2024届高考3月模拟考压轴题汇编--解答篇含答案.pdf

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1、120242024届高考届高考3 3月模拟考压轴题汇编月模拟考压轴题汇编-解答题篇解答题篇1(20242024 广东韶关广东韶关 二模二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，长轴长为4，A,B是其左、右顶点，F是其右焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P x0,y0y00是椭圆C上一点，PFB的角平分线与直线AP交于点T求点T的轨迹方程；若TPF面积为94，求x022(20242024 广东广州广东广州 一模一模)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n(n3,nN*)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成

2、功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若n=3，用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；(2)记A团队第k(1kn-1,kN*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk，集合 kN*pk0)与直线l：x=1交于P、Q两点，直线AP、AQ分别与双曲线C交于M、N两点

3、试问：点A到直线MN的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时r的值；若不存在，说明理由44(20242024 广东广东 一模一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3n，其模可由向量模拓展为A=ni=1nj=1a2ij12(其中aij为矩阵中第i行第 j列的数，为求和符号)，记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵A22=a11a12a21a22=2435，其

4、矩阵模AF=ni=1nj=1a2ij12=22+42+32+52=3 6.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)nN N*，n3，矩阵Bnn=100002000030000n，求使BF3 5 的n的最小值.(2)nN N*，n3，矩阵Cnn=1coscoscoscoscos0-sin-sincos-sincos-sincos-sincos00sin2sin2cossin2cossin2cos0000(-1)n-2sinn-2(-1)n-2sinn-2cos00000(-1)n-1sinn-1求CF.(3)矩阵Dmn=lnn+2n+1000lnn+1n22lnn+1n2200l

5、n43n-1n-1ln43n-1n-1ln43n-1n-10ln32nnln32nnln32nnln32nn，证明：nN N*，n3，DFn3n+9.55(20242024 山东济南山东济南 一模一模)在空间直角坐标系O-xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0，其中A,B,C,DR R，A2+B2+C20，且n=A,B,C为该平面的法向量.已知集合P=x,y,zx1,y1,z1，Q=x,y,zx+y+z2，T=x,y,zx+y2,y+z2,z+x2.(1)设集合M=x,y,zz=0，记PM中所有点构成的图形的面积为S1，QM中所有点构成的图形的面积为S2，求S1和S2的

6、值；(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，PQ中所有点构成的几何体的体积为V2，求V1和V2的值：(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.求W的体积V3的值；求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.66(20242024 山东青岛山东青岛 一模一模)记集合S=an|无穷数列 an中存在有限项不为零，nN N*，对任意 anS，设变换 fan=a1+a2x+anxn-1+，xR R定义运算：若 an,bnS，则 an bnS，fan bn=fan fbn(1)若 an bn=mn，用a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4表示m4；(2)证明：an b

7、n cn=anbn cn；(3)若an=n+12+1n n+1,1n1000,n100，bn=12203-n,1n5000,n500，dn=an bn，证明：d2001277(20242024 山东聊城山东聊城 一模一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.88(20242024

8、山东烟台山东烟台 一模一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点M为圆A上一个定点，其初始位置为原点O,t为AM绕点A转过的角度(单位：弧度，t0).(1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y；(2)设点M的轨迹在点M0(x0,y0)(y00)处的切线存在，且倾斜角为，求证：1+cos2y0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为(x(t),y(t),t,，则该光滑曲线长度为F()-F()，其中函数F(t)满足F(t)=x(t)2+y(t)2.当点M自点O滚动到点E时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE的长度.99(20242024 山东济宁

9、山东济宁 一模一模)已知函数 f x=lnx-12ax2+12aR R(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若0 x12ln(n+1)10(20242024 山东淄博山东淄博 一模一模)在平面直角坐标系xOy中，点.F5,0，点P x,y是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆 D:x2+y2=1相切，记点 P 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设点A(1,0),M(0,t),N(0,4-t)(t2)，直线 AM，AN 分别与曲线C交于点S，T(S，T 异于 A)，过点A作AHST，垂足为 H，求|OH|的最大值.1011(20242024 山东泰安山东泰安 一模一模)已知各项均不为0的递

10、增数列 an的前n项和为Sn，且a1=2,a2=4,anan+1=2SnSn+1+Sn-1-2Sn(nN N*，且n2)(1)求数列1Sn 的前n项和Tn；(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”证明：对任意k5且kN N*，存在“G-数列”bn，使得bkakbk+1成立；当k6且kN N*时，不存在“G-数列”cn，使得cmamcm+1对任意正整数mk成立12(20242024 山东菏泽山东菏泽 一模一模)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法给定两个正整数m，n，函数 f(x)在x=0处的m,n阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+amxm1+b

11、1x+bnxn，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(0)=R(0)，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，f(4)(x)=f(x)，f(5)(x)=f(4)(x)，；f(n)(x)为 f(n-1)(x)的导数)已知 f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx(1)求实数a，b的值；(2)比较 f x与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+)上存在极值，求m的取值范围1113(20242024 湖北湖北 一模一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当

12、f x在x=0处的n nN N*阶导数都存在时，f x=f 0+f0 x+f02!x2+f303!x3+fn0n!xn+注：fx表示 f x的2阶导数，即为 fx的导数，fnxn3表示 f x的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cosx=1-x22!+x44!-x66!+当x0时，试比较cosx与1-x22的大小，并给出证明；(3)设nN*，证明：nk=11(n+k)tan1n+kn-14n+21214(20242024 湖北武汉湖北武汉 模拟预测模拟预测)已知函数 f x=ex-1x(1)求曲线y=f x在点 1,f

13、1处的切线方程；(2)证明：f x是其定义域上的增函数；(3)若 f xax，其中a0且a1，求实数a的值15(20242024 福建福建 模拟预测模拟预测)对于函数 f(x)，若实数x0满足 f(x0)=x0，则称x0为 f(x)的不动点.已知a0，且 f(x)=12lnx+ax2+1-a的不动点的集合为A.以minM和maxM分别表示集合M中的最小元素和最大元素.(1)若a=0，求A的元素个数及maxA；(2)当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B.(i)求B；(ii)若a=minB，数列an满足a1=2，an+1=f(an)an，集合Cn=nk=1ak-1,43 ，nN*.求证：nN*，

14、maxCn=43.1316(20242024 福建泉州福建泉州 模拟预测模拟预测)已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6(1)求E的方程；(2)若面积为3的ABC的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程：(3)已知M 1,0，过点T12,2的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足TP SQ=PS TQ，且 SM2+SF2=13？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由17(20242024 福建莆田福建莆田 二模二模)已知函数 f x=ex-mx,x 0,+(

15、1)证明：当me时，f x0；(2)若函数g x=f x-xlnx-1有两个零点x1,x2求m的取值范围；证明：x1+lnx2m-221418(20242024 福建漳州福建漳州 模拟预测模拟预测)“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为12，乙每天选择“共享单车”的概率为23，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为34，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为14，若前一天选择“

16、地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为13，如此往复(1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)求丙在3月份第n n=1,2,31天选择“共享单车”的概率Pn，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数1519(2323-2424高三上高三上 湖北湖北 期中期中)小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中X1次，第二组投篮2次，投

17、中X2次，求E X1-X2；(3)记P i表示小明投篮i i=2,3,次，恰有2次投中的概率，记X X=2,3,n表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数(当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投)，证明：E X2n+2i=2Pi.20(20242024 福建龙岩福建龙岩 一模一模)已知双曲线C:x2-y2=4,A是双曲线C的左顶点，直线l:x=my+t m1.(1)设直线l过定点B 1,0，且交双曲线C于E,F两点，求证：直线AE与AF的斜率之积为定值；(2)设直线l与双曲线C有唯一的公共点M.(i)已知直线l与双曲线C的两条渐近线相交于两点R,S，

18、求证：MR=MS；(ii)过点M且与l垂直的直线分别交x轴y轴于P x,0,Q 0,y两点，当点M运动时，求点N x,y的轨迹方程.1621(20242024 福建福州福建福州 模拟预测模拟预测)已知函数 f x=xlnx-x2-1(1)讨论 f x的单调性；(2)求证：f x0,q0且pq1，求证：f p+f qb0)的离心率为12，长轴长为4，A,B是其左、右顶点，F是其右焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P x0,y0y00是椭圆C上一点，PFB的角平分线与直线AP交于点T求点T的轨迹方程；若TPF面积为94，求x0【答案】(1)x24+y23=1(2)1x=4(y0)；2x0=1【

19、详解】(1)由题意知，e=ca=122a=4a2=b2+c2，解得a=2b=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)：由(1)知，A(-2,0),B(2,0),F(1,0),P(x0,y0)，设BFT=，则PFB=2，易知当x0=1时，P 1,32，kFT=1，此时AP:y=12x+1,FT:y=x-1，由y=12x+1y=x-1，解得x=4y=3，即T(4,3)；当x01时，kFP=tan2=y0 x0-1，sin2=y0PF=y0(x0-1)2+y20，设直线FT的斜率为k，则k=tan=1-cos2sin2=1sin2-1tan2=(x0-1)2+y20-(x0-1)y0=(

20、x0-1)2+3-34x20-(x0-1)y0=3(2-x0)2y0，所以直线FT方程为y=3(2-x0)2y0(x-1)，又直线AT方程为y=y0 x0+2(x+2)，由y=3(2-x0)2y0(x-1)y=y0 x0+2(x+2)，得3(2-x0)2y0(x-1)=y0 x0+2(x+2)，即3(4-x20)-2y02(2+x0)y0 x=3(4-x20)+4y02(2+x0)y0，解得x=3(4-x20)+4y03(4-x20)-2y0=12-3x20+4 3-34x2012-3x20-2 3-34x20=2(12-3x20)12(12-3x20)=4，将x=4代入直线AT方程，得y=6

21、y0 x0+2，即T 4,6y0 x0+2，又y00,-2x00，故点T的轨迹方程为x=4(y0)；2：由 AF=3，得STPF=STAF-SPAF=12AFy0-12AF6y0 x0+2=32y0-6y0 x0+2，又STPF=94，所以94=32y0-6y0 x0+2，得32=y0-6y0 x0+2，整理得y0=3(x0+2)8-2x0，又y0=3-34x20，所以3(x0+2)8-2x0=3-34x20，整理得x30-10 x20+35x0-26=0，即(x0-1)(x20-9x0+26)=0，由-2x02，解得x0=1.2(20242024 广东广州广东广州 一模一模)某校开展科普知识

22、团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n(n3,nN*)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若n=3，用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；(2)记A团队第k(1kn-1,

23、kN*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk，集合 kN*pk3128 中元素的最小值为k0，规定团队人数n=k0+1，求n.【答案】(1)6332；(2)7.【详解】(1)依题意，X的所有可能取值为1,2,3，P X=1=3412=38,P X=2=1438+341212=932，P X=3=1-38-936=1132，所以X的分布列为：X123P389321132数学期望E X=38+916+3332=6332.(2)令p=34,q=12，若前 k-1位玩家都没有通过第一关测试，其概率为(pk)1=(1-p)k-1pq=14k-13412=324k，若前 k-1位玩家中第i 1ik-1位玩家

24、才通过第一关测试，则前面i-1位玩家无人通过第一关测试，其概率为(1-p)i-1，第i位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为 p 1-q，第i+1位玩家到第k-1位玩家都没有通过第二关测试，其概率为(1-q)k-i-1，所以前面 k-1位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：3(pk)2=k-1i=1(1-p)i-1p(1-q)(1-q)k-i-1q=pq(1-q)k-1k-1i=11-p1-qi-1=3812k-1k-1i=112i-1=3812k-11 1-12k-11-12=32k+11-12k-1，因此第k位成员闯过第二关的概率 pk=(pk)1+(pk)2=3212k-

25、14k，由3212k-14k3128，得12k-14k0)与直线l：x=1交于P、Q两点，直线AP、AQ分别与双曲线C交于M、N两点试问：点A到直线MN的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时r的值；若不存在，说明理由【答案】(1)()2；()x2-y2=1(2)存在，点A到直线MN距离的最大值为2，5【详解】(1)()由题意可知双曲线y=12x的实轴在y=x上，联立y=12xy=x，解得x=22y=22 或x=-22y=-22，即双曲线y=12x的两顶点为22,22,-22,-22，故实轴长为2a=22+222+22+222=2；()将曲线C0绕原点顺时针转4，得到曲线C，曲线C的

26、方程为x2-y2=1；(2)方法一：设A-1,0，M x1,y1，N x2,y2，显然直线MN的斜率存在，设MN：y=kx+m，联立C：x2-y2=1得 1-k2x2-2kmx-m2+1=0，所以=4 m2+1-k20，x1+x2=2km1-k2，x1x2=-m2+11-k2，因为MA：y=y1x1+1x+1，令x=1，则yP=2y1x1+1，同理，yQ=2y2x2+1，依题意得yp+yQ=2，由得，-2k+2m=-m2+2km-k2，所以 m-km-k+2=0，即m=k或m=k-2，若m=k，则MN：y=k x+1过点A，不合题意；若m=k-2，则MN：y=k x+1-2所以，MN恒过G-1

27、,-2，4所以，dmax=AG=2当且仅当MNAG，即k=0时取得，此时MN方程为y=-2，结合x2-y2=1，解得N5,-2，yQ=-5-1，r=1-yQ=5，综上所述，点A到直线MN距离的最大值为2，此时圆E的半径为5；方法二：设A-1,0，P 1,1+r，Q 1,1-r，M x1,y1，N x2,y2，则AP：x=21+ry-1，AQ：x=21-ry-1，联立x2-y2-1=0，得41+r2-1y2-41+ry=0，yA=0为此方程的一根，另外一根为y1，则y1=4 1+r4-1+r2，代入AP方程得，x1=84-1+r2-1，同理可得y2=4 1-r4-1-r2，x2=84-1-r2-

28、1，即M84-1+r2-1,4 1+r4-1+r2，N84-1-r2-1,4 1-r4-1-r2，则kMN=y2-y1x2-x1=5-r24，所以直线MN的方程为y=5-r24x-84-1+r2+1+4(1+r)4-1+r2=5-r24x+1-2，所以直线MN过定点G-1,-2,所以dmax=AG=2当且仅当MNAG，即kMN=5-r24=0时取得，解得r=5,综上所述，点A到直线MN距离的最大值为2，此时圆E的半径为5；方法三：设A-1,0，P 1,1+r，Q 1,1-r，M x1,y1，N x2,y2，则kAP+kAQ=1+r2+1-r2=1，依题意，直线MN不过点A，可设MN：m x+1

29、+ny=1，曲线C的方程x2-y2=1改写为x+1-12-y2=1，即 x+12-2 x+1-y2=0，联立直线MN的方程得 x+12-2 x+1m x+1+ny-y2=0，所以 1-2mx+12-2n x+1y-y2=0，若x=-1，则y=0，代入直线MN方程，无解；故x-1，两边同时除以 x+12得yx+12+2nyx+1+2m-1=0，则=4n2-8m+40，y1x1+1+y2x2+1=kAP+kAQ=-2n=1得n=-12，在直线MN：m x+1-12y=1中，令x=-1，则y=-2，所以，MN恒过G-1,-2，5所以，dmax=AG=2，当且仅当MNAG，即kMN=0,m=0时取得，

30、此时=1-0+40，符合题意，且MN方程为y=-2，解得N5,-2，yQ=-5-1，r=1-yQ=5，综上所述，点A到直线MN距离的最大值为2，此时圆E的半径为54(20242024 广东广东 一模一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量a=(x,y)，其模定义为|a|=x2+y2.类似地，对于n行n列的矩阵Ann=a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3n，其模可由向量模拓展为A=ni=1nj=1a2ij12(其中aij为矩阵中第i行第 j列的数，为求和符号)，记作AF，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯

31、范数，例如对于矩阵A22=a11a12a21a22=2435，其矩阵模AF=ni=1nj=1a2ij12=22+42+32+52=3 6.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)nN N*，n3，矩阵Bnn=100002000030000n，求使BF3 5 的n的最小值.(2)nN N*，n3，矩阵Cnn=1coscoscoscoscos0-sin-sincos-sincos-sincos-sincos00sin2sin2cossin2cossin2cos0000(-1)n-2sinn-2(-1)n-2sinn-2cos00000(-1)n-1sinn-1求CF.(3)矩阵Dm

32、n=lnn+2n+1000lnn+1n22lnn+1n2200ln43n-1n-1ln43n-1n-1ln43n-1n-10ln32nnln32nnln32nnln32nn，证明：nN N*，n3，DFn3n+9.【答案】(1)10(2)CF=n(3)证明见解析【详解】(1)由题意得 B2F=ni=1nj=1b2ij=nk=1k=1+2+3+n-1+n=n n+12.若BF3 5，则n(n+1)245，即n2+n-900.因式分解得(n-9)(n+10)0.因为nN N*，所以n9.6所以使BF3 5 的n的最小值是10.(2)由题得第1对角线上的平方和为1+sin2+sin4+sin2n-2

33、=1-sin2n1-sin2，第2对角线上的平方和为cos2 1+sin2+sin2n-4=cos21-sin2n-21-sin2=1-sin2n-2，第k对角线上的平方和为cos2 1+sin2+sin2n-2k=cos21-sin2n-2k+21-sin2=1-sin2n-2k+2，第n对角线上的平方和为cos2，所以C2F=1-sin2n1-sin2+1-sin2n-2+1-sin2n-2k+2+1-sin4+cos2=1+sin2+sin4+sin2n-2+(n-2)-sin2n-2-sin2n-2k+2-sin4+cos2=1+(n-2)+sin2+cos2=1+(n-2)+1=n.

34、所以CF=n.(3)由题意知，证明DFn3n+9等价于证明ln232+ln243+ln2n+2n+1n3n+9，注意到左侧求和式nk=1ln2k+2k+1=ln232+ln243+ln2n+2n+1，将右侧含有n的表达式表示为求和式有nk=11k+2-1k+3=13-14+14-15+1n+1-1n+2+1n+2-1n+3=13-1n+3=n3n+9故只需证ln2n+2n+11(n+2)21(n+2)(n+3)=1n+2-1n+3,n1,nN N*成立，即证lnn+2n+11n+2,n1,nN N*成立，令x=1+1n+1，则需证lnx1-1x,x 1,32成立，记 f(x)=lnx+1x-1

35、,x 1,32，则 f(x)=1x-1x2=x-1x20在 1,32上恒成立，所以 f(x)在 1,32上单调递增，所以 f(x)f(1)=ln1+1-1=0，所以lnx1-1x在 1,32上恒成立，即lnn+2n+11n+2,n1,nN N*成立，所以原不等式成立.5(20242024 山东济南山东济南 一模一模)在空间直角坐标系O-xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz7+D=0，其中A,B,C,DR R，A2+B2+C20，且n=A,B,C为该平面的法向量.已知集合P=x,y,zx1,y1,z1，Q=x,y,zx+y+z2，T=x,y,zx+y2,y+z2,z+x2.(1

36、)设集合M=x,y,zz=0，记PM中所有点构成的图形的面积为S1，QM中所有点构成的图形的面积为S2，求S1和S2的值；(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，PQ中所有点构成的几何体的体积为V2，求V1和V2的值：(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.求W的体积V3的值；求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.【答案】(1)S1=4，S2=8；(2)V1=323，V2=203；(3)16；23，共有12个面，24条棱.【详解】(1)集合M=x,y,zz=0表示xOy平面上所有的点，P=x,y,zx1,y1,z1表示 1,1,1这八个顶点形成的正方体内所

37、有的点，而PM可以看成正方体在xOy平面上的截面内所有的点.发现它是边长为2的正方形，因此S1=4.对于Q=x,y,zx+y+z2，当x,y,z0时，x+y+z=2表示经过(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)的平面在第一象限的部分.由对称性可知Q表示(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)这六个顶点形成的正八面体内所有的点.而QM可以看成正八面体在xOy平面上的截面内所有的点.它是边长为2 2 的正方形，因此S2=8.(2)记集合Q，PQ中所有点构成的几何体的体积分别为V1，V2；考虑集合Q的子集Q=x,y,zx+y+z2,x0,y0,z0；即为三个坐标平面与x+y+z=2围成

38、的四面体.四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，此四面体的体积为VQ=1321222=43由对称性知，V1=8VQ=323考虑到P的子集P构成的几何体为棱长为1的正方体，即P=x,y,z0 x1,0y1,0z1，Q=x,y,zx+y+z2,x0,y0,z0，8显然PQ为两个几何体公共部分，记Q11,1,0，Q21,0,1，Q30,1,1，Q41,1,1.容易验证Q1，Q2，Q3在平面x+y+z=2上，同时也在P的底面上.则PQ为截去三棱锥Q4-Q1Q2Q3所剩下的部分.P的体积VP=111=1，三棱锥Q4-Q1Q2Q3的体积为VQ4-Q1Q2Q3=

39、13112 11=16.故PQ的体积VPQ=VP-VQ4-Q1Q2Q3=1-16=56.当由对称性知，V2=8VPQ=203.(3)如图所示，即为T所构成的图形.其中正方体ABCD-IJML即为集合P所构成的区域.E-ABCD构成了一个正四棱锥，其中E到面ABCD的距离为2，VE-ABCD=13122=43，V3=VP+6VE-ABCD=8+643=16.由题意面EBC方程为x+z-2=0，由题干定义知其法向量n1=1,0,1面ECD方程为y+z-2=0，由题干定义知其法向量n2=0,1,1故cosn1,n2=n1 n2 n1 n2=12.由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为

40、23.由图可知共有12个面，24条棱.6(20242024 山东青岛山东青岛 一模一模)记集合S=an|无穷数列 an中存在有限项不为零，nN N*，对任意 anS，设变换 fan=a1+a2x+anxn-1+，xR R定义运算：若 an,bnS，则 an bnS，fan bn=fan fbn(1)若 an bn=mn，用a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4表示m4；(2)证明：an bn cn=anbn cn；(3)若an=n+12+1n n+1,1n1000,n100，bn=12203-n,1n5000,n500，dn=an bn，证明：d20012【答案】(1)m4=a1b4+

41、a2b3+a3b2+a4b1；9(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】(1)因为 fan bn=fan fbn=a1+a2x+a3x2+a4x3b1+b2x+b3x2+b4x3=+a1b4+a2b3+a3b2+a4b1x3+，且 fmn=m1+m2x+m3x2+m4x3+，所以，由 an bn=mn可得m4x3=(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1)x3，所以m4=a1b4+a2b3+a3b2+a4b1.(2)因为 f(anbn)=f(an)f(bn)，所以 f(an)f(bn)f(cn)=f(anbn)f(cn)=f(anbn)cn)又因为 fan fbn fcn=fan fbn

42、fcn=f(an)f(bncn)=f(an(bncn)所以 f(anbn)fcn)=f(an(bn fcn)，所以an bn cn=anbn cn.(3)对于an,bnS，因为(a1+a2x+anxn-1+)(b1+b2x+bnxn-1+)=d1+d2x+dnxn-1+，所以dnxn-1=a1(bnxn-1)+akxk-1(bn+1-kxn-k)+an-1xn-2(b2x)+anxn-1b1，所以dn=a1bn+a2bn-1+akbn+1-k+an-1b2+anb1，所以 an bn=dn=nk=1akbn+1-k ，d200=200k=1akb201-k=100k=1akb201-k+200

43、k=101akb201-k=100k=1akb201-k=100k=1(k+1)2+1k(k+1)2k+2，所以d200=100k=112k+21+2k-1k+1，=100k=112k+2+100k=11k2k+1-1k+12k+2=12-102101210212.7(20242024 山东聊城山东聊城 一模一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.10(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)

44、求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.【答案】(1)经过2秒机器人可能位于的区域为P、Q1，Q，经过3秒机器人可能位于的区域为A，B1，B2，C1，C2，C3(2)16(3)当n为奇数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为0，当n为偶数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为13-1312n2【详解】(1)经过2秒机器人可能位于的区域为P、Q1，Q，经过3秒机器人可能位于的区域为A，B1，B2，C1，C2，C3；(2)若经过2秒机器人位于区域Q，则经过1秒时，机器人必定位于B2，P有三个相邻区域，故由PB2的概率为 p1=13，B2有两个相邻区域，故由B2Q的概率

45、为 p2=12，则经过2秒机器人位于区域Q的概率为 p1p2=1312=16；(3)机器人的运动路径为PAB1B2PQ1QAB1B2C1C2C3PQ1QAB1B2C1C2C3PQ1Q，设经过n秒机器人位于区域Q的概率Pn，则当n为奇数时，Pn=0，当n为偶数时，由(2)知，P2=16，由对称性可知，经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等，亦为Pn，故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn，若第n秒机器人位于区域P，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为16，若第n秒机器人位于区域Q1，则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为16，若第n秒机器人位于区域Q，则第n+2秒机器人位于区

46、域Q的概率为 1-216=23，则有Pn+2=23Pn+16Pn+161-2Pn，即Pn+2=16+12Pn，令Pn+2+=12Pn+，即Pn+2=12Pn-12，即有=-13，即有Pn+2-13=12Pn-13，则Pn+2-13Pn-13=12，故有Pn-13Pn-2-13=12、Pn-2-13Pn-4-13=12、P4-13P2-13=12，11故Pn-13Pn-2-13Pn-2-13Pn-4-13P4-13P2-13 P2-13=Pn-13=12n2-116-13=-1312n2，即Pn=13-1312n2，综上所述，当n为奇数时，经过n秒机器人位于区域Q的概率为0，当n为偶数时，经过n

47、秒机器人位于区域Q的概率为13-1312n2.8(20242024 山东烟台山东烟台 一模一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点M为圆A上一个定点，其初始位置为原点O,t为AM绕点A转过的角度(单位：弧度，t0).(1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y；(2)设点M的轨迹在点M0(x0,y0)(y00)处的切线存在，且倾斜角为，求证：1+cos2y0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为(x(t),y(t),t,，则该光滑曲线长度为F()-F()，其中函数F(t)满足F(t)=x(t)2+y(t)2.当点M自点O滚动到点E时，其轨

48、迹OE为一条光滑曲线，求OE的长度.【答案】(1)x=t-sint,y=1-cost；(2)证明见解析；(3)8.【详解】(1)依题意，y=1-cost,|OB|=BM=t，则x=|OB|-sint=t-sint，所以x=t-sint,y=1-cost.(2)由复合函数求导公式yt=yxxt及(1)得yx=yxxtxt=ytxt=sint1-cost，因此tan=sint1-cost，而1+cos2=2cos2=2cos2sin2+cos2=2tan2+1=2sint1-cost2+1=2(1-cost)22-2cost=1-cost=y0，所以1+cos2y0为定值1.(3)依题意，F(t)

49、=(1-cost)2+sin2t=2-2cost=2 sint2.由0t2，得sint20，则F(t)=2sint2，于是F(t)=-4cost2+c(c为常数)，则F(2)-F(0)=(-4cos+c)-(-4cos0+c)=8，所以OE的长度为8.9(20242024 山东济宁山东济宁 一模一模)已知函数 f x=lnx-12ax2+12aR R12(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若0 x12ln(n+1)【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)函数 f x的定义域为 0,+，fx=1x-ax=1-ax2x，若a0，fx0恒成立，f x在 0,+上单调递

50、增若a0，x 0,1a时，fx0，f x单调递增；x1a,+时，fx0时，f x在 0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减(2)证明：令F x=fx-f x2-f x1x2-x1，x0则F x=1x-ax-lnx2-12ax22-lnx1+12ax12x2-x1=1x-ax-lnx2-lnx1x2-x1+12a x2+x1因为a0，所以，F x=1x-ax-lnx2-lnx1x2-x1+12a x2+x1在区间 x1,x2上单调递减F x1=1x1-ax1-lnx2-lnx1x2-x1+12a x2+x1=1x1-lnx2-lnx1x2-x1+12a x2-x1=1x2-x1x2x1-1-l