离心率的范围问题--2024年高考数学重难点攻略含答案.pdf

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1、1微重点离心率的范围问题微重点离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁知识导图知识导图考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点分类讲解考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于 a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围1(23-24高三上内蒙古锡林郭勒

2、盟期末)(23-24高三上内蒙古锡林郭勒盟期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上存在点P，使得 PF1=4 PF2，其中F1,F2是椭圆C的两个焦点，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.35,1B.14,35C.12,1D.0,142(23-24高三上云南曲靖阶段练习)(23-24高三上云南曲靖阶段练习)已知F1，F2，分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若MF22MF1的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,53(23-24高三上陕西安康阶段练习)(23-24高三上陕西安康阶段练

3、习)已知双曲线E：x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且MF1MF2.若过原点O与点M的直线的斜率不小于3，则双曲线E的离心率的取值范围为()A.1,2B.2,+C.1,5D.5,+4(2023亳州模拟)(2023亳州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y=x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得PF2F1=3PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法利用

4、圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解1(2024陕西模拟预测)(2024陕西模拟预测)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0，抛离心率的范围问题-2024年高考数学重难点攻略2物线C2：x2=2py(p0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若bc，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,22B.22,2 55C.55,2 55D.2 55,12(20242024高三高三 全国全国 专题练习专题练习)如图，椭圆

5、的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,13(2323-2424高三下高三下 陕西安康陕西安康 阶段练习阶段练习)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，抛物线C2:x2=2py(p0)，且椭圆C1与抛物线C2相交于A,B两点，若F1A F1B=3c2，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33 C.33,1D.33,1 4已知双曲线x2a2

6、-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使sinPF1F2sinPF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2)B.(1,1+3)C.(1,1+2D.(1,1+3考点三利用几何图形的性质求离心率的范围考点三利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系1(20232023 无锡模拟无锡模拟)已知点P在双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d212|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.

7、52(20222022高三上高三上 河南河南 专题练习专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的焦距为2c，直线y=bax+b2与椭圆C交于点P,Q，若 PQ7c，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,1333(2323-2424高三上高三上 广东广东 阶段练习阶段练习)过双曲线C:x2a2-y2b2=1,a0,b0的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点O为坐标原点，若sinHOFsinHFO，又直线y=2x与双曲线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(2,5B.(2,+)C.(1,5)D.(2,5)4(20232023 陕

8、西西安陕西西安 模拟预测模拟预测)已知两动点A，B在椭圆C：x2a2+y2=1 a1上，动点P在直线3x+4y-10=0上，若APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1强化训练强化训练一、单选题一、单选题1(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且PF1PF2，2PF1PF24，则双曲线C的离心率的取值范围为()A.52,344 B.173,5 C.1,173 D.5,+2(2323-2424高二上高二上 江苏徐州江苏徐州 期中期

9、中)设F1，F2分别为椭圆C1:x2a21+y2b21=1 a1b10与双曲线C2:x2a22-y2b22=1 a20,b20的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF2=60，若椭圆的离心率e122,32 ，则双曲线C2的离心率e2的取值范围为()A.52,62 B.62,+C.3 24,62 D.62,142 3(20232023 贵州黔东南贵州黔东南 一模一模)设双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，M 0,3b，若直线l与E的右支交于A,B两点，且F为MAB的重心，则E的离心率的取值范围为()A.133,33,+B.2 137,33,+C.1,133D.1,2

10、 1374(20232023 四川攀枝花四川攀枝花 三模三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+C.3,+D.1,25(20232023 湖北湖北 模拟预测模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m 0,4，过点P 2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()4A.1,5B.1,52C.1,2D.1,26(2323-2424高三上高三上 内蒙古锡

11、林郭勒盟内蒙古锡林郭勒盟 期末期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上存在点P，使得 PF1=4 PF2，其中F1，F2是椭圆C的两个焦点，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,17(20232023 四川四川 模拟预测模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左 右焦点分别为F1,F2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为6.过F2作直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若H,G分别为AF1F2与BF1F2的内心，则 HG的取值范围为()A.2 2,4B.3,2C.2 2,4 4 3 33 3 D.2 2,4 63 8(2323

12、-2424高二上高二上 山东济宁山东济宁 阶段练习阶段练习)设椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，PF1=PF2133，F1PF2=2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104 D.12,58二、多选题二、多选题9(20242024 河北邯郸河北邯郸 三模三模)已知双曲线C:x2+6-y23-=1，则()A.的取值范围是(-6,3)B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为(1,3)10(2323-2424高三上高三上 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 期末期末)已知椭圆C:x24+y2b

13、2=1(0b0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为3的直线PF2与双曲线C在第一象限交于点P，若PF1F2F2PF1，则双曲线C的离心率的取值范围为.14(2323-2424高三上高三上 湖南娄底湖南娄底 期末期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)，直线l1和l2相互平行，直线l1与双曲线C交于A,B两点，直线l2与双曲线C交于D,E两点，直线AE和BD交于点P(异于坐标原点).若直线l1的斜率为3，直线OP(O是坐标原点)的斜率k1，则双曲线C的离心率的取值范围为.四、解答题四、解答题15(2121-2222高三上高三上 新疆昌吉新疆昌吉 阶段练习阶段练习)已知双

14、曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左 右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且 PF1=5 PF2.(1)用a表示 PF1,PF2；(2)若F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.616(20232023 上海奉贤上海奉贤 三模三模)已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a0,b0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R0(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F 2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B

15、时总有AOB=2，求离心率e的取值范围17(2323-2424高三上高三上 辽宁朝阳辽宁朝阳 阶段练习阶段练习)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，a2+b2=1，O为坐标原点，过F的直线l与C的右支相交于A，B两点.(1)若b0,b0的离心率为e(1)若e=2，且双曲线E经过点(2,1)，求双曲线E的方程；(2)若a=2，双曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，焦点到双曲线E的渐近线的距离为3，点M在第一象限且在双曲线E上，若 MF1=8，求cosF1MF2的值；(3)设圆O:x2+y2=4，k,mR R 若动直线l:y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线E 交于A,B

16、时，总有AOB=2，求双曲线E离心率e的取值范围19(2222-2323高三下高三下 上海浦东新上海浦东新 阶段练习阶段练习)已知坐标平面xOy上左、右焦点为-4,0，4,0的双曲线C1:x2m2-y2n2=1 m,n0和圆C2:x2+y-a2=9 aR R(1)若C1的实轴恰为C2的一条直径，求C1的方程；(2)若C1的一条渐近线为y=3x，且C1与C2恰有两个公共点，求a的值；(3)设a=5，若存在C2上的点P x0,y0，使得直线lP:x0 xm2-y0yn2=1与C1恰有一个公共点，求C1的离心率的取值范围1微重点离心率的范围问题微重点离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热

17、点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁知识导图知识导图考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点分类讲解考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于 a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围1(2323-2424高三上高三上 内蒙古锡林郭勒盟内蒙古锡林郭勒盟 期末期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1

18、(ab0)上存在点P，使得 PF1=4 PF2，其中F1,F2是椭圆C的两个焦点，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.35,1B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出 PF1,PF2，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P在椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上，F1,F2是椭圆C的两个焦点，令半焦距为c，由 PF1=4 PF2及 PF1+PF2=2a，得 PF1=8a5,PF2=2a5，显然 PF1-PF2|F1F2|，当且仅当点F1,F2,P共线，且F2在线段PF1上时取等号，因此2c8a5-2a5=6a5，即e=ca35，又

19、0e1，则35e0，b0)的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若MF22MF1的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF22MF1=MF1+2a2MF1，变形后由基本不等式得最小值，从而得 MF1=2a，再利用双曲线中的范围有 MF1c-a，由此结合可得离心率的范围【详解】F1，F2是左、右焦点，M为双曲线左支上的任意一点，2则 MF2-MF1=2a，即 MF2=MF1+2a，代入MF22MF1得MF22MF1=MF1+2a2MF1=MF1+4a2MF1+4a2MF14a2MF1+4a=8a，当且仅当 MF1

20、=2a时取等号，即 MF1=2a，又点M是双曲线左支上任意一点，所以 MF1c-a，即2ac-a，解得e3，所以双曲线离心率e的取值范围是 1,3.故选：C3(2323-2424高三上高三上 陕西安康陕西安康 阶段练习阶段练习)已知双曲线E：x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且MF1MF2.若过原点O与点M的直线的斜率不小于3，则双曲线E的离心率的取值范围为()A.1,2B.2,+C.1,5D.5,+【答案】B【分析】方法一：连接AF2，BF2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，

21、即可得到结果；方法二：连接AF2，BF2，可得 AF2=BF2，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出kOM，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接AF2，BF2，因为MF1MF2，所以 AF2=BF2.设 AF2=m，由双曲线的定义，得 AF1=m-2a，BF1=2a+m，所以 AB=4a，AM=BM=2a，MF1=m，所以 MF22=m2-4a2=4c2-m2，即m2=2c2+2a2.设BF1F2=，则MOF2=2，所以tan2=2tan1-tan23，解得13tan21.又tan=MF2MF1，所以13m2-4a2m20，3因为直线l与双

22、曲线E的两支相交，所以-ba1t0.由y1+y2=2b2tcb2t2-a2y1y2=b4b2t2-a2，得 AB=1+t2y1-y2=2ab21+t2b2t2-a2.结合 AB=4a，化简得t2=b2+2a2b2.由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1 ，两式相减，得x1-x2y1-y2=a2b2y1+y2x1+x2，即t=a2b2kOM，代入化简，得k2OM=b4+2a2b2a43，所以b2a2，即c22a2，所以e2.故选：B.4(20232023 亳州模拟亳州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y=x有交点，且双

23、曲线上存在不是顶点的P，使得PF2F1=3PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为【答案】(2，2)【解析】双曲线C与直线y=x有交点，则ba1，b2a2=c2-a2a21，解得e=ca2，双曲线上存在不是顶点的P，使得PF2F1=3PF1F2，则P点在双曲线右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性得|QF1|=|QF2|，所以QF1F2=QF2F1，所以PF2Q=PF2F1-QF2F1=2PF1F2=PQF2，所以|PQ|=|PF2|，所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a，由|QF1|OF1|得2ac，所以e=ca2，又在PF1F2中，PF1F2+PF2F1=4P

24、F1F2180，PF1F222，即e=ca2，综上，2 eb0)的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0，抛4物线C2：x2=2py(p0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若bc，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,22B.22,2 55C.55,2 55D.2 55,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sinF1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到F1MF2=的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆

25、与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在BF1F2中，由正弦定理，知2csinF1BF2=2R=5c2,sinF1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,F1MF2=，坐标原点为O，易知F1BF2c，则tan2=tanF1MO=cb1，022，024,02，即为锐角，45=sinF1BF245,12tan22.又024，12tan21,12cb1，则14c2b21，所以14c2a2-c21，则55ca22，即55e22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.

26、【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a,c，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)2(20242024高三高三 全国全国 专题练习专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()5A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答

27、案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，B1PA2是B2A2与F2B1 的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c，则B2A2=a,-b,F2B1=-c,-b，向量的夹角为钝角时，B2A2F2B1=-ac+b20，又b2=a2-c2,a2-ac-c20，两边除以a2得1-e-e25-12或e-5-12；又0ee5-12故选：D3(2323-2424高三下高三下 陕西安康陕西安康 阶段练习阶段练习)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，抛物线C2:x2=2py(p0)，

28、且椭圆C1与抛物线C2相交于A,B两点，若F1A F1B=3c2，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33 C.33,1D.33,1【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A,B两点关于y轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x0,y0，则B-x0,y0，因为F1(-c,0)，F2(c,0)，由F1A F1B=3c2，得：x0+c-x0+c+y20=3c2，即x20-y20=-2c2，点A,B在椭圆上，所以满足x20a2+y20b2=1，代入上式可得：y20-2c2a2+y2

29、0b2=1，即b2y20-2c2+a2y20=a2b2，即y20=a2b2+2b2c2a2+b2，因为点在椭圆上，所以y20=a2b2+2b2c2a2+b2b2，解得：2c2b2，即3c2a2，解得：00，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使sinPF1F2sinPF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2)B.(1,1+3)C.(1,1+2D.(1,1+3【答案】A【解析】若点P是双曲线的顶点，asinPF1F2=csinPF2F1无意义，故点P不是双曲线的顶点，在PF1F2中，由正弦定理得|PF1|sinPF2F1=|PF2|sinPF1F2，

30、又asinPF1F2=csinPF2F1，|PF1|PF2|=ca，即|PF1|=ca|PF2|，P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a，ca|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=2a2c-a，由双曲线的几何性质，知|PF2|c-a，2a2c-ac-a，即c2-2ac-a20，e2-2e-10，解得-2+1e1，双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)考点三利用几何图形的性质求离心率的范围考点三利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系1(20232023 无锡模拟无锡模拟)已知点P在双

31、曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d212|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线方程为y=bax，即bxay=0，设双曲线上的点P(x0，y0)，所以x20a2-y20b2=1，即b2x20-a2y20=a2b2，则P(x0，y0)到两条渐近线bxay=0的距离分别为d1=bx0+ay0a2+b2，d2=bx0-ay0a2+b2，所以d1d2=b2x20-a2y20a2+b2=a2b2a2+b2，又|OP|2=x20+y20=a2+a2b

32、2y20+y20=a2+a2b2+1y20，y0R R，所以|OP|2a2，因为d1d212|OP|2恒成立，7所以a2b2a2+b212a2，整理得b2a2，即b2a21，所以离心率e=ca=c2a2=1+b2a22，则C的离心率的最大值为2.2(20222022高三上高三上 河南河南 专题练习专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的焦距为2c，直线y=bax+b2与椭圆C交于点P,Q，若 PQ7c，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a,b,c的齐次不等式，

33、从而得解.【详解】联立方程y=bax+b2x2a2+y2b2=1，消去y，整理得8x2+4ax-3a2=0，则=4a2-48-3a2=112a20，设P,Q的横坐标分别为x1,x2，则x1+x2=-a2，x1x2=-3a28，所以 PQ=1+ba2 x1-x2=1+ba2x1+x22-4x1x2=a2+b2a2a24+3a22=72a2+b2，由 PQ7c，得72a2+b27c，整理得a2+b24c2，即a2+a2-c24c2，即c2a225，又0e1，则e=ca105，故105e0,b0的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点O为坐标原点，若sinHOFsinHFO，又直线y=2x与双曲线无公

34、共点，则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(2,5B.(2,+)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a,b,c之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知OFH中，OF=c，FH=b，OH=a，因为sinHOFsinHFO，由正弦定理可知ba，8即b2a2，所以c22a2，得e2又因为直线y=2x与双曲线无公共点，则ba2，即b2a，结合a2+b2=c2，所以c25a2，所以e5综上：2 1上，动点P在直线3x+4y-10=0上，若APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】

35、由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线 3x+4y-10=0 与圆 x2+y2=a2+1相离,从而可得出a的范围,进而求出离心率的范围.【详解】若从圆 x2+y2=a2+b2上一点引椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为 y=kxk2a2+b2，过圆上一点 p1x1,y1的切线为 y1=kx1 k2a2+b2，y1-kx12=k2a2+b2，即 x21-a2k2-2x1y1k+y21-b2=0.(1)又 p1x1y1在圆上,x21+y21=a2+b2，即x21-a2=-y21-b2.(i)当x21-a20时,(1)式

36、为k2-2x1y1x2-a2k-1=0,由根与系数关系知 k1k2=-1,故两条切线互相垂直.(ii)当 x21-a2=0 时,x=a,y=b,此时两条切线 显然互相重直.故圆 x2+y2=a2+b2上一点引椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y2=1 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2+1.若 APB 恒为锐角,则直线 3x+4y-10=0 与圆 x2+y2=a2+1 相离故109+16a2+1,又a1,1a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且PF1PF2，2PF1PF24，则双曲线C的离心率的取值范围为()A.

37、52,344 B.173,5 C.1,173 D.5,+9【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到 PF1PF2=2b2，设PF1PF2=m，结合双曲线的定义得到 PF1 PF2=4a2m(m-1)2，则b2a2=2m+1m-2，构造函数 f(m)=m+1m-2(2m4)，利用导数法求解.【详解】解：因为 PF1-PF2=2a，PF1PF2，PF12+PF22=PF1-PF22+2 PF1PF2=4a2+2 PF1PF2=4c2，又b2=c2-a2，PF1PF2=2b2设PF1PF2=m，则 PF1=m PF2，2m4，PF1-PF2=(m-1)PF2=2a，PF2=2am-1，则

38、 PF1=2amm-1，PF1PF2=4a2m(m-1)24a2m(m-1)2=2b2，则b2a2=2mm2-2m+1=2m+1m-2，设 f(m)=m+1m-2(2m4)，则 f(m)=1-1m20，f m在 2,4上单调递增，f(2)=12 f(m)f(4)=94，491f(m)2，89b2a24，c2a2=1+b2a2179,5，e=ca173,5 ，故选：B2(2323-2424高二上高二上 江苏徐州江苏徐州 期中期中)设F1，F2分别为椭圆C1:x2a21+y2b21=1 a1b10与双曲线C2:x2a22-y2b22=1 a20,b20的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF

39、2=60，若椭圆的离心率e122,32 ，则双曲线C2的离心率e2的取值范围为()A.52,62 B.62,+C.3 24,62 D.62,142 【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF1=a1+a2MF2=a1-a2.进而在MF1F2中，由余弦定理变形可得a1c2+3a2c2-4=0，1e22=134-1e12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF1+MF2=2a1MF1-MF2=2a2，所以MF1=a1+a2MF2=a1-a2.在MF1F2中，F1MF2=60，由余弦定理可得10cosF1MF2=MF12+MF22-F1F222

40、 MF1 MF2=a1+a22+a1-a22-4c22 a1+a2a1-a2=12，整理可得，a21+3a22-4c2=0，两边同时除以c2可得，a1c2+3a2c2-4=0.又e1=ca1，e2=ca2，所以有1e12+31e22-4=0，所以，1e22=134-1e12.因为e122,32 ，所以12e2134，所以431e212，所以，-2-1e21-43，24-1e2183，所以，231e22=134-1e1289.则631e22 23，故3 24e262.故选：C.3(20232023 贵州黔东南贵州黔东南 一模一模)设双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，M

41、0,3b，若直线l与E的右支交于A,B两点，且F为MAB的重心，则E的离心率的取值范围为()A.133,33,+B.2 137,33,+C.1,133D.1,2 137【答案】A【分析】设点D(x0,y0)为AB的中点，根据F为MAB的重心，求得D3c2,-3b2，由直线l与E的右支交于A,B两点，得到3c22a2-3b22b21，求得ca133，再由e=3 时，证得M,F,A,B四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0)，且M 0,3b，设点D(x0,y0)为AB的中点，因为F为MAB的重心，

42、所以MF=2FD，即(c,-3b)=2(x0-c,y0)，解得x0=3c2,y0=-3b2，即D3c2,-3b2，因为直线l与E的右支交于A,B两点，则满足3c22a2-3b22b21，整理得c2a2139，解得ca133或ca0,b0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+C.3,+D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B 0,b，则kAB=b-00+a=ba，又因

43、为直线l垂直平分线段AB，所以kl=-ab，因为直线l与C存在公共点，所以-ab-ba，即a2b2，则a2c2-a2，即22，解得e2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+.故选：B5(20232023 湖北湖北 模拟预测模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m 0,4，过点P 2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,52C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l，由已知易知F2

44、2,0，若P在双曲线内部(如P位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满12足题意；故P只能在双曲线的渐近线l上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l平行的直线符合要求；即124-mm4m-114e2=4mb0)上存在点P，使得 PF1=4 PF2，其中F1，F2是椭圆C的两个焦点，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案

45、】D【分析】由 PF1=4 PF2结合椭圆的定义可求出 PF1，再由a+c PF1a-c可求出离心率的范围.【详解】因为 PF1=4 PF2，因为 PF1+PF2=2a，所以4 PF2+PF2=2a，所以 PF2=2a5，PF1=8a5，因为a+c PF1a-c，所以a-c8a5a+c，所以5a-5c8a5a+5c，所以5-5e85+5e，解得e35，因为0e1，所以35e0,b0的左 右焦点分别为F1,F2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为6.过F2作直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若H,G分别为AF1F2与BF1F2的内心，则 HG的取值范围为()A.2 2,4B.3,2C.2 2,4

46、 4 3 33 3 D.2 2,4 63 13【答案】D【分析】求出双曲线的解析式，根据AF1F2与BF1F2的内心求出 F1E,F2E的关系式和点H,G的横坐标，设出直线AB的倾斜角，得到 HG的表达式，即可求出 HG的取值范围【详解】由题意，在C:x2a2-y2b2=1 a0,b0中，根据焦点到渐近线的距可得b=6，离心率为2，e=ca=1+b2a2=1+6a2=2，解得：a=2，c=b2+a2=2 2双曲线的方程为C:x22-y26=1.记AF1F2的内切圆在边AF1，AF2，F1F2上的切点分别为M,N,E，则H，E横坐标相等 AM=AN，F1M=F1E，F2N=F2E，由 AF1-A

47、F2=2a，即 AM+MF1-AN+NF2=2a，得 MF1-NF2=2a，即 F1E-F2E=2a，记H的横坐标为x0，则E x0,0，于是x0+c-c-x0=2a，得x0=a，同理内心G的横坐标也为a，故HGx轴.设直线AB的倾斜角为，则OF2G=2，HF2O=90-2(Q为坐标原点)，在HF2G中，HG=c-atan2+tan 90-2=c-asin2cos2+cos2sin2=c-a2sin=2 2sin，由于直线l与C的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60，60120，即32b0的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，PF1=PF2133，F1PF2=2

48、，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104 D.12,58【答案】C【分析】设 PF2=t，由椭圆定义和勾股定理得到e2=2+1+12，换元后得到2+1+12=21m-122+12，根据二次函数单调性求出12e258，得到离心率的取值范围.【详解】设F1-c,0，F2c,0，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=2a，可设 PF2=t，可得 PF1=t，即有+1t=2a，14由F1PF2=2，可得 PF12+PF22=4c2，即为 2+1t2=4c2，由2，可得e2=2+1+12，令m=+1，可得=m-1，即有2+1+12=m2-2m+2m2=21m-122+12

49、，由133，可得43m4，即141m34，则m=2时，取得最小值12；m=43或4时，取得最大值58.即有12e258，得22e104.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：求出 a,c，代入公式e=ca；根据条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题二、多选题9(20242024 河北邯郸河北邯郸 三模三模)已知双曲线C

50、:x2+6-y23-=1，则()A.的取值范围是(-6,3)B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-60，解得-63，故A正确；对于B，由A项可得-60,3-0，C的焦点只能在x轴上，故B错误；对于C，设C的半焦距为c(c0)，则c2=+6+3-=9，c=3，即焦距为2c=6，故C正确；对于D，离心率e=3+6，-63，0+6 3，e的取值范围是(1,+)，故D错误故选：AC.10(2323-2424高三上高三上 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 期末期末)已知椭圆C:x24+y2b2=1(0b2)的左