勾股定理建模教学案例.docx

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1、G B C ,7 F勾股定理的应用专题教学案例一、教材分析勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，它为我们提供了直角三角形三边的数量关系, 其逆定理又为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的依据，这些成果被广泛地应用于数 学和实际生活的各个方面。本节是在学生学完勾股定理的基础上的一节应用专题课，把勾股 定理的应用归纳为三类：1、已知两边求第三边；2、已知一边和另外两边的关系求边长；3、 已知有公共边（或相等边）的两个直角三角形求边长。通过这节课的学习，学生进一步理解 勾股定理的应用方法，同时也为学生对数学与生活之间的联系有一个更深层次的体会。二、教学目标1、能利用建模的思想构造出直角三角形解决问

2、题；2、已知两边利用勾股定理构造直角三角形求第三边；3、已知一边和另外两边的关系利用勾股定理列方程求边长；4、已知有公共边（或相等的边）的两个直角三角形求边长。三、教学重点准确的判断出题目属于三大类型中的哪一类并熟练地解决实际问题。四、教学难点根据实际情形准确的构造出（或找出）直角三角形，把实际问题抽象出相应的数学模型。五、教法启发引导，合作交流、构建模型。六、教学过程1、情境导入引用数学大师华罗庚的一句话“把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！ -华罗庚”，让学生感受勾股定理的我们实际生活中起着举足轻重的作用。设计意图：让学生感受勾股定理的重要性。2、教学新知（1）展示图片“斜拉桥”，

3、索塔、桥面与索拉组成许多直角三角形。提问：已知桥面以上索塔AB的高，你能计算AC、AD、AE、AF、AG的长吗.设计意图：从学生身边的熟悉的例子入手，让学生体会：已知一条边的长度是不能求出 其他边的长度的。从而顺利的引导出还需要再添加条件才行。（2）例1、上图，斜拉桥问题，已知桥面以上索塔AB=4米，BC=3米，求AC的长.设计意图：从最简单的出发，总结出勾股定理应用的第一种类型：已知两条边的长度求 其三条边，学生迅速的利用勾股定理解决了问题。（3）例2、上图，斜拉桥问题，已知桥面以上索塔AB=4米，AC比BC长2米，求AC 的长.设计意图：让学生总结出勾股定理应用的第二种类型：已知一条边的长

4、和另外两条边的 关系，利用勾股定理列方程来解决问题。顺便强调出“勾股定理”也是列方程的等量关系式。练习1、如图一直角三角形纸片，两直角边AC=3cm,/BC=4 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在.斜边AB上，且与AE重合，则CD等于多少？2、如图，一张长方形纸片宽AB=8 cm,长BC=10 cm 现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处（折痕为 AE）,求EC的长.设计意图：通过从三角形的折叠再到矩形的折叠，让学生学会两点：一是学会正确的找 到用来列方程的那个直角三角形；二是再次强调己知一边和另外两组边的关系通过利用勾股 定理列方程来解决。（4）例3、如图，铁路上A、B两点相距

5、25km, C、D为两村庄，DA_LAB 于 A, CB_LAB 于 B,已知 DA=15km, CB=10km, 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到 E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？分析:题目要求EA的长度，在哪个直角三角形里面？属于上面我们学过的两种类型吗？ 不是上面两种类型怎么办？有没有其他的等量关系？可以讨论一下。设计意图：让学生发现例3不属于例1和例2讲的两种类型，但发现有两个直角三角形， 并且他们有两条相等的边，可以利用相等的边作为等量关系式来列方程解决问题。从而归纳 出利用勾股定理解决问题的第三种类型：已知有相等边的两个直角三角形，利用相等的

6、边作 为等量关系式来列方程。练习1：有一名码头工人站在码头上拉动一艘小船，此时乡AC长20米，收取绳子5米时，小船向码头靠近了 7米，此时 船距码头几米？码头距水面有多高设计意图：总结出具有公共边的两个直角三角形也可以利用公共边作为等量关系式来列方程解决 问题。并补充第三种类型：已知有相等边（或公共边的）的两个直角三角形，利用相等的边 （或公共边）作为等量关系式来列方程。练习2、如图所示，等腰三角形ABC的底边BC为8cm,腰长为5cm,一动点P在底边上从点B向点C以lcm/s的速度移动，（1）求三角形ABC的面积。（2）请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？ 分析：第一问

7、请学生自己独立完成。第二问，有没有公共边的两 个直角三角形？如何构造直角三角形？（学生分组讨论）设计意图:通过作辅助线构造有公共边的两个直角三角形利用相等关系来列方程解决问 题。当然这里也涉及到分类讨论的思想：PA分别于BA和CA两个边垂直。七、教学反思本节课从索拉桥引入，通过提问学生,“已知一条边的长度能不能求另外两边的长度？ ” 感受已知一条边的长度还需要再添加条件。接着从再添加一条边的长度或再添加两外两组边 的关系来解决问题，最后再抛出具有相等边或公共边的两个直角三角形。从而归纳勾股定理 应用的三种类型：1、已知两条边的长度利用勾股定理求第三条边的长度；2、已知一条边的 长度和另外两条边

8、的关系利用勾股定理来列方程求出未知边；3、已知有公共边（或相等边） 的两个直角三角形利用公共边（或相等边）作为等量关系式来列方程。三种类型由易到难， 层层推进，例题与讲解相结合，使学生在轻松的学习氛围中利用用勾股定理解决问题，体现 数学与生活的紧密联系，帮助学生理解数学中的化归思想、分类讨论和建模思想。在教学中 注重以小组合作的形式设计，让学生人人参与，提高学习兴趣，通过教师的引导，尽可能多 的给学生提供积极思考，交流的机会，达到合作交流的目的，使不同的学生在交流合作的过 程中得到不同的发展。本节课下来学生基本掌握三种类型，并能较好的判断每种题目属于哪 种类型并能利用对应的方法解决问题。第三种类型的题目平时作业中接触的比较少，遇到比 较复杂的题型时学生反应不是太活跃，不能迅速的想到有公共边或相等边的两个三角形的模 型，比如：例3的练习第二题，需要在以后的作业中不断强化与拓展。