(经典)高中数学最全数列总结及题型精选讲解学习.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第 2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如： 1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：514131211，说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na= f n

2、表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na= ( 1)n=1,21()1,2nkkZnk；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4 ，1.41 ， 1.414 ，（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数( )f n当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1), (2),(3),fff，( )f n，通常用na来代替f n，其图象是 一群孤立点 。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪

3、些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4， 5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列 na 的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn二、等差数列( 一) 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n例：等差数列12nan，1nnaa( 二) 、等差数列的通项公式：1(1

4、)naand；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。例：1. 已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A15 B30 C 31 D 64 2.na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列12, 12nbnann，则na为nb为（填“递增数列”或“递减数列”）( 三) 、等差中项的概念：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共

5、 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例：1 （06 全国 I ） 设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa（）A120 B105C90 D75( 四 ) 、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任

6、意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；( 五) 、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列 ) 递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn例： 1. 如果等差数列na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2. （2009 湖南卷文）设nS是等差数列na的前 n项和，已知23a，611a，则7S等于 ( ) A13 B35 C49 D 63

7、3. （2009 全国卷理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa= 4. 若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5. 已知等差数列na的前n项和为nS，若118521221aaaaS，则6. （2009 全国卷理）设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS7. 已知na数列是等差数列，1010a，其前 10 项的和7010S，则其公差d等于 ( ) 3132BA C.31 D.328. （2009 陕西卷文）设等差数列na的前 n 项和为ns, 若63

8、12as,则na9 （ 00 全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列nSn的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流前n项和，求Tn。( 六) . 对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd； 1nnSaSa奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n项，则S奇S偶naa中；1SnSn奇偶。1. 一个等差数列共201

9、1 项，求它的奇数项和与偶数项和之比_ 2. 一个等差数列前20 项和为 75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d 3. 一个等差数列共有10 项，其偶数项之和是15，奇数项之和是225，则它的首项与公差分别是_ ( 七) . 对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。例： 1. 等差数列 an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 2. 一个等差数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为。3已知等差数列na的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 11

10、0 项和为4. 设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，= 5 （06 全国 II ）设Sn是等差数列an的前n项和，若36SS13，则612SSA310B13 C18D19( 八) 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列例： 1. 已知数列na满足21nnaa，则数列na为 （）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数

11、列na的通项为52nan，则数列na为 （）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3. 已知一个数列na的前 n 项和422nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断4. 已知一个数列na的前 n 项和22nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断5. 已知一个数列na满足0212nnnaaa，则数列na为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3

12、 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6. 数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）求数列na的通项公式；7 （01 天津理， 2）设Sn是数列 an 的前n项和，且Sn=n2，则 an 是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列( 九) . 数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已

13、知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN） ；或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例： 1等差数列na中，12910SSa，则前项的和最大。 2设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。3 （02 上海）设an （nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值4已知数列na的通项9998

14、nn（Nn） ，则数列na的前 30 项中最大项和最小项分别是5. 已知na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列na从哪一项开始小于0？（2）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值( 十). 利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项1. 数列na的前n项和21nSn （ 1）试写出数列的前5 项； （2）数列na是等差数列吗？（3）你能写出数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联

15、系网站删除只供学习与交流na的通项公式吗？2. 设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式；3. （2010 安徽文）设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 4、2005 北京卷）数列 an 的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1， 2，3，求a2，a3，a4的值及数列an 的通项公式三、等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q( 一

16、) 、递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1 在等比数列na中 ,2,41qa，则na2 在等比数列na中 ,3712,2aq, 则19_.a3. （07 重庆文）在等比数列an中，a28，a164， ，则公比 q 为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 4. 在等比数列na中，22a，545a，则8a= 5. 在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A 33 B 72 C 84 D 189 ( 二) 、等比中项：若三个数cba,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列

17、的必要而不充分条件. 例： 1.23和23的等比中项为 ( ) ()1A( )1B()1C()2D2.（2009 重庆卷文）设na是公差不为0 的等差数列，12a且136,a aa成等比数列，则na的前n项和精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流nS=（）A2744nnB2533nnC2324nnD2nn( 三) 、等比数列的基本性质，1. （1）qpnmaaaaqpnm，则若

18、),(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列. 例： 1在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根 , 则47aa( ) 5()2A2()2B1()2C1()2D2. 在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a= 3. 等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaaL则（） A12 B10 C8 D2+3log 54. （2009 广东卷理）已知等比数列na满足0,1,2,nan

19、L，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaaL（）A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n( 四) 、等比数列的前n 项和，) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn例： 1. 已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其前n 项和nS2 （2006 年北京卷）设4710310( )22222()nf nnNL，则( )f n等于（）A2(81)7nB12(81)7n C32(81)7n D 42(81)7n3 （1996 全国文， 21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；

20、( 五). 等比数列的前n 项和的性质若数列na是等比数列，nS 是其前 n 项的和，*Nk，那么kS ，kkSS2，kkSS23成等比数列 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例： 1. （2009 辽宁卷理）设等比数列 na的前 n 项和为nS，若63SS=3 ，则69SS = A. 2 B. 73 C. 83 D.3 2. 一个等比数列前n项的和为 48，前 2n项

21、的和为 60，则前 3n项的和为（）A83 B108 C75 D63 3. 已知数列na是等比数列，且mmmSSS323010，则，( 六) 、等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比数列。例： 1. 已知数列na的通项为nna2，则数列na为 （）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断2. 已知数列na满足)0

22、(221nnnnaaaa，则数列na为 （）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断3. 已知一个数列na的前 n 项和1n22ns，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断四、求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列na满足：26,7753aaa， 求na；2. 等比数列na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa，求数列na的通项公式3. 已知数列na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn） ，求数列na的通项公式；4. 已知数列na

23、满足，21a且1152(5 )nnnnaa（Nn） ，求数列na的通项公式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流5. 数列已知数列na满足111,41(1).2nnaaan则数列na的通项公式 = （2）累加法1、累加法适用于：1( )nnaaf n若1( )nnaaf n (2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得111( )nnk

24、aaf n例： 1. 已知数列na满足141,21211naaann，求数列na的通项公式。2. 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。3. 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。（3）累乘法适用于：1( )nnaf n a若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaaL L，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例： 1.已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。2. 已知数列na满足321a，nnanna11，求na。3. 已知31a，nnanna23131)1(n，

25、求na。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（4）待定系数法适用于1( )nnaqaf n例： 1.已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2. （2006， 重庆 , 文,14 ）在数列na中，若111,23(1)nnaaan， 则该数列的通项na_ 3. 已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；（5）递推公式中

26、既有nS分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. （2005 北京卷）数列 an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an 的通项公式2.（2005 山东卷）已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列(6) 取倒数法。五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaanSnn2) 1(2)(11) 1(1)1 ()1(11qqqaqnaSnn公比含字母时一定要讨论精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

27、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2错位相减法求和：如：.,2211的和求等比等差nnnnbabababa例： 1求和21123nnSxxnxL2. 求和：nnanaaaS323213裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：111)1(1nnnn)121121(21) 12)(12(1nnnn)211(21)2(1nnnn)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnn!)

28、!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnn数列na是等差数列，数列11nnaa的前n项和例： 1. 数列na的前n项和为nS，若1(1)nan n，则5S等于（）A1 B56 C16 D1302. 已知数列na的通项公式为1(1)nan n，求前n项的和；4. 已知数列na的通项公式为na12n，设13242111nnnTaaaaaaL，求nT5求)( ,32114321132112111*Nnn。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3. 已知等差数列na满足02a, 1086aa. (1) 求数列na的通项公式及nS（2）求数列21nna的前 n 项和7. 已知等差数列na满足：26,7753aaa，na的前 n 项和nS（1）求na及nS（2）令112nnab（Nn） ，求数列nb前 n 项和nT精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -