补上一课 双变量问题.docx

《补上一课 双变量问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《补上一课 双变量问题.docx（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、补上一课双变量问题题型分析 双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题 总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决.题型一利用双变量的关系化为单变量例1已知函数人幻=1一x+lnx, 2,设xi, X2是/(x)的两个极值点，且X2xi,若 g(x)=/(xi) f(X2) (a2)(犬1 X2),证明：g()0.ri1. ax2(2x4-1证明 /(x)=_g_l+(=_p.若2,令/(x)=0,得ay/a24= c 或 X2 =由于./(x)的两个极值点XI，X2满足f办+1=0,所以 X1X2=1.又因为X2Xl0,所以X21.又 g(x)=/(x

2、i)./(X2) (。一2)(x1X2)=一一(xiX2)+o(ln xi - In xi) (q2)(xi-%2)=a(l*%i+x2)= ag+21n %21%2)设 9(x)=1x+21n x, x,(X1) 29(x)=一 0,9(x)在(1, +8)单调递减，且矶1)=0,从而当x(l, +8)时，9(x)v0.所以+21n xiX20,故 g(x)0.X2感悟提升当%1，%2是函数人犬)的两个不等的极值点时，XI, X2是方程了(%) = 0的 两个不等实根，由根与系数的关系可得X1，及之间的关系，由此可利用替换法将 双变量化为单变量.训练1 (2023长春质检改编)已知府)=白一

3、2%+2alnx有两个极值点加，2,证明:可得函数x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增.法一不妨设XIX2,则 0Xll1.X1则产(%) =(e+x) (x 1)1(x 1)2(eY+xxe 1).人令 g(x) = er+xxe 1 (x0),i则 g(x)=+1 e；+xx0),1 1、,7=e、+l + e所以当 x(0, 1)时,g(x)0, 所以当/e(o, D时,ga)g(i)=o, 所以当x(0, 1)时，尸(%)0, 所以方(%)在(0, 1)上单调递增， 所以/x)(F(l),即在(。，1)上加)一心尸尸(1)= 又#%1)=/(X2)= O,所以於2)

4、4)0，又函数r)在(1, +8)上单调递增,所以 X2,即 X1X21. X1法二(同构构造函数化解等式)不妨设X142,贝I0XllX2, 0 J0),g(x) = h(x) h=x21n x(x0),则 g3=l+N0(x0),所以函数g(x)在(0, +8)上单调递增, 所以当 xl 时，g(x)g(l) = 0, 即当xl时,g)启),|x-又 hf(x) 1 -T-(x0),所以/z(x)在(0, 1)上单调递减,所以,即 X1X20).函数兀)有两个极值点XI , X2,；方程x22x+2 = 0有两个正根Xi, X2.且 /=4-80,x +x2 = 2, x*xi 2a 0,

5、解得04；由题意得 ) +/(X2)2xi+ 2aln x2x2+2an X2=；(x?+x3) - 2(xi+x2)i +%2)2x-xi- 2(x1 +尤2)+ 2ln(xi X2)= 2aln(2a) 2a2,令 /z(Q)= 2Qln(2)一2q2(02.证明若/(X)有两个极值点XI, X2,即函数了(%)有两个变号零点，又 /(x) = lnxznx,所以XI, X2是方程/)=。的两个不同的实根,解得m=lnxi + lnx2XI +12In Xi mx=0, 即I In X2-mx2 = 0,另一方面，得 In X2n xi =m(X2xi),从而可得In X2-In xiX2

6、-XIn xi+ln12X +x2(ln%2In xi) (X2+X1) 于正 In xi + In %2 =X2XIX21+ In xij xi-1XI不妨设Oxil.t 1要证 In xi+ln a：22,即证(1+1) In %t 12, /1,即当/1时，有In t2 (t 1)t 1(Ll) 2=t (r+1) 20,设函数h(t) = ln t1 2 (%+l) 2 (t1)丁a+i)2所以力在(1, +8)上单调递增.又力(1)=0,因此1(。/1)=0.j2 (? 1)于是当%1时，有ln/;一 所以Inxi+lnx22成立.感悟提升 对含参数的双变量不等式的证明，一般要利用条

7、件消去参数，把所证明的不等式化为仅含XI, X2的式子，通过运算，构造/=X1X2,，=X2等 九2为变量的新函数，利用这个新函数的性质解决.训练2 (2023南通模拟改编)已知函数次x)=ex, 区若人幻有两个不同的零点XI , X2, 证明：Xl+X22.X证明由八幻=厘一x=0,得a = Q,Y JC令 g(x)=。，则 g(x)=一一，| x由 g(x)=T。，得 xVl；X由，(幻=丁1.所以g(%)在(一8, 1)上单调递增，在(1,十8)上单调递减，由于XI, %2是方程g(%) = 0的实根，不妨设XI 1 A：2.设 OX11l,则 xi=tx,代入上式得 Inxi xi =

8、 In r+lnxiai, x i/日 In t tin tX =7, X2=；t 1l 1所以XI +X2 =0,(t- 1) In ?2 (t 1)2=ln t- rztz+1设 /z(Z)=ln t2 (Ll)t 1Q1)，(Ll) 2t a+i)2，(r+1) 21 2 (1+l) 2 (t1) 所以/)=：一 所以当t时，。单调递增, 所以/2=0, 所以 In，一 T-j 0，故 xi+x22.L I 1题型三极值点的偏移例3已知函数段)=屁一”,如果X1WX2,且於1)=加2),求证：X1+x22. 证明 法一(对称化构造法)f(x) =xex, f(x)= e-A(l x),

9、令/=0,解得=1.当x变化时，r(X), ./U)的变化情况如下表：X(一 8，1)1(1, +)了(%)+0於）1 e由X1WX2,不妨设XlX29结合图象可知X11, X22=X22xi/(2-/(2 xi)0.令方(%)=/(%)7(2一%), x(l, +8),则 Fr(x) = (x l)(e2x-2 l)e-x.Vxl, 2x20,Ae2x-2-l0,则尸(冗)0,，产(%)在(1, +8)上单调递增，当 x时,F(x)F(l)=O,即当%1时，危)人2%),则曲) 八2一8).，X1+x22.法二(比值代换法)设 OX1V10,t 1/十 1设g=ln t2 (Ll)t 1D，

10、1 2 (/+1) 2 (t1)(t1) 23丁(7+TP =t G+i)2，当tl时，g单调递增，g)g(l)=O,2 (t 1)Ain t一 方口 0, 故 1i+%22.感悟提升 极值点偏移问题的常见解法1.(对称化构造法)构造辅助函数：对结论%1+%2( (V)x8型，构造函数尸(x)=兀0 申，通过研究F(x)的 单调性获得不等式.2.(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换,=段化为单变量的 42函数不等式，利用函数单调性证明.训练3已知函数/(工)=。-2) +。(尤一1)2有两个零点，。0,设XI, X2是“X)的 两个零点，证明：xi+%22.证明 /(x) =

11、 (% 1 )(eA+2(2),JU)的极小值点为X=l.=/(万)=/(尤2)= 0,不妨设 X1V1VX2,要证 X1+x22,即证 X22X.若2和2属于某一个单调区间，那么只需要比较12%。和兀X2)的大小， 即探求人2x)力力的正负性.于是构造辅助函数F(%)=/(2x)x), %1,代入整理得 F(x)= xe-x+2(X2)-ev.求导得 Ff(x)= (1 (eex2).当VI 时,F(x)fU) = 0,则/2一%)一/)0,即次2%) /(%)(% 1).将X1代入上述不等式中，则八m)=/(m)/(2笛)，即人及)/(2羽).又函数/(%)在(1, +8)上的单调递增，且

12、 X2, 2XI (1, +),所以 122.故 X1+a：2X2),总能使得一一一2,求实数。的取值范围.XX2., /(XI ) f(X2)斛 由12, xiX20,XX2；仆1) fiX2)2xi2X2,7(xi) 2X1)“X2) 2X2,构造函数 g(x)=/a) 2x=alnx+$2x,则 g(xi)g(x2),，g(%)在(0, +8)上为增函数,由于 g(x)=E+x2,则g(x)N0对任意的x(0，+8)恒成立，由8(1)=9+工一220,可得42一12 + 2x,当x0时，则y=f+2x=(x1了+1 1,当且仅当x=l时，等号成立，三 1,因此实数。的取值范围为1, +8

13、).2. (2023苏州模拟改编)已知函数加0=21nt若函数x)有两个零点xi, x2(xi 4.证明 f(x)2nx, x0, f-4/a)=UF，知八在(，2)上单调递减，在(2, +8)上单调递增，=2是极值点，又XI, X2为函数“X)的零点，A0xi24,只需证 X24XI.(4x) 2y?V/(4xi)= 21n(4xi)=2xi+4 21n(4xi),x?21n xi =0,；/(4xi) = 21n xi2xi+4 21n(4xi),令 h(x) = 21n x-2x+4- 21n(4-x)(0x0, 7 x 4X X (4x)在(o, 2)上单调递增,：.h(x)-Xl)2

14、),又兀x)在(2, +8)上单调递增，4X12, X22,A4xi4得证.3. (2023湖南名校联考)已知函数/U)=xlnxqP金氏(1)若犬犬)存在单调递增区间，求。的取值范围；(2)若%1, %2为兀t)的两个不同的极值点，证明：31nxi + lnx2 1.(1)解 9Jx)=xln xax1, x0,./(x) = ln x+1 lax./(%)存在单调递增区间，/./(x)= 1 +ln x2axQ有解，+ln x - y即：2a有解.人人1+lnx I1Inx令 g(X)= ；一，则 g(X)=2 ，当(0, 1)时，g(%)0, g(x)单调递增;当 XW(1, +8)时，

15、g%x)vo, g(x)单调递减.当=1时，g(x)取得最大值，最大值为g(l)=l,故 2oVg(l)=l,解得故。的取值范围是(一8, y.证明 e/(x) = In x+ 2ax,.xi, X2是方程Inx=2一1的两个不同的根, 即 In xi =2ax 1, lnx2 = 2X21,要证 31nxi + ln%2 1,即证 2q(3xi+x2)3.X 小 In xi In X2，得2。=丁丁，yIn xi In X2,即证不一及(3+%2)3, 显然 XI, X20,不妨设 XlX20, r=,则 tl,即证岩(3/+D3,即证In t3 (t 1)3z+l0.设 /i(0 = ln t3 (f1)3z+lnI 112 一1) 23”=7+1) 2 = t+1) 2,当(1, +8)时，/0, 在(1, +8)上单调递增, /.当，1 时，/z(0/i(l)=0, 故 31nxi+lnx2 1 得证.【B级能力提升】4.（2022全国甲卷节选）已知函数段）=,一In x+x。，证明：若危）有两个零点XI, X2，则 X1X21.证明/（X）的定义域为（0, +）.(e*+x) (% 1)x26A(X1 )1由 f (淄=-t+1 =