黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题含答案.pdf

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1、第 1页，共 4 页哈尔滨市第六中学哈尔滨市第六中学 20212021 级高三下学期第二次模拟考试级高三下学期第二次模拟考试数学试题数学试题一、单选题一、单选题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合22,12,2Aaa，1,2,5Baa，且2AB ，则（）A5,2,18A B5,21，B C4a 或3a D7,5,3,2,32AB2.已知复数 z 满足2024(1 i)iz（i 为虚数单位），则z（）A12iB12iC1i2 D1i2 3.已知

2、nS为等差数列 na的前n项和，若255,2aa，则6S（）A9B21C39D514.2024 年 3 月 19 日，新加坡共和理工学院代表团一行 3 位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流。交流时嘉宾席位共有一排 8 个空座供 3 位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在 3 位嘉宾中间，则不同的坐法有（）A8 种B12 种C16 种D24 种5.已知正实数,x y满足121xy，则23xyx的最小值为（）A8B9C10D116.已知直三棱柱111ABCABC-的6个顶点都在球O的表面上，若1ABAC，14AA，23BAC，则

3、球O的表面积为（）A16B20C28D327.针对 2025 年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的56，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的23，若依据0.05的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可#QQABKQ4UogCIAIBAABhCUQViCkEQkBEACIoOxAAAIAAAyAFABAA=#第 2页，共 4 页能为（）A48B54C60D66附：22()n adbcabcdacbd.8.如图，,P M Q N是抛物线E：2

4、4yx上的四个点（,P M在x轴上方，,Q N在x轴下方），已知直线PQ与MN的斜率分别为22和 2，且直线PQ与MN相交于点G，则PGGQMGGN（）A125B512C12D2二、多选题二、多选题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9已知函数 2cos 203fxx的最小正周期为，则（）A2B,012是 f x图象的一个对称中心C f x在区间62,3上单调递增D

5、 f x在区间,03上的最小值为3210 已知等差数列 na的首项11a，公差6d，在 na中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 nb，下列说法正确的有（）A65nanB当2k 时，21nbnC当2k 时，19b不是数列 na中的项D若8b是数列 na中的项，则k的值可能为 60.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828#QQABKQ4UogCIAIBAABhCUQViCkEQkBEACIoOxAAAIAAAyAFABAA=#第 3页，共 4 页11.已知函数 1 ln1f xm xxx，下列说法正确的有（

6、）A当1=2m时，则 yf x在0,上单调递增B当1m 时，函数 yf x有唯一极值点C若函数 yf x只有两个不等于 1 的零点12xx，则必有12=1xxD若函数 yf x有三个零点，则102m三三 填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12已知不共线的三个单位向量a,b,c满足0abc，a与b的夹角为3，则实数.13设66016122xaa xaxL，则236aaa.14已知数列 na中，11a，且1122(2)nnnnnnaabt ，若存在正整数n，使得110nnnnabab成立，则实数t的取值范围为.四四 解答题解答题：本题共：本题

7、共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应马出文字说明解答应马出文字说明 证明过程或证明过程或演算演算步骤步骤.15.（13 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，已知2 cossin4,costanbBAbAcC.（1）求角 B 的大小；（2）已知直线BD为ABC的平分线，且与 AC 交于点D，若2 23，BD 求ABC的周长.16.（15 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BFDE，/BFDE，M是AE的中点（1）求证：/EC平面BDM；（2）若DE 平面ABCD，AB=4，BMCF，点P为线段CE上一点，且13CPCE ,求直线PM与平面AE

8、F所成角的正弦值#QQABKQ4UogCIAIBAABhCUQViCkEQkBEACIoOxAAAIAAAyAFABAA=#第 4页，共 4 页17.(15 分）已知直线l与椭圆2214xCy：交于11(,)P x y，22(,)Q xy两不同点，且OPQ的面积1OPQS,其中O为坐标原点（1）证明：2212xx和2212yy均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求|OMPQ的最大值18.(17 分）已知函数2()()xf xxxa e，()(1)g xaxa（1）求1a 时，f x在1x 处的切线方程；（2）讨论()f x在 R 上的最值情况；（3）()()f xg x恒成立，求实数 a 的

9、取值范围.19.（17 分）高三学生参加高考体检，一班共有 50 人，分成 A，B，C 三个小组，分别有15，15，20 人.（1）若体检一切正常每组需要二十分钟，若有异常所在组需延长十分钟，每位同学正常的概率为 p，求七十分钟内能完成班级检测的概率；（2）若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自 A 组且 B 组比 C 组结束的早的概率；（3）若每位同学的体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求 A 组同学全部结束所需时间的期望.#QQABKQ4UogCIAIBAABhCUQViCkEQkBEACIoOxAAAIAAAyAFABAA=#哈六中哈六中 2021 级高三数学二模答案级高

10、三数学二模答案一、DBBABBAA二、BC;ABD;ACD;三、12.1;13.57;14.1 1(,)2 415.（1）由已知，得sin2 coscostancAbBcAC，.根据正弦定理，得sinsin2sincossincostanCABBCAC，.2 分2sincossincoscossinBBACAC即2sincossinsinBBACB，.4 分由于0B，sin0B，所以1cos02B，B为锐角，所以3B.6 分（2）因为ABCABDBCDSSS，所以111sinsinsin222acABCBD cABDBD aCBD ，又AD平分BAC，所以126ABDCBDABC，所以1312

11、 2112 2122232232acca，则2 23()3acac，即2 2()3 3acac.8 分由余弦定理得2222cosbacacABC，即2216acac，.10 分所以222 21633acacacac，解得2 6ac（负值舍去），.12 分故ABC的周长为2 64.13 分16.（1）连接AC交BD于 N，连接MN，.2 分因为四边形ABCD是正方形，故 N 为AC中点，M 是AE的中点，在ACE中，有/MNEC，.4 分EC平面BDM，MN 平面BDM,所以/EC平面BDM.6 分（2）如图，建立空间直角坐标系，设DEa，4AB，则4,4,0,0,4,0,4,4,4,0,0,0

12、,0,BCFaAEa，又 M 是AE的中点，故2,0,2aM.8 分2,4,4,0,2aBMCFa ，因为BMCF，所以2802aBM CF ，解得4a，设,P x y z，13CPCE ，即11,4,0,4,433CPx yzCE ，#QQABKQ4UogCIAIBAABhCUQViCkEQkBEACIoOxAAAIAAAyAFABAA=#8 40,3 3P则822,33PM .10 分又0,4,4,4,0,4AFAE ，设平面AEF的一个法向量为111,nx y z，则nAFnAE ，即1111440440n AFyznAExz ，令11z，则111,1xy，即1,1,1n，.12 分设直

13、线PM与平面AEF所成角为，则163sincos,6443499n MPn MPnMP.14 分所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为4 7839.15 分17.【详解】（1）当直线l的斜率不存在时，P、Q两点关于x轴对称，所以12xx，12yy，11,P x y在椭圆上，2214xy，又111OPQxSy，由得12x，122y 此时22124xx，22121yy；.2 分当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为0ykxm m，将直线l的方程代入2214xy得222418410kxkmxm，2222226416 4116416160k mkmkm，122841kmxxk，21224141mxx

14、k，.4 分22222121224 4141411kmPQkxxx xkk，点 O 到直线l的距离为21mdk，222222222 414 41124111114OPQkmkmSkkmkmk，整理得222(421)0km，即224210km.6 分222222212121222222222416432224(41)4(41)4(41)(41)1(41)mk mkxkkxxkxxkkxk，2222221212121121444xxxxyy ，综上所述22124xx，22121yy，结论成立；.8 分（2）当直线l的斜率不存在时，由（1）知12OMx，122PQy，因此2OMPQ；.10 分当直线

15、l的斜率存在时，由（1）知1222xxkm，12122212yyxxkmm2222121222213422244xxyykOMmmm，222222216(43(12(4)11)kmPQkkm.12 分所以22222223331125228244443102POQMmmmm，.14 分52OMPQ当且仅当223382mm，即1m 时，等号成立#QQABKQ4UogCIAIBAABhCUQViCkEQkBEACIoOxAAAIAAAyAFABAA=#综上所述，OMPQ的最大值为52.15 分18【答案】（1）43yexe；.4 分（2）22()(+31)=0+31=0由得xfxe xxaxxa当5

16、=540,4即时aa，()0fx，()f x在 R 上单调增，无最值；当5=540,4即时aa，12354354()0,22由解得aafxxx x1(-,)x1x12(,)x x2x2(,)x()fx+0-0+()f x单调增极大值单调减极小值单调增22()(+)=0+=0由得xf xe xxaxxa当5=140,41即时4aa，()0f x，且()0+()+时，；时，xf xxf x，此时()f x无最值；当1=140,4即时aa，2()0f x，且()0+()+时，；时，xf xxf x，所以()f x有最小值，无最大值.综上可知，当14a 时，()f x有最小值，无最大值；当14a 时，

17、()f x无最值.10 分（3）1a .17 分19.【详解】（1）设 A=“A 组正常”；B=“B 组正常”；C=“C 组正常”；D=“七十分钟完成体检”151520151520151520303550()()2(1)(1)22P DP ABCABCABCABCp p ppp pp ppppp.4 分（2）设 E=“最后是 A 组同学，且 B 比 C 先完成”由古典概型得11413415492034505049!1520 34!15 20635!()50!35 5035C A C AP EA.10 分（3）设所需时间为 T，则 T 可取 30，32，2k+28,100(k=1,2,3,36)则14131550(228),1,2,3,36kCP TkkC143636363614151513131414151515151111505050502230()(228)(14)15kkkkkkkkCE TkkCCCCCCC3615151515151615151516141516175016161750511kkCCCCCCCCCC3615161451151515050303030 51765()168kkE TCCCC.17 分#QQABKQ4UogCIAIBAABhCUQViCkEQkBEACIoOxAAAIAAAyAFABAA=#