()cos 22+=A79 B19 C19 D79 0详解1因为1sin()sincoscossin3=而1cossin6=因l1sincos2=则2sin()sincoscossin3+=+=所以2221cos(22)cos2()1 2sin()1 2()39+=+=+=.在O角恒等变换的倍角考查中升幂公式及降幂公式极w重要需灵活掌握在高考中_是高频考点要强加 12023全国模拟预测已知31cos(),sinsin55+=则cos(22)=A1 B1 C2

6、325 D2325 22023河南统考模拟预测已知 2 6cos3sin3+=则 cos(2)3+=A23 B23 C13 D13 32023全国模拟预测若()()()2sincos2 sincossin3+=则()sin 22=A79 B19 C19 D79 4 2023四川r都石室中学校考一模已知2sinsin3=2coscos1=则()cos 22=A18 B154 C14 D78 技法技法 03 OO倍倍角公角公式式的的应应用用及及解题解题技技巧巧 知识迁移知识迁移 sin3=3sin 2 4sin3cos3=23cos+4cos3 tan3=3tan 2 tan31 2 3tan2=

7、tantan(32)tan(3+)例 3已知在 中,角 11 的对边依次为 11,=6,4sin=5sin,=2,求 1 边长2 在O角函数或解O角形的一些问题中,会出现O倍角,解决起来需要把O倍角转化r一倍角与二倍角的和化简起来会多些m骤而知道O倍角公式,s们可以更快的得出结果 0解析1 =2(+)=2 34sin=5sin 4sin(2 3)=4sin3=5sin 4(3sin 2 4sin3)=5sin 4(3 2 4sin2)=5 12 2 16sin2=5 sin=74 cos=34sin=sin,=22sincos=sin =2cos=44sin=5sin 4=5 =5 1.函数(

8、)=4sin3 2 sin+2(sin22 cos2)2 的最小k周期为.A.2 B.2 C.23 D.2.已知 的内角,的对边V别为,.若 =2,且 为锐角,则+1cos的最小值为()A.22+1 B.3 C.22+2 D.4 技法技法 04 半半角角公式公式的的应应用用及及解解题技题技巧巧 知识迁移知识迁移 sin 2 1cos 2cos2 1cos 2tan2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin.例 42023全国统考高考真题已知为锐角15cos4+=则sin2=A358 B158+C354 D154+0详解1因为215cos1 2sin24+=而为锐角 所以sin2

9、=1cos 2()25135518164=1 2021黑龙江黑龙江实验中学校考模拟预测已知1cos()3+=若是第二象限角则tan2=A2 2 B2 C2 D22 22022江西P饶P饶市第一中学校联考二模已知3,sin25=则cos 2=A1010 B1010 C3 1010 D3 1010 32023全国模拟预测已知是锐角1cos3=则cos26+=A1626 B1626+C3263 D2326 半角公式是O角函数的一个重要知识点_是高考重要考点s们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式 技法技法 05 万万能能公式公式的的应应用用及及解解题技题技巧巧 知识迁移知识迁移 22222ta

10、n1tan2tan222sincostan1tan1tan1tan222xxxxxxxxx=+例 5在 中,tan2=3tan2,则 2sin+6sin 的最小值为 A.4 B.25 C.45 D.16 2sin+6sin=22tan21+tan22+62tan21+tan22=1+tan22tan2+3(1+tan22)tan2=1tan2+tan2+3tan2+3tan2 理论PP所有公式都是万能公式2但是真k提起万能公式的时候是指O角函数中的kW半角公式或称以W表弦公式 2这公式可以将角的k弦1余弦1kW这几个O角函数统一用半角的kW值来表示实现化简的目的2=1tan2+tan2+33t

11、an2+3 3tan2=10tan2+2tan2 220=45.最小值为45 12023山东山东省五莲县第一中学校联考模拟预测已知ABC内角V别为,A B C且满足cos2sin022BAC+=则59sinsinAC+的最小值为 .22021全国高O竞赛已知ABC满足2sinsin2sinABC+=则59sinsinAC+的最小值是 技法技法 06 kk余余弦平弦平方方差差公公式式的的应用应用及及解题技巧解题技巧 知识迁移知识迁移 k弦平方差公式:sin2 2 sin2=sin(+)sin(2)余弦平方差公式:cos2 2 sin2=cos(+)cos(2)例 6已知 sin=12,sin=1

12、3,则 sin(+)sin(2)=_ k余弦平方差公式是数学中一个重要的公式它涉及到O角函数和代数运算x有广泛的应用需强加 由已知可得 sin(+)sin(2)=sin2 2 sin2=(12)22(13)2=536.题型题型 10 6 类类OO角角恒恒等变等变换换解解题题技巧技巧 拼拼凑凑思思想想、升升降降幂、幂、三三倍角倍角、半半角角、万能、万能、正正余余弦弦平平方方差公差公式式 技法技法 01 拼凑思想的应用拼凑思想的应用及及解题技巧解题技巧 知识迁移知识迁移 12()()()221()()2424aa=+=+=例 1-1全国高考真题tan255=技法 01 拼凑思想的应用及解题技巧 技

13、法 02 升降幂公式的应用及解题技巧 技法 03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法 04 半角公式的应用及解题技巧 技法 05 万能公式的应用及解题技巧 技法 06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在O角函数求值题目当中常常会出现已知条件中给出两个或者一个O角函数值求问题中的O角函数值解决l类问题的关键在于用已知角=来表示未知角=11当已知角=有两个时所求角一般表示两个已知角=的和P差的关系 21当已知角有一个时l时应着眼于所求角=P已知角=的和P差或倍数的关系然后借助O角恒等变换公式把所求角=变r 0,则+1cos=2cos+1cos+1 22+1 当且仅当 2cos=1cos,即 cos

14、=22 时,等号r立,6+1cos 的最小值为 22+1.技法技法 04 半半角角公式公式的的应应用用及及解解题技题技巧巧 知识迁移知识迁移 sin 2 1cos 2cos2 1cos 2tan2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin.例 42023全国统考高考真题已知为锐角15cos4+=则sin2=A358 B158+C354 D154+0详解1因为215cos1 2sin24+=而为锐角 所sin2=1cos 2()25135518164=1 2021黑龙江黑龙江实验中学校考模拟预测已知1cos()3+=若是第二象限角则tan2=A2 2 B2 C2 D22 半角公式是

15、O角函数的一个重要知识点_是高考重要考点s们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式 0答案1B 0V析1根据诱导公式求出cos再利用平方关系可求sin然后利用公式1cossintan2sin1cos=+即可求解.0详解1解因为1cos()3+=所1cos3=又是第二象限角所2 2sin3=所1costan22sin=.故选B 22022江西P饶P饶市第一中学校联考二模已知3,sin25=则cos 2=A1010 B1010 C3 1010 D3 1010 0答案1A 0V析1根据同角O角函数的平方关系及半角的余弦公式再结合诱导公式即可求解.0详解1由3,sin25=得 2234cos1 s

16、in155=,2224cos02 411 cos105cos22210+=所cos cos22=1010.故选A.32023全国模拟预测已知是锐角1cos3=则cos26+=A1626 B1626+C3263 D2326 0答案1D 0V析1根据倍角公式的变形求出3sin23=6cos23=再由两角和的余弦公式求解.0详解1因为是锐角所024 因为2111cos13sin2223=2111cos23cos2223+=所3sin23=6cos23=所633123coscoscossinsin262626323226+=故选D 技法技法 05 万万能能公式公式的的应应用用及及解解题技题技巧巧 知识

17、迁移知识迁移 22222tan1tan2tan222sincostan1tan1tan1tan222xxxxxxxxx=+例 5在 中,tan2=3tan2,则 2sin+6sin 的最小值为 A.4 B.25 C.45 D.16 理论PP所有公式都是万能公式2但是真k提起万能公式的时候是指O角函数中的kW半角公式或称W表弦公式 2这公式可将角的k弦1余弦1kW这几个O角函数统一用半角的kW值来表示实现化简的目的2 2sin+6sin=22tan21+tan22+62tan21+tan22=1+tan22tan2+3(1+tan22)tan2=1tan2+tan2+3tan2+3tan2=1t

18、an2+tan2+33tan2+3 3tan2=10tan2+2tan2 220=45.最小值为45 12023山东山东省五莲县第一中学校联考模拟预测已知ABC内角V别为,A B C且满足cos2sin022BAC+=则59sinsinAC+的最小值为 .0答案116 0V析1由O角形内角和性质1诱导公式1和差角k弦公式可得3sincoscossin2222ACAC=进而有3tantan022AC=结合22tan2sin1tan2AAA=+22tan2sin1tan2CCC=+将目标式化为416tan2tan2AA+应用基本O等式求最小值即可.0详解1由题设cos()2sinsin2sin02

19、2222ACACACAC+=+=所sincoscossin2(sincoscossin)022222222ACACACAC+=所3sincoscossin2222ACAC=,(0,)222A C即3tantan022AC=又22tan2sin1tan2AAA=+22tan2sin1tan2CCC=+则2225(1tan)9(1tan)4 16tan59422216tansinsin22tan2tantantan2222ACAAACAAAC+=+=+4216tan162tan2AA=当且仅当4116tantan222tan2AAA=时取等号 所59sinsinAC+的最小值为16.故答案为16

20、0点睛1关键点点睛应用O角恒等变换将条件化为3tantan022AC=再应用万能公式用kW表示k弦为关键.22021全国高O竞赛已知ABC满足2sinsin2sinABC+=则59sinsinAC+的最小值是 0答案116 0详解1解析2sinsin2sinsin2(sinsin)ABCBCA+=2sincos4sincos2222ACACCAAC+=sin2sintan3tan2222ACCACA+=tan2At=则222259595527326sinsin22191ttttACtttt+=+=+216442 1616tttt+=当113,tan,tan22222ACt=时tan02AC+所

21、180AC+故min5916sinsinAC+=故答案为16 技法技法 06 kk余余弦平弦平方方差差公公式式的的应用应用及及解题技巧解题技巧 知识迁移知识迁移 k弦平方差公式:sin2 2 sin2=sin(+)sin(2)余弦平方差公式:cos2 2 sin2=cos(+)cos(2)例 6已知 sin=12,sin=13,则 sin(+)sin(2)=_ k余弦平方差公式是数学中一个重要的公式它涉及到O角函数和数运算x有广泛的应用需强加 题型题型 12 5 类类面面向向量解量解题题技技 爪爪子子定定理理=、=、系系数数和和等等和线和线、极极化化恒恒等式等式、奔奔驰驰定定理理与与三三角形角

22、形四四心心问问题题、范围范围与与最最值值问问题题 技法技法 01 爪子定理爪子定理=的的用及解题技用及解题技 知识迁移知识迁移 形如ADxAByAC=+条件的应用爪子定理=爪=_型及性质 1已知,AB AC为O共线的两个向量，则对于向量AD，必在,x y，使得ADxAByAC=+2则,B C DO点共线1xy+=当01xy+，则DPA位于BC侧，D位于APBC之间 当1xy+，则DPA位于BC两侧 1xy+=时，当0,0 xy，则D在线段BCP当0 xy，则D在线段BC延长线P 2已知D在线段BCP，:BDCDm n=，则nmADABACmnmn=+技法 01 爪子定理=的应用及解题技巧 技法

23、 02 系数和等和线的应用及解题技巧 技法 03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法 04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法 05 范围与最值的应用及解题技巧 爪子定理=是面向量基p定理的拓展，用爪子定理=能更快速求解，需学们重点学掌握 mnABCDA AB BC CD DABCD 例 1-1全高考真题设D为ABC所在面内一点，3BCCD=，则 A.1433ADABAC=+B.1433ADABAC=C.4133ADABAC=+D.4133ADABAC=解析由可想到爪_形得1344ACABAD=+，解得1433ADABAC=+答案A 例 1-2 2023 江苏模拟 如，在ABC中，13A

24、NNC=，P是BNP的一点，若211APmABAC=+，则实数m的值为 A.911 B.511 C.311 D.211 解观察到,B P NO点共线，利用爪=_型，可得 APmABnAN=+，1mn+=，由13ANNC=可得14ANAC=，所14APmABnAC=+，由已知211APmABAC=+可得12841111nn=，所311m=答案C 1 2022全统考高考真题 在ABC中，点 D在边 ABP，2BDDA=记CAmCDn=，则CB=A32mn B23mn+C32mn+D23mn+2.全高考真题在ABC中，ABc=，ACb=若点D满足2BDDC=，则AD=A2133bc+B5233cb

25、C2133bc D1233bc+3.2020新高考全 1 卷统考高考真题已知行四边形ABCD，点E，FV别是AB，BC的中点如所示，设ABa=，ADb=，则EF等于 A()12ab+B()12ab C()12ba D12ab+4全高考真题在ABC中，AD为BC边P的中线，E为AD的中点，则EB=A3144ABAC B1344ABAC C3144+ABAC D1344+ABAC 5江苏高考真题设D1EV别是ABC的边AB，BCP的点，12ADAB=，23BEBC=.若12DEABAC=+12,为实数，则12+的值是 技法技法 02 系系数数和和等等和和线线的的用用及及解解题题技技 知识迁移知识迁

26、移 如，P为AOB所在面P一点，过O作直线/lAB，由面向量基p定理知 在,x yR，使得OPxOAyOB=+，高考1模考中有关系数和等和线定理=背景的试题层出O穷，学生在解决l类问题时，往往要通过建系或利用角度P数量处理，结果因思路O清1解题繁琐，导得V率O高，而向量O点共线定理P等和线妙地将数问题转W为形关系问题，将系数和的数算转W为距离的比例算，数形结合思想得到了有效体现，时_为相关问题的解决提供了新的思路，大家可学用 Q面根据点P的位置V几种情况来考虑系数和xy+的值 d若Pl时，则射线OPPl无交点，由/lAB知，在实数，使得OPAB=而ABOBOA=，所OPOBOA=，于是=-=0

27、 xy+e若Pl时，i如 1，当P在l右侧时，过P作/CDAB，交射线OAOB，于,C D两点，则 OCDOAB，O妨设OCDPOAB的相似比为k 由,P CD，O点共线可知在R使得(1)(1)OPOCODk OAkOB=+=+所(1-)xykkk+=+=ii当P在l侧时，射线OP的反向延长线PAB有交点，如 1 作P关于O的对点P，由i的V析知在在R使得(1)(1)OPOCODk OAOB=+=+所-(1)OPk OAOB=+于是-(1-)-xykkk+=+=综合P面的论可知中OP用,OA OB线性表示时，其系数和xy+P两O角形的相似比有关2 s们知道相似比可通过对高线1中线1角V线1截线

28、1外接圆半径1内W圆半径之比来刻画2因为O角形的高线相对比较容易把握，s们O妨用高线来刻画相似比，在中，过O作AB边的垂线l，设点P在lP的射影为P，直线l交直线AB于点1P，则1|OPkOP=(k的符号由点P的位置确定)，因l需求出|OP的范围便知xy+的范围 例 2-1全高考真题在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在点 C 为圆心P BD 相W的圆P若AP=AB+AD，则+的最大值为 A3 B22 C5 D2 0系数和1 V析如，由面向量基等和线定理可知，当等和线lP圆相W时，+最大，l时 33,AFABBEEFABABABAB+=故选 A.例 2-2 衡水中学二模边长为

29、2 的k六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD(含短点)P动，P是圆QP及其内部的动点，设向量(,)APmABnAF m nR=+，则mn+的取值范围是 (5,3.5,2.6,5.2,1.DCBA V析:如，设APmABnAF=+，由等和线结论，22AGABmnABAB+=.l为mn+的最小值 理，设APmABnAF=+，由等和线结论，5AHmnAB+=.l为mn+的最大值.综P可知2,5mn+.例 2-3已知ABC为边长为 2 的等边O角形，动点P在BC为直径的半圆P.若APABAC=+，则2+的取值范围是_ 0解析1如,取AB中点为D,2APABACADAC=+=+显然,

30、当PPC重合时,2+取最小值 1.将CD行移动PO相W处,P为W点时,2+取最大值.延长PO交CD于G,易知12OGOFFP=.由等和线及行截割定理,52,2EFAPFPAE=.所2+的最大值为52.故2+的取值范围是51,2.1.在矩形ABCD中，1,2ABAD=，动点P在点C为圆心PBD相W的圆P，若APABAD=+，则+的最大值为()A 3 B 2 2 C 5 D 2 2.如，k六边形ABCDEF，P是CDE内包括边界的动 点，设(,)APABAFR=+，则+的取值范围是_ 3.如在直角梯形ABCD中，/ABCD，ABAD，13ADDCAB=，动点P在C为圆心，P直线BD相W的圆内动，设

31、(,)APADABR=+则+的取值范围是_ 4.若点C在P为圆心,6 为半径的ABP,PC=xPAyPB+,则23xy+的取值范围为_ 5.2023浙江高O_题练 如，在直角梯形ABCD中，ABAD，ABDC，2AB=，1ADDC=，中圆所在圆的圆心为点 C，半径为12，点 P 在中阴影部V包括边界动若APxAByAC=+，其中xyR，则4xy的取值范围是 A3 22 34+，B52 32+，C253342+，D17173322+，技法技法 03 极极WW恒等恒等式式的的用用及及解题解题技技 利用向量的极W恒等式可快速对共起点(终点)的两向量的数量问题数量进行转W，体现了向量的几何属性，秒杀=

32、向量数量问题r为一种可能，l恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量P几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量P几何1数的妙结合，对于O共起点和O共终点的问题可通过移转W法等转W为对共起点(终点)的两向量的数量问题，从而用极W恒等式解决，需大家强W学2 知识迁移知识迁移 极W恒等式极W恒等式 22()()4ababa b+=恒等式右边有很直观恒等式右边有很直观的几的几何意义何意义:向量向量的数量的数量可表示为这两个向量可表示为这两个向量为邻边的行四边形的为邻边的行四边形的和对角线=P差对角线和对角线=P差对角线=方差的=方差的14，恒等式的作用在于向量的线性算P数量之间的联系 如在行四边形 ABCD

33、中,ABa ADb=则 22()()4ABADABADa b+=在P述形中设行四边形 ABCD 对角线交于 M 点,则对于O角形来说:2222()()|44ABADABADDBa bAM+=例 3-1全高考真题设向量满足，则 A1 B2 C3 D5 由极W恒等式可得2222()()144ababababa b+=，故选 A 例 3-22023全统考高考真题k方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则EC ED=A5 B3 C2 5 D5 设 CD 中点为 O 点，由极W恒等式可得22134EC EDEODC=故选B.1江苏高考真题如，在ABC中，D是BC的中点，,E F是,A DP的两个O等

34、V点，4=BA CA，1BF CF=，则BE CEuur uur 的值是 .2.如,在ABC中,已知4,6,60ABACBAC=,点,D EV別在边,AB ACP,2,3ABAD ACAE=,若F为DE的中点,则BF DE的值为_ 3.2022X京统考高考真题在ABC中，3,4,90ACBCC=P为ABC所在面内的动点，1PC=，则PA PB的取值范围是 A 5,3 B 3,5 C 6,4 D 4,6，则25=CM 技法技法 04 奔奔驰驰定理定理PPOO角角形形四四心的心的用用及及解解题题技技 知识迁移知识迁移 1.奔驰奔驰定理定理 如，已知 P 为ABC内一点，则有0PBCPACPABSO

35、ASOBSOC+=.由于这个定理对的象和奔驰车的标志很相似，s们把它为奔驰定理=.面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重O会很大，一般选择填空形式出现，难度一般_会制在中等，有时_会压轴题命题2面向量中有很多重要的用，比如系数和等和线1极W恒等式1p技法s们继续学另一个重要的结论-奔驰定理2它将O角形的四心P向量完美地融合到一起，高中的学们可将这个内容当r课外拓展知识，时_是加强对O角形的认识，加深对数学的理解2 奔驰定理=揭示的是面向量PO角形面之间所蕴含的一个优美规律并因其形P奔驰的 logo 相似而得奔驰定理=，会提升解题效率，可强W学2 2.奔驰奔驰定理定理的的证明证明 如

36、延长OAPBC边相交于点D 则BODABDBODABDACDCODACDCODAOCAOBSSSSSBDDCSSSSS=DCBDODOBOCBCBC=+AOCAOBAOCAOBAOCAOBSSOBOCSSSS=+BODCODBODCODBOACOABOABOCAOCAOBCOASSSSSODOASSSSSS+=+BOCAOCAOBSODOASS=+BOCAOCAOBAOCAOBAOCAOBAOCAOBSSSOAOBOCSSSSSS=+0BOCAOCAOBSOASOBSOC+=3.奔驰奔驰定理定理的的论及四论及四心问心问题题 论O是ABC内的一点,0 x OAy OBz OC+=,则:BOCCO

37、AAOBSSSx y z=有l定理可得O角形四心向量式 1O角形的重心O角形O条中线的交点做O角形的重心，重心到顶点的距离P重心到对边中点的距离之比为 21.2O角形的垂心O角形O边P的高的交点做O角形的垂心，垂心和顶点的连线P对边垂直.3O角形的内心O角形O条内角V线的交点做O角形的内心，_就是内W圆的圆心，O角形的内心到O边的距离相等，都等于内W圆半径 r.4O角形的外心O角形O条边的垂直V线的交点做O角形的外心，_就是O角形外接圆的圆心，它到O角形O个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用面向量解决面几何问题，尤其是解决跟O角形的面和四心=相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O在ABC内部

38、，有Q四个论 d若O为ABC的重心，则0OAOBOC+=e若O为ABC的外心，则sin2sin2sin20A OAB OBC OC+=或OAOBOC=f若O为ABC的内心，则0a OAb OBc OC+=备注若O为ABC的内心，则sinsinsin0A OAB OBC OC+=_对.g若O为ABC的垂心，则tantantan0A OAB OBC OC+=，或OA OBOB OCOC OA=例 4-1宁夏高考真题已知 O，N，P 在ABC所在面内，,0OAOBOC NANBNC=+=，PA PBPB PCPC PA=，则点 O，N，P 依次是ABC的 注O角形的O条高线交于一点，l点为O角型的垂

39、心 A重心外心垂心 B重心外心内心 C外心重心垂心 D外心重心内心 因为OAOBOC=，所O到定点,A B C的距离相等，所O为ABC的外心，由0NANBNC+=，则NANBNC+=，取AB的中点E，则2NANBNECN+=，所2 NECN=，所N是ABC的重心由PA PBPB PCPC PA=，得()0PAPCPB=，即0AC PB=，所ACPB，理ABPC，所点P为ABC的垂心，故选 C.例 4-2江苏高考真题O 是面P一定点，A1B1C是面PO共线的O个点，动点 P 满足|ABACOPOAABAC=+，,)0+，则 P 的轨迹一定通过ABC的 A外心 B内心 C重心 D垂心 0解1OPO

40、AAP=，()|ABACAPABAC=+|ABACAMABAC+=，则AM是A为始点，向量|ABABP|ACAC为邻边的菱形的对角线对的向量，即AM在BAC的V线P，APAM=，,AP AM共线，故点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心，故选B 例 4-32023全高O_题练奔驰定理已知点 O是ABC内的一点，若,BOCAOCAOB的面V别记为123,S SS，则1230S OASOBSOC+=奔驰定理=是面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对的形P奔驰=轿车的 logo 很相似，故形象地其为奔驰定理=如，已知 O是ABC的垂心，230OAOBOC+=，则cosC=A3 1010 B1010

41、 C2 55 D55 0解1延长CO交AB于点 P，O是ABC的垂心，OPAB，1211:22SSOC BPOC AP=:(tan):(tan)BP APOPPOBOPPOA=tan:tantan():tan()tan:tanCOBCOAABAB=理可得13:tan:tanSSAC=，231:tan:tan:tanSSSABC=又1230S OASOBSOC+=，tantantan0A OAB OBC OC+=又230OAOBOC+=，tan:tan:tan1:2:3ABC=O妨设tan,tan2,tan3AkBkCk=，其中0k tantantantan()1 tantanBCABCBC+=

42、+=，231 23kkkkk+=，解得1k=当1k=时，l时tan0,tan0,tan0ABC，则 A，B，C都是钝角，O合题意，舍掉 故1k=，则tan30C=，故 C 为锐角，22sin3cossincos1CCCC=+=，解得10cos10C=，故选B 12023 春P海长宁高OP海市延安中学校考期o 若O是ABC内一点，0OAOBOC+=，则O是ABC的 A内心 B外心 C垂心 D重心 22023江苏高O_题练在ABC中，若HA HBHB HCHC HA=，则点 H是ABC的 A垂心 B重心 C内心 D外心 3 2023 春湖南株洲高O炎陵县第一中学校联考期o 多选如.P为ABC内任意

43、一点，角,A B C的对边V别为,a b c，总有优美等式0PBCPACPABSPASPBSPC+=r立，因形酯似奔驰汽车车标，故又为奔驰定理.则Q命题是真命题的有 A若P是ABC的重心，则有0PAPBPC+=B若0aPAbPBcPC+=r立，则P是ABC的内心 C若2155APABAC=+，则:2:5ABPABCSS=D若P是ABC的外心，4A=，PAmPBnPC=+，则)2,1mn+技法技法 05 范范围围P最P最值值的的用用及及解题解题技技 例 5-1 浙江高考真题已知a，b是面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0acbc=，则c的最大值是 A1 B2 C D 0解1试题V析

44、由于垂直，O妨设，则，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因l的最大值，故答案为 C 例 5-2 四川高考真题在面内，定点 A，B，C，D 满足DA=DB=DC,DADB=DBDC=DCDA=2，动点 P，M 满足AP=1，PM=MC，则2BM的最大值是 A434 B494 C376 34+D372 334+面向量中的范围P最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活2 基p题型是根据已知条求某个变量的范围1最值，比如向量的模1数量1向量夹角1系数的范围的等，在复过程中要注重对基p方法的训练，把握好类型

45、题的一般解法2p讲内容难度较大，需要综合学2 0解1试题V析由已知易得120,2ADCADBBDCDADBDC=.D为原点，直线DA为x轴建立面直角坐标系，如所示，则()()()2,0,1,3,1,3.ABC设(),P x y由已知1AP=，得()2221xy-+=，又1313 3,2222xyxyPMMCMBM+=()()222+13 34xyBM+=，它表示圆()2221xy-+=P的点()xy，P点()1,3 3的距离的方的14，()()2222max14933 3144BM=+=，故选 B.例 5-32023全高O_题练若面向量a，b，c满足1c=，1a c=，3b c=，2a b?，

46、则a，b夹角的取值范围是 A,6 2 B,6 C,3 2 D,3 0解1设OAa=，OBb=，OCc=，O 为原点，c方向为 x 轴k方向建立面直角坐标系，10a c=，30b c=，20a b=，a，b，cO者直接各自的夹角都为锐角，1c=，cos,1a caca c=，c s3o,b cbcb c=，cos,1aa c=，,3cosbb c=，即a在cP的投影为 1，b在cP的投影为 3，()1,Am，()3,Bn，如 ()1,am=，()3,bn=32amnb=+=即1mn=，222cos,19a ba babmn=+则2222222222244cos,9910919a bnmm nnm

47、mn=+，由基pO等式得222292966nmnmmn+=，21cos,4a b，aPb的夹角为锐角，10cos,2a b，由余函数可得aPb夹角的取值范围是,3 2，1湖南高考真题已知,a b是单位向量，0a b=.若向量c满足1,cabc=则的取值范围是 A2-1,2+1，B2-1,2+2，C1,2+1，D1,2+2，题型题型 12 5 类类面面向向量解量解题题技技 爪爪子子定定理理=、=、系系数数和和等等和线和线、极极化化恒恒等式等式、奔奔驰驰定定理理与与三三角形角形四四心心问问题题、范围范围与与最最值值问问题题 技法技法 01 爪子定理爪子定理=的的用及解题技用及解题技 知识迁移知识迁

48、移 形如ADxAByAC=+条件的应用爪子定理=爪=_型及性质 1已知,AB AC为O共线的两个向量，则对于向量AD，必在,x y，使得ADxAByAC=+2则,B C DO点共线1xy+=当01xy+，则DPA位于BC侧，D位于APBC之间 当1xy+，则DPA位于BC两侧 1xy+=时，当0,0 xy，则D在线段BCP当0 xy，则D在线段BC延长线P 2已知D在线段BCP，:BDCDm n=，则nmADABACmnmn=+技法 01 爪子定理=的应用及解题技巧 技法 02 系数和等和线的应用及解题技巧 技法 03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法 04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技

49、巧 技法 05 范围与最值的应用及解题技巧 爪子定理=是面向量基p定理的拓展，用爪子定理=能更快速求解，需学们重点学掌握 mnABCDA AB BC CD D 例 1-1全高考真题设D为ABC所在面内一点，3BCCD=，则 A.1433ADABAC=+B.1433ADABAC=C.4133ADABAC=+D.4133ADABAC=解析由可想到爪_形得1344ACABAD=+，解得1433ADABAC=+答案A 例 1-2 2023 江苏模拟 如，在ABC中，13ANNC=，P是BNP的一点，若211APmABAC=+，则实数m的值为 A.911 B.511 C.311 D.211 解观察到,B

50、 P NO点共线，利用爪=_型，可得 APmABnAN=+，1mn+=，由13ANNC=可得14ANAC=，ABCD所14APmABnAC=+，由已知211APmABAC=+可得12841111nn=，所311m=答案C 1 2022全统考高考真题 在ABC中，点 D在边 ABP，2BDDA=记CAmCDn=，则CB=A32mn B23mn+C32mn+D23mn+0答案1B 0V析1根据几何条及面向量的线性算即可解出 0解1因为点 D 在边 AB P，2BDDA=，所2BDDA=，即()2CDCBCA CD=，所CB=3232CDCAnm=23mn=+故选B 2.全高考真题在ABC中，ABc