辽宁省鞍山市普通高中2024届高三下学期第二次质量监测试题数学含答案.pdf

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1、鞍山市普通高中鞍山市普通高中 20232024 学年度高三第二次质量监测学年度高三第二次质量监测数学试题卷数学试题卷注意事项：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。请按照

2、题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱。不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱。不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。鞍山市普通高中鞍山市普通高中 20232024 学年度高三第二次质量监测学年度高三第二次质量监测数学数学考试时间：考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5

3、 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数2i2imz-=+为纯虚数，则实数m的值为（）A1-B4-C1D42已知直线:20l xy-=，点C在圆2212xy-+=上运动，那么点C到直线l的距离的最大值为（）A3212+B522C322D223已知非零向量ar，br满足2ab=rr，向量ar在向量br方向上的投影向量是2br，则ar与br夹角的余弦值为（）A23B26C22D234设l，m是两条不同的直线，a，b是两个不同的平面，若la，ab，则“ml”是“mb”的（）A充分不必要条件B必要不

4、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 0.6，0.8 和 0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A126B513C58D17296数列 na的通项公式为11515225nnna+-=-，则5a=（）A355B27 5C5D87校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查其中被调查的男女生人数相同男生选学生物学的人数占男生人数的45，女生选学生物学的人数占女生人数35若有90%的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男

5、生不可能有（）人A20B30C35D40附表：2P Kk0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828其中，22n adbcKabcdacbd-=+8已知a，b均为锐角，sin3sincosabab=+，则tana取得最大值时，tanab+的值为（）A2B3C1D2二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分

6、分，有选错的得 0 分。分。9已知 sin6f xxw=+在0,上是单调函数，则下列结论中正确的有（）A当0w时，w的取值范围是103wB当0w时，w的取值范围是103w-时，w的取值范围是203wD当0w时，w的取值范围是203w-的右焦点为F，左、右顶点分别为1A，2A，PFx轴于点F，且2PFQF=uuu ruuu r当12AQA最大时，点P恰好在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分 12 分）鞍山市普通高中某次高三质量监

7、测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数（赋分后学生的分数全部介于 30 至 100 之间）某校为做好本次考试的评价工作，从本校学生中随机抽取了 50 名学生的化学等级分数，经统计，将分数按照30,40，40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100分成 7组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中m的值，并估计这 50 名学生分数的中位数；（2）在这 50 名学生中用分层抽样的方法从分数在70,80，80,90，90,100的三组中抽取了 11 人，再从这 11 人中随机抽取 3 人，记x为 3 人中分数在80,90的人数，求x的分布列和数学期望

8、16（本小题满分 15 分）如图 1，在平面五边形ABCDE中，AEBD，且2DE=，60EDB=，7CDBC=，5cos7DCB=，将BCD沿BD折起，使点C到P的位置，且3EP=，得到如图 2 所示的四棱锥PABDE-（1）求证；PE 平面ABDE；（2）若1AE=，求平面PBA与平面PBD所成锐二面角的余弦值17（本小题满分 15 分）已知函数 2122ln2f xaxaxx=-+，aR（1）若曲线 yf x=在2x=处的切线与y轴垂直，求实数a的值；（2）讨论函数 f x的单调性18（本小题满分 17 分）焦点在x轴上的椭圆22214xyb+=的左顶点为M，11,A x y，22,B

9、xy，33,C xy为椭圆上不同三点，且当OBOCl=uuu ruuur时，直线MB和直线MC的斜率之积为14-（1）求b的值；（2）若OAB的面积为 1，求2212xx+和2212yy+的值；（3）在（2）的条件下，设AB的中点为D，求ODAB的最大值19（本小题满分 17 分）设数列 na的前n项和为nS，已知1*1221nnnSan+=-+N，且25a=（1）证明：12nna+为等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）设3log2nnnba=+，若对于任意的*nN，不等式1260nnnbnal+-+-恒成立，求实数l的取值范围；（3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数

10、学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数 f xx=，其中 x表示不超过x的最大整数，如2.32=，1.92-=-，设24nnnac+=，数列 nc的前n项和为nT，求2024T除以 16 的余数鞍山市普通高中鞍山市普通高中 20232024 学年度学年度高三第二次高三第二次质量监测质量监测 数学参考数学参考答案答案选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C B B C A D AD ABD BCD 1212 1324e 14515.（1）解：0.012m=.2分 设中位数为0 x，由0.260.50.56可知，)060 70 x，且()0600.03

11、0.260.5x+=.4分 068x=即这 50名学生分数的中位数为 68.5分（2）解：分数在70 80)，的 7人，在80 90)，的 3人，90100，的 1 人.6分可取值的集合为012 3，()0338311560165C CPC=，.7分()12383118428116555C CPC=，.8分()2138311248216555C CPC=，.9分()303831113165C CPC=，.10分 的分布列为：0 1 2 3 P 5616528558551165.11分 的数学期望()56288101231655555165E=+，.12分 135916511=.13分 16.（

12、1）证明：在BCD中，7CDBC=，5cos7DCB=，由余弦定理可得2222cosBDBCCDBC CDDCB=+.1分 即2BD=.2分#QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=#又因为2DE=，60EDB=，所以BDE 为正三角形 设 BD中点为 F，连接 EF、PF，故（由BDE 为正三角形可知）BDEF，（由CDBC=可知）BDPF，（EF、PF平面 PEF，EFPFF=）所以 BD平面 PEF，.4分（又因为 PF平面 PEF）故BDPE .5分 在PFD中易得6PF=，在BDE中易得3EF=，又因为3EP=，由勾股定

13、理可知PEEF，.6分 又因为 EF、BD平面 ABDE，EFBDF=，.7分 所以 PE平面 ABDE.8分（2）解：因为 AEBD，所以 AEEF，再由 PE平面 ABDE 可知，PEAE，PEEF，故可以 E为坐标原点，EA，EF，EP分别为 x轴，y轴，z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.9分 在坐标系中，各点坐标分别为：()10 0A，()13 0B，()03 0F，()3P 0，0，.10分 设平面 PAB 的法向量为()1111xyz=，n，因为()03 0AB=，()3AP=-1，0，由1100ABAP=，nn可得，平面 PAB的一个法向量()13 01=，n，.12分设

14、平面 PDB的法向量为()2222xyz=，n，同理可得，平面 PAB的一个法向量()2011=，n，.13分 设所求锐二面角为，则1212cos=n nnn，.14分 整理得2cos4=.15分 17.（1）解：2()(2)fxaxax=+，.2分 曲线()yf x=在2x=处的切线与 y轴垂直，A B D E P F x y z#QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=#公众号故2(2)2(2)02faa=+=，.4分 解得1a=.5分（2）解：()()()()222212()2axaxaxxfxaxaxxx+=+=()0 x

15、+，.6分 当0a 时，由()0fx得01x，由()0fx得1x.7分 当0a 时，由()0fx=得2xa=或1x=，.8分 若21a，即02a，则由()0fx得01x或2xa，由()0fx得21xa，.10分 若21a=，即2a=，则()0fx当且仅当1x=时取等，.11分 若21a，即2a，则由()0fx得20 xa或1x，由()0fx得21xa，.13分 综上，当0a 时，()f x的单调增区间为()01，单调减区间为()1,+；当02a时，()f x的单调增区间为()01，2a+，单调减区间为21,a；当2a=时，()f x的单调增区间为()+0，；当2a 时，()f x的单调增区间为

16、20a，()1+，单调减区间为2,1a 18.（1）由若OBOC=可知，B，O，C 三点共线，再由椭圆的对称性可知，B，C 关于原点中心对称，即32xx=，32yy=，.1分 易知()2 0M ，由直线 MB和直线 MC 的斜率之积为14可得，22221224yyxx=+对任意2x成立，.3分即()2222144yx=对任意2x成立，#QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=#公众号：高中试卷君再由2222214xyb+=，消去2y，可知222224144xxb+=对任意2x成立，故21b=，.4分 所以1b=（注：原题中忘了给出

17、条件0b，所以，将错就错吧）.5分（2）若12xx=，则211,214xy=，OAB 的面积为 1，即21112 1124xx=，解得212x=，故22212xx=，222112yy=，所以22124xx+=，.6分 22121yy+=若12xx，即直线 AB斜率存在，设直线 AB的方程为：ykxm=+，代入椭圆方程得()2214xkxm+=，所以12xx，是关于 x的方程()222418440kxkmxm+=的两实根，由韦达定理可知，当()()()22284 41 440kmkm=+即2241km+时，122841kmxxk+=+，21224441mxxk=+，.7分()2222212121

18、22228444 4144414141kmmkmxxxxx xkkk+=+=+OAB的面积为 1，即22214 411241kmmk+=+整理得22412km+=.9分 故()222222212121222228448442241412kmmkmmxxxxx xkkmm+=+=+即2222122216444kmxxmm+=.10分 综上，22124xx+=，2222221212121121444xxxxyy+=+=.11分（3）显然，121222xxyyD+，#QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=#由（2）可知，2222221

19、1225OAOBxyxy+=+=，又()()()222222222OAOBOAOBODDAODDAODDA+=+=+=+即()2222242OAOBODDAODDAODAB+=+=所以52ODAB，.15分 当且仅当12ODDAAB=时取等号，此时OAB 为直角三角形且AOB 为直角，故()()12121212OA OBx xy yx xkxmkxm=+=+()2222222448331041412mkmmkkmmkkm=+=+解得21m=（从而214k=），即等号可以成立，故ODAB的最大值为52.17分 19.（1）当1n=时，由已知得，212221Sa=+，即111aS=.1分 当2n

20、时，由已知得，1221nnnSa=+，故，11222nnnnnaaa+=+，即132nnnaa+=+，.2分 又因为12153 1232aa=+=+，所以当*nN时，132nnnaa+=+，即111323122 222 22nnnnnnnnaaa+=+=+即11311222nnnnaa+=+.3分 因为131022a+=，所以102nna+，.4分 所以11132212nnnnaa+=+即12nna+是首项为32，公比为32的等比数列，.5分 即133312222nnnnna+=，所以32nnna=.6分（2）由（1）可知()3log322nnnnbn=+=，.7分 故对于任意的*Nn，不等式

21、()163nnn+恒成立，#QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=#公众号：高中试卷君即263nnn+恒成立.8分 设263nnnnD+=，于是()()()2211116363nnnDnnnnD+=，整理得，()1212 73nnnDnD+=，.9分 所以当3n 时，10nnDD+，即344.nDDDD当2n 时，10nnDD+，即321DDD，所以329nDD=，即29，所以的取值范围为29+，.11分（3）由（1）可知322344nnnnnc+=，.12分 因为()()()()110111134 1441.411nnnnnn

22、nnnnnnCCCC=+，()()()()11011214441.11nnnnnnnnnnCCCC=+所以当 n为奇数时，333444nn=+，当 n为偶奇数时，331444nn=+，.14分 所以2024132023242024.Tcccccc=+3202324202433.3333.31101210124444+=+()()202420243 1 33 3111012101241 38=.15分()10122024101201011110101010101110121012101210128 11319188.8888CCCC+=+考虑到当2k 时，8k能被 16 整除，101010128506 1011 8C=也能被 16 整除 所以2024T除以 16的余数等于1011101231012C除以 16的余数，而1011101231012202416 1268C=+所以2024T除以 16的余数等于 8.17分#QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=#