【数学】随机变量及其分布检测试卷-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.docx

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1、姓名 班级 考号 密 封 装 订 线 密 封 装 订 线密 封 线 内 不 要 答 题第七章随机变量及其分布全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设离散型随机变量X的分布列为X01234Pa0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的是()A.a=0.01B.E(X)=3C.D(Y)=7.4D.E(Y)=52.一个盒子里有7只好的晶体管,5只坏的晶体管,依次不放回地任取两次,则第二次才取到好的晶体管的概率为()A.712B.35144C.35132D.573

2、.某校高二年级有1 000名学生,一次考试后数学成绩XN(110,102),若P(100X110)=0.35,则估计高二年级学生的数学成绩在120分以上的人数为()A.130B.140C.150D.1604.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=an(n+2)(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P12X52=()A.5568B.55136C.45D.565.设随机变量B(2,p),B(4,p),若P(1)=89,则P(1)=()A.8081B.6581C.5581D.40816.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人

3、数,D(X)=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.37.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),若每一局甲赢的概率都是p,且0p218 C.D(X)14D.D(X)20818.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生的体育锻炼.某校一位篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则他后一球投进的概率为34,若他前一球投不进,则他后一球投进的概率为14.若他第1个球投进的概率为34,则他第4个球投进的概率为()A.34B.1732C.716D.916二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每

4、小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:小时)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间XN(1,12),用工艺2加工一个零件所用时间YN(2,22),X,Y的正态曲线如图,则下列结论正确的是()A.122B.若加工时间只有a个小时,应选择工艺2C.若加工时间只有c个小时,应选择工艺2D.t0(b,c),P(XP(YP(Y=2)B.P(Y=2)=P(Y=3)C.E(Y)=4E(X)D.D(X)=D(Y)11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的

5、10个小球,其中白球6个、红球4个,现分两次从纸箱中不放回取球,第一次从箱中随机取出1个球,第二次从箱中随机取出2个球,分别用A1,A2表示事件“第一次取出白球”“第一次取出红球”,分别用B,C表示事件“第二次取出的都为红球”“第二次取出的两球为一红一白”.下列结论正确的是()A.P(B|A2)=112B.P(C|A1)=59C.P(B)=13D.P(A2C)=1512.设随机变量的分布列如表所示:1232 0212 022Pa1a2a3a2 021a2 022则下列说法正确的是()A.当an为等差数列时,a2+a2 021=11011B.数列an的通项公式可能为an=20232022n(n+

6、1)C.当数列an满足an=12n(n=1,2,2 021)时,a2 022=122022D.当数列an满足P(k)=k2ak(k=1,2,2 022)时,(n+1)an=(n-1)an-1(n2,nN*)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目,每人限报其中的一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学报走进社区项目”,则P(A|B)的值为. 14.已知离散型随机变量X的分布列为X632Pabc其中a,b,

7、c成等差数列,则E(X)的取值范围为.15.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1,2,3,分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上数字之积,则D(2X-1)=.16.江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交路上经常拥堵,所需时间Y(单位:分钟)服从正态分布N(33,42),下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.有下列说法:若8:00出门,则乘坐公

8、交上班不会迟到;若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大;若8:06出门,则乘坐公交上班不迟到的可能性更大;若8:12出门,则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到.从统计的角度分析,以上所有合理说法的序号是.附:若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5,P(-3Z+3)0.997 3.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,甲加工的次品率为6%,乙、丙加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任

9、取一个零件,求它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,求它是丙车床加工的概率.18. (12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E

10、(X).19.(12分)某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试,试卷满分120分.现从该市学生中随机抽查10名学生,他们的成绩分别为78,81,84,86,86,87,92,93,96,97.(1)计算这10名学生的成绩的中位数和方差;(2)已知该市学生的测试成绩服从正态分布N(,2),其中近似为样本的平均数,2近似为样本的方差.某校实验班有学生30人.依据(1)的结果,试估计该班学生的学业水平测试成绩在(94,100)内的人数(结果取整数);为参加学校举行的数学知识竞赛,该班决定推荐成绩在(94,100)内的学生参加预选赛,若每名学生通过预选赛的概率均为23,且是否通过预选赛相互独立.

11、用随机变量X表示通过预选赛的人数,求X的分布列和数学期望.参考数据:若随机变量XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X120)=P(X110)-P(110X120)=0.5-0.35=0.15,所以估计高二年级学生的数学成绩在120分以上的人数为1 0000.15=150.故选C.4.A由题意得a3+a8+a15+a24=1,解得a=3017.所以P12X52=P(X=1)+P(X=2)=301713+18=5568.故选A.5.A因为随机变量B(2,p),P(1)=89,所以P(1)=1-P(=0)=89,则P(=0)=19.因为P(=0)=C20p0(1-p)2,即C20p0(1

12、-p)2=19,所以(1-p)2=19,因为随机变量B(4,p),所以P(1)=1-P(=0)=1-C40p0(1-p)4=1-192=8081,故选A.6.B由题意得XB(10,p).因为D(X)=2.4,所以10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)P(X=6),所以C104p4(1-p)6C106p6(1-p)4,即1-2p0.5,所以p=0.6.故选B.7.D随机变量X的可能取值为2,3,P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=C21p(1-p)p+C21p(1-p)(1-p)=2p-2p2,故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(

13、2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2p-122+52,因为0p13,所以2E(X)229,而22952,229218,故A、B错误.D(X)=E(X2)-(E(X)2=4(2p2-2p+1)+9(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2,令t=2p-2p2=-2p-122+12,因为0p13,所以0t49,此时D(X)=4(1-t)+9t-(t+2)2=-t2+t0,2081,所以D(X)14必成立,故C错误,D正确.故选D.8.B设该篮球运动员投进第(n-1)(n2,nN*)个球的概率为Pn-1,则他投进第n个球的概率为Pn=34Pn-1+14(1-Pn-1)=14+12Pn-1,Pn-

14、12=12Pn-1-12,又P1-12=34-12=140,Pn-12是以14为首项,12为公比的等比数列,Pn-12=1412n-1=12n+1,Pn=12n+1+12(nN*),P4=1732.故选B.9.AC对于A,由XN(1,12),YN(2,22)及题图可知X的正态曲线的对称轴为直线t=1=a,Y的正态曲线的对称轴为直线t=2=b,且ab,即12.因为Y的正态曲线比X的正态曲线更“瘦高”,所以2212,所以A正确.对于B,若加工时间只有a个小时,则由P(Xa)=12,P(Ya)c),P(Yc)=1-P(Yc),而P(Xc)P(Yc),可知P(Xc)P(Yc),则应选择工艺2,所以C正

15、确.对于D,t0(b,c),P(Xt0)12,1,P(Yt0)12,1,无法判断两者的大小,所以D错误.故选AC.10.BCD由题意得X+Y=3,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=P(Y=3)=C20C83C103=715,P(X=1)=P(Y=2)=C21C82C103=715,P(X=2)=P(Y=1)=C22C81C103=115,所以E(X)=0715+1715+2115=35,E(Y)=3715+2715+1115=125,所以E(Y)=4E(X),故A错误,B、C正确;易知Y=3-X,所以D(Y)=(-1)2D(X)=D(X),故D正确.故选BCD.11.ABD由题意得P(

16、A1)=610=35,P(A2)=410=25,所以P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=25C32C9225=112,P(C|A1)=P(CA1)P(A1)=35C51C41C9235=59,故A、B正确.易得P(B|A1)=P(BA1)P(A1)=35C42C9235=16,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=3516+25112=215,故C错误.P(A2C)=25C61C31C92=15,故D正确.故选ABD.12.ABD设数列a1,a2,a3,a2 021,a2 022的前n项和为Sn.对于A,因为an为等差数列,所以S2 022=2022(a1+a2

17、022)2=1,则有a2+a2 021=a1+a2 022=11011,故A正确;对于B,若数列an的通项公式为an=20232022n(n+1)=202320221n-1n+1,则S2 022=20232022112+12-13+12022-12023=20232022112023=1,符合分布列的性质,故B正确;对于C,因为an=12n(n=1,2,2 021),所以S2 022=121122021112+a2 022=1-122021+a2 022=1,则有a2 022=122021,故C错误;对于D,令Tk=P(k)=k2ak,则ak+1=Tk+1-Tk=(k+1)2ak+1-k2ak

18、,故ak+1ak=kk+2,所以anan-1=n-1n+1(n2,nN*),即(n+1)an=(n-1)an-1(n2,nN*),故D正确.故选ABD.13.答案29解析根据题意得P(B)=3344=27256,P(AB)=A3344=6256,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=29.14.答案73,5解析由题意得a+b+c=1,a+c=2b,b=13,a+c=23,E(X)=6a+3b+2c=623-c+1+2c=5-4c,易知0c23,E(X)73,5.15.答案2089解析X的可能取值为1,2,3,4,6,9,P(X=1)=1313=19,P(X=2)=21313=29,P(X=3)

19、=21313=29,P(X=4)=1313=19,P(X=6)=21313=29,P(X=9)=1313=19,所以E(X)=119+229+329+419+629+919=4,所以D(X)=(1-4)219+(2-4)229+(3-4)229+(4-4)219+(6-4)229+(9-4)219=529,所以D(2X-1)=4D(X)=4529=2089.16.答案解析对于说法,江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到,因为P(Y43)P(Y45),且P(33-12Y33+12)0.997 3,所以P(Y43)43)1-0.998 65=0.001 35,所以“江先生8:00出门,乘坐公

20、交上班迟到”还是有可能发生的,所以说法不合理.对于说法,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到,因为P(44-4Z44+4)0.954 5,所以P(Z48)0.5+0.954 50.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25;若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到,因为P(33-8Y33+8)0.954 5,所以P(Z41)0.5+0.954 50.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25,二者可能性相近,所以说法不合理.对于

21、说法,若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到,因为P(33-4Y33+4)0.682 7,所以P(Y37)0.5+0.50.682 7=0.841 35,所以“江先生8:06出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 35;若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到,因为P(Z44)=0.5,所以“江先生8:06出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性为0.5,又0.841 350.5,所以说法合理.对于说法,江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到,因为P(44-6Z44+6)0.997 3,所以P(Z38)(1-0.997 3)0

22、.5=0.001 35,所以“江先生8:12出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.001 35,非常小,所以说法合理.所以四个说法中合理的是.17.解析(1)设B=“任取一个零件是次品”,A甲=“零件为甲车床加工”,A乙=“零件为乙车床加工”,A丙=“零件为丙车床加工”,则A甲,A乙,A丙两两互斥.由题意得P(A甲)=0.25,P(A乙)=0.3,P(A丙)=0.45,P(B|A甲)=0.06,P(B|A乙)=P(B|A丙)=0.05,(3分)所以P(B)=P(A甲)P(B|A甲)+P(A乙)P(B|A乙)+P(A丙)P(B|A丙)=0.250.06+0.30.05+0.450.05=

23、0.052 5.(6分)(2)由题意得P(A丙|B)=P(A丙)P(B|A丙)P(B)=0.450.050.0525=37.(10分)18.解析(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1为事件M,则P(M)=C84C105=518.(4分)(2)由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C41C64C105=521,P(X=2)=C42C63C105=1021,P(X=3)=C43C62C105=521,P(X=4)=C44C61C105=142.(8分)因此X的分布列为X01234P1425211021521142(9分)X的

24、数学期望E(X)=0142+1521+21021+3521+4142=2.(12分)19.解析(1)这10个数据从小到大依次为78,81,84,86,86,87,92,93,96,97,所以中位数为86+872=86.5.(2分)平均数为110(78+81+84+86+86+87+92+93+96+97)=88,方差为110(-10)2+(-7)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+(-1)2+42+52+82+92=36.故这10名学生的成绩的中位数为86.5分,方差为36.(4分)(2)由(1)知=88,=6,设该班学生的学业水平测试成绩为x分.故P(94x100)=P(+x+2)=P(

25、-2x+2)-P(-x+)20.9540.6832=0.135 5,(6分)故估计该班学生的学业水平测试成绩在(94,100)内的人数为300.135 5=4.0654.(8分)易知XB4,23,P(X=k)=C4k23k1234k,故X的分布列为X01234P18188182732811681(10分)E(X)=423=83.(12分)20.解析(1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)=C194C204=45,P(A|B2)=C184C204=1219.(3分)(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=0.7+0.2C194C204+0.1C184C204=877950

26、,P(X=1)=0.2C193C204+0.1C21C183C204=795,P(X=2)=0.1C22C182C204=3950.(5分)所以X的分布列为X012P8779507953950(7分)E(X)=0877950+1795+23950=225.(9分)(3)由题意知,P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.71+0.245+0.11219=877950,按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=P(AB0)P(A)=P(A|B0)P(B0)P(A)=665877,因为100665877-

27、1000.7610,所以该方案无效.(12分)21.解析(1)设A,B,C三类工种职工的每份保单给保险公司带来的收益分别为X元,Y元,Z元,则X,Y,Z的分布列分别为Xaa-100104P1-11051105Yaa-100104P1-21052105Zbb-50104P1-11041104(3分)则各类工种职工为保险公司带来的期望收益分别为E(X)=a11105+(a-100104)1105=a-10,E(Y)=a12105+(a-100104)2105=a-20,E(Z)=b11104+(b-50104)1104=b-50.(6分)根据题意得(a-10)20 0000.6+(a-20)20

28、0000.3+(b-50)20 0000.1-10104(a20 0000.6+a20 0000.3+b20 0000.1)0.2,解得9a+b275,所以保费a,b需要满足9a+b275.(7分)(2)若该企业选择方案,即不与保险公司合作,则企业的支出期望为20 0000.61105100104+0.32105100104+0.1110450104=1720 000=3.4105(元).若该企业选择方案,即与保险公司合作,则企业的支出期望为20 000(0.6a+0.3a+0.1b)0.6=(0.9a+0.1b)0.620 000=(10 800a+1 200b)元.(9分)由题意得10 800a+1 200b3.4105,整理得9a+bE(Y),小明应该先猜A谜语.(9分)设小明继续猜谜得到的奖金为Z元,则Z的分布列为Z090P1-aaE(Z)=90a.(10分)令E(Z)30,得a13,当a至少为13时,值得小明继续猜谜.(12分)学科网（北京）股份有限公司