天津市南开区2023-2024学年高三下学期一模试题 数学含答案.pdf

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1、20232024 学年度第二学期高三年级质量监测（一）数学学科试卷学年度第二学期高三年级质量监测（一）数学学科试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。第卷分钟。第卷 1 至至 3 页，第卷页，第卷 4 至至 9 页。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：页。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1、答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上、答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动

2、，橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3、本卷共、本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分。参考公式：分。参考公式：球的体积公式球的体积公式343VR=，其中，其中 R 表示球的半径表示球的半径.如果事件如果事件 A，B 互斥，那么互斥，那么 P ABP AP B=+U=+U.对于事件对于事件 A，B，0P A ，那么，那么 P ABP AP B A=.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

3、目要求的。（1）已知全集012 3 4U=,，集合12 32 4AB=,，,，则UAB=U（）（A）12 4,（B）2 3 4,（C）0 2 4,（D）0 2 3,4,（2）若0b，则“a，b，c 成等比数列”是“bac=”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）若1a，则11aa+-的最小值是（）（A）2（B）a（C）21aa-（D）3（4）函数21sin2ln2yxx=+的图象可能为（）（A）（B）天津市南开区（C）（D）（5）已知1.12a-=，1241loglog 33bc=，则（）（A）abc（B）cba（C）bac（D）bca（6

4、）已知随机变量26XNYBpm s,，,，且 142P XE XE Y=，则p=（）（A）16（B）14（C）13（D）23（7）关于函数3cos 23yx=+，则下列结论中：-为该函数的一个周期；该函数的图象关于直线3x=对称将该函数的图象向左平移6个单位长度得到3cos2yx=的图象：该函数在区间,6 6-上单调递减所有正确结论的序号是（）（A）（B）（C）（D）（8）在长方体1111ABCDABC D-中，112AAACBD=，其外接球体积为36，则其外接球被平面11AB D截得图形面积为（）（A）536（B）253（C）659（D）193（9）已知 O 为坐标原点，双曲线 C：2222

5、100 xyabab-=，的左、右焦点分别是12FF，离心率为62，点 P 是 C 的右支上异于项点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是 M，2MO=，则点 P 到 C 的两条渐近线距离之积为（）（A）43（B）23（C）2（D）4第卷第卷注意事项：注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题2、本卷共、本卷共 11 小题，共小题，共 105 分。分。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。（10）i 是虚数单位，复数43i34iz-=+r，则zr的虚部为_（11）若63axx+的展开式

6、中2x的系数为 160，则实数 a 的值为_（12）直线20mxy-=被圆2214xy+=截得的弦长的最小值为_（13）已知编号为 1，2，3 的三个盒子，其中 1 号盒子内装有两个 1 号球，一个 2 号球和一个 3 号球；2 号盒子内装有两个 1 号球，一个 3 号球；3 号盒子内装有三个 1 号球，两个 2 号球，若第一次先从 1 号盒子内随机抽取 1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到 2号球的条件下，第二次抽到 1 号球的概率为_，第二次抽到 3 号球的概率为_（14）平面四边形 ABCD 中，23ABABCACAB=，E 为 BC 的

7、中点，用ABuuu r和AEuuu r表示AC=uuur_；若2ED=，则AD ABuuur uuu r的最小值为_（15）已知函数 f xg x，分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 3exf xg xx+=-，若函数 20242320242xh xf xll-=-有唯一零点，则实数l的值为_三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 题，共题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分 14 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且316cosbcaB=，.（）求 a 的值：（）求证：

8、2AB=；（）cos212B-的值（17）（本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，CD 平面 PAD，22242 2ABCDCDABPDADAP=，点 E 是棱 PC 上靠近 P 端的三等分点，点 P 是棱 PA 上一点.（1）证明：PA平面 BDE（II）求点 F 到平面 BDE 的距离；（1II）求平面 BDE 与平面 PBC 夹角的余弦值.（18）（本小题满分 15 分）已知椭圆 C：222210 xyabab+=的一个焦点与抛物线24yx=的焦点 F 重合，抛物线的准线被 C 截得的线段长为2.（I）求椭圆 C 的方程；（II）过点 F 作直线 l 交 C 于 A，B

9、 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M，使MA MBuuur uuur为定值？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分 15 分）在正项等比数列 na中，132420324aaa a+=，.（）求 na的通项公式：（）已知函数 21f xxx=+，数列 nb满足：111nnbbf bnN*+=，.（i）求证：数列nb为等差数列，并求 nb的通项公式（ii）设nnncab=-，证明：11117142nkknnNcc+*=+-，（20）（本小题满分 16 分）已知2a-，a 为函数 2exf xxmxn=+的极值点，直线 l 过点 22A af aB a f a

10、-,，,，Ra（）求 f x的解析式及单调区间：（）证明：直线 l 与曲线 yf x=交于另一点 C：（）若1ABnnnNBC*+，求 n.（参考数据：ln51.609=）20232024 学年度第二学期高三年级质量监测（一）参考答案学年度第二学期高三年级质量监测（一）参考答案数学学科数学学科一、选择题：（本题共一、选择题：（本题共 9 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 45 分）分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案CBDAADCBB二、填空题：（本题共二、填空题：（本题共 6 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 30 分）公众号：高中试卷君分）公众号：

11、高中试卷君（10）45-（11）2；（12）2 3；（13）1 112 48，（第一个空 3 分，第二个空 2 分）；（14）222AEAB-uuu ruuu r，（第一个空 3 分，第二个空 2 分）；（15）1 或12三、解答题：（其他正确解法请比照给分）三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（16）解：（）由6cosaB=及余弦定理得22262acbaac+-=，因为31bc=，所以2122 3aa=，.（）由6cosaB=及3b=得2 cosabB=由正弦定理得（）sin2sincossin2ABBB=，因为0A，所以2AB=或2AB+=.若2AB+=，则BC=，与题设矛盾，因此2AB

12、=.（）由（）得2 33cos663aB=，因为0B，所以236sin1 cos193BB=-=-=所以22 21sin22sincoscos22cos133BBBBB=-=-，所以132 2 12 23cos2cos 2cos2 cossin2 sin1266632326BBBB-=-=+=-+=另解：因为2222112 2cos,sin1 cos12393bcaAAAbc+-=-=-=-=所以132 2 12 23cos2cos 2coscossinsin1266632326BBAA-=-=+=-+=（17）解：因为CD 平面 PAD，所以CDPDCDAD，.因为22 2PDADAP=，所

13、以PDAD.故以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则2 0 02 2 00 4 00 0 2ABCP,，,，,，,，4 403 3E,.（）4 42 2 003 3DBDE=uuu ruuur,，,，设平面 BDE 的一个法向量为mx y z=r,，则00m DBm DE=uuu rruuurr，即22044033xyyz+=+=，令1x=，则111m=-r,.又2 02PA=-uuu r,，可得0PA m=uuu rr，因为PA平面 BDE，所以PA平面 BDE.（）因为PA平面 BDE，所以点 F 到平面 BDE 的距离等于点 A 到平面 BDE 的距离.0 2 0AB=u

14、uu r,，则点 A 到平面 BDE 的距离为22 333m ABm=uuu rrr（）2 2 00 42BCPC=-=-uuu ruuu r,，,，设平面 BDE 的一个法向量为nx y z=r,，则00n BCn PC=uuu rruuu rr，即220420 xyyz-+=-=，令1x=，则112n=r,.设平面 BDE 与平面 PBC 的夹角为，则22coscos,336m nm nm na=r rr rr r故平面 BDE 与平面 PBC 的夹角的余弦值为23.（18）解：（）抛物线的焦点10F,，准线方程为1x=-，由题意得2222111=12abab-=+，解得2221ab=，所

15、以椭圆 C 的方程为22=12xy+.（）假设存在符合条件的点0M m,，设1122A x yB xy,，,，则1122MAxm yMBxm y=-=-uuuruuur,，,，21212121212MA MBxmxmy yx xm xxmy y=-+=-+uuur uuur，当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为1xty=+，由22122xtyxy=+=，得222210tyty+-=，则1212222122tyyy ytt-+=+，所以22121212122221112tx xtytyt y yt yyt-+=+=+=+，12122422xxt yyt+=+=+因此2222224

16、12mtmmMA MBt-+-+=+uuur uuur，若对于任意的 t 值，上式为定值，则2224122mmm-+=-，解得54m=，此时，716MA MB=-uuur uuur为定值.当直线 l 的斜率为 0 时，22572222416MA MBmmm=-=-=-=-uuur uuur综合知，符合条件的点 M 存在，其坐标为5,04.（19）解：（）因为正项等比数列 na中，2243324a aa=，所以318a=.又因为1320aa+=，所以12a=，进而公比3q=，所以12 3nna-=.（）（i）因为 2211f xxxx=+-+，所以211nnnbf bb+=+，即11nnbbnN

17、*+-=，所以数列nb是以11b=为首项，公差为 1 的等差数列.所以nbn=，即2nbnnN*=.（ii）122 3nnnncabn-=-=-.当1n=时，左式111c=，右式273142c=-=，左式右式.当2n 时，2211312 3212 313224 3214 3212nnnnnnnnnn-+-+=-+-+则2122122 31112 32 32 31kkkkkkckkk-+=-+222112122 31113112 3212 322 32 312 31kkkkkkkkkkkk-+=-+-+-+所以21211131173112 2 32422 31nnkknccn=+；当2,xaa-

18、时，0fx；所以 f x在2a-,，a+，单调递增，在2,aa-单调递减.（）直线 AB 的方程为 22f af ayf axaaa-=-，即22eayxa-=-.由 2e2exayf xxayxa-=-=-，得 2e2e0 xaxaxa-+=，显然xa=和2xa=-为方程的解.设 2e2exag xxa-=-+，则 1 exgxxa=-+，令 0gx=得1xa=-，当,1xa-时，0gx，所以 g x在,1a-单调递减，在1a-+，单调递增.因为212e e0ag a-=-，所以 g x有且仅有 2 个零点02ax-，其中01xaa-，即直线 AB 与曲线 yf x=交于另一点 C，且 C 的横坐标为0 x.（）由（）得020e2exaax-=，即 00lnln22axax-=-，设ABtBC=，则0022a ataxax-=-，所以02xat=-，代入可得2ln20tt+-=.设 2ln2h xxx=+-，则 22xh xx-=，令 0h x=得2x=.当12x,时，0h x.所以 h x在12,单调递减，在2+,单调递增.因为 10h=，342ln22 0.7 1.502h=-=，所以存在唯一的4 5t,，使得 0h t=.此时0222ln22200222e2ee2eee2ee20axaaatatg xxatttt-=-+=-+=-+=-+=因此，45ABBC，所以4n=.