2024五年级下册数学思维训练讲义-第七讲 最小公倍数（一）含答案.pdf

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1、第第七讲七讲 最小公倍数（一）最小公倍数（一）第一部分：趣味数学第一部分：趣味数学 小明一直以为学了最小公倍数这种知识枯燥无味，整天和求几和几的最小公倍数这样的问题打交道，真是烦死人，总觉得学习这些知识在生活中没有什么用处。然而，有一件事却改变了他的看法。有一天小明和爸爸一起乘公共汽车去青少年宫。他们俩坐的是3号车，快要出发的时候，1号车正好和他们同时出发，此时爸爸看着这两辆车，突然笑着对他说：“小明，爸爸出个问题考考你，好不好？”小明胸有成竹地回答道：“行！”“那你听好了，如果1号车每3分钟发车一次，3号车每5分钟发车一次。这两辆车至少再过多少分钟后又能同时出发呢？”稍停片刻，小明想了想脱口

2、而出“15分钟”。爸爸听了夸奖道：“答案正确！100分。”“耶！”听了爸爸的话，小明高兴地举起双手。通过这件事小明懂得了一个道理：数学知识在生活中无处不在，学习数学非常有用。同学们，你知道小明是怎么算的吗？解析：解析：因为这两辆车是同时出发的，发车的时间间隔不同，要下次再同时发车，必须求出这两个发车时间的最小公倍数。3和5是互质数，求互质数的最小公倍数就等于这两个数的乘积（3515）,所以15就是它们的最小公倍数。也就是这两辆车至少再过15分钟同时出发。第二部分：奥数小练第二部分：奥数小练 例题例题 1 1 两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？思路导航：思路导

3、航：根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：当 a1b1分别是 1 和 6 时，a、b 分别为 151=15，156=90；当 a1b1分别是 2 和 3 时，a、b 分别为 152=20，153=45。所以，这两个数是 15 和 90 或者 30 和 45。练练 习习 一一 2024五年级下册数学思维训练讲义-第七讲 最小公倍数（一）1.两个数的最大公因数是 9，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？2.两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 60，求这两个数的和是多少？3.两个数的最大公因数是 60，最小

4、公倍数是 720，其中一个数是 180，另一个数是多少？例题例题 2 2 两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数各是多少？思路导航：思路导航：我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360120=3。又因为（甲3=a，乙3=b）中，3ab=120，a 和 b 一定是互质数，所以，a和 b 可以是 1 和 40，也可以是 5 和 8。当 a 和 b 是 1 和 40 时，所求的数是 31=3 和 340=120；当 a 和 b 是 5 和 8 时，所求的数是 35=15

5、和 38=24。练练 习习 二二 1.求 36 和 24 的最大因约数和最小公倍数的乘积。2.已知两个数的积是 3072，最大公因数是 16，求这两个数。3.已知两个数的最大公因数是 13，最小公倍数是 78，求这两个数的差。例题例题 3 3 甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲 3 天去一次，乙4 天去一次，丙 5 天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？思路导航思路导航 ：从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是 3、4、5的最小公倍数。因为 3、4、5 的最小公倍数是 60，所以至少再过 60 天他们三人又

6、在图书馆相会。练练 习习 三三 1.1 路、2 路和 5 路车都从东站发车，1 路车每隔 10 分钟发一辆，2 路车每隔 15 分钟发一辆，而 5 路车每隔 20 分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？2.甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用 120 秒，乙跑一圈用 80 秒，丙跑一圈用 100 秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？3.五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每 6 天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次

7、同一天去张爷爷家？例题例题 4 4 一块砖长 20 厘米，宽 12 厘米，厚 6 厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？思路导航：思路导航：把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。练练 习习 四四 1.用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？2.有 200 块长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积

8、是多少立方厘米？3.一个长方体长 2.7 米、宽 1.8 分米、高 1.5 分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？例题例题 5 5 甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米，三人沿 600 米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？思路导航：思路导航：甲跑一圈需要 6003=200 秒，乙跑一圈需要 6004=150 秒，丙跑一圈需要6002=300 秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是 200、150 和 300 的最小公倍数。200、150 和 300 的最小公倍数是 600，所以，经过

9、 600 秒后三人又同时从出发点出发。练练 习习 五五 1.有一条长 400 米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1 分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则 10 分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。2.一环形跑道长 240 米，甲、乙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行 8 米，乙每秒行 6 米，至少经过几分钟，二人再次从原出发点同时出发？3.甲、乙、丙三人在一条长 240 米的跑道上来回跑步，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 5 米，丙每秒跑 3 米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？第三部分：数学史话第三部分：数学史话 在世界上，中国最早提

10、出了最小公倍数的概念。由于分数加、减运算上的需要，也是在九章算术中就提出了求分母的最小公倍数的问题。在西方，到 13 世纪时意大利数学家斐波那契才第一个论述了这一概念，比中国至少要迟一千二百多年。从中国最小公倍数起源的论述中可以看出，张邱建是中国历史上第一个提出最小公倍数的人。他的最小公倍数与最大公约数关系在“封山周栈”中完美展示，并深入发掘。张邱建的最小公倍数理论同样应用于分数通分。这与“合分术”、“少广术”有本质的区别，也是对“合分术”的发展。国外最小公倍数的起源中古希腊独树一帜，从数论中得到最小公倍数概念 并对最小公倍数概念进行应用。如几何原本卷，阐述求解两个数最小公倍数的方法命题，提出

11、“两数最小公倍数可以量尽两个数的任意倍数”，所以欧几里得是古希腊提出最小公倍数概念的第一人。参考答案 练习一 1.最大公因数是 9,则这数都是 9 的倍数,同样 90 也是 9 的倍数,所以 909=10 10=25，所以 29=18 59=45 这两个数是 9 和 90 或 18 和 45。2.6012=5 因为 5=15 所以这两个数是:112=12 和 512=60 两数和是:12+60=72。3.720=2222335 180=22335 60=2235 所以另外一个数是：222235=240。练习二 1.24=2223，36=2233 最大公因数是：223=12 最小公倍数是：222

12、33=72 故答案为：12，72。2.3072=121616=16(1216)=(316)(416)两个数分别为 16、192 或 48、64。3.两个数的最大公因数是 13,最小公倍数是 78,两个数的差是 78-13=65。练习三 1.10,15,20 的最小公倍数为 60 所以当三中路线的车同时发车后、至少要 60 分钟又有这三种路线同时发车。2.120、100、80 的最小公倍数是 1200，因此过了 1200 秒即 20 分钟他们会在起点相遇。2.一班每周一都要去看就是 每 7 天看一次，二班的同学每 6 天去看一次 每 6 天看一次，三班的同学每两周去看一次 每 14 天看一次，“

13、六一”儿童节三个班的同学 同一天去看，那下一次就要隔 6、7、14 的最小公倍数天，才再次同一天去。分解质因数：7=7 6=23 14=27 最小公倍数：237=42 答：再过 42 天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家。练习四 1.正方体的棱长应是 9，6，7 的最小公倍数，9，6，7 的最小公倍数是 126，所以，至少需要这种长方体木块：（126126126）（967）=2000376378=5292（块）2.6、4、3 的最小公倍数是 12，则大正方体的棱长是 12 厘米，长用 126=2（块），宽用 124=3（块），高用 123=4（块），此时最少需要用 234=24（块），当大正

14、方体的棱长是 24 厘米时，246=4（块），244=6（块），243=8（块）；468=192200 3.2.7 米=270 厘米 1.8 分米=18 厘米 1.5 分米=15 厘米 因为 270、18、15 的最大公约数是：3 3 厘米=0.3 分米 答：切成的正方体的棱长最大是 0.3 分米。练习五 1.甲乙速度之和：4001=400（米/分）甲乙速度之差：40010=40（米/分）甲的速度：400+40）2=220（米/分）乙的速度：（400-40）2=180（米/分）2.2408=30（秒）2406=40（秒）30、40 和 48 的最小公倍数是 120。所以，至少经过 120 秒，即 2 分钟，两人再次从原出发点同时出发。3.甲跑完一圈的时间：240 4=60（秒）乙跑完一圈的时间：240 5=48（秒）甲跑完一圈的时间：240 3=80（秒）因为 60、48、80 的最小公倍数是 240。所以 240 秒后又从此处会合。