2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）二次函数综合题.docx

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1、二次函数综合题32（2023吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22xc经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m0），连接AP，AQ（1）求此抛物线的解析式（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值（3）当PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2当h2h1m 时，直接写出m的值【答案】（1）yx22x1；（2）m=12；（3）点P与点Q的纵坐标的差为1或8；（4）m=13 或 m=54【分析

2、】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点O的横坐标为2m，即可求解；（3）分AQx轴时，APx轴时，分别根据抛物线的对称性求得O的横坐标与P的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，如图所示，当P，O都在对称轴x1的左侧时，当P，O在对称轴两侧时，当点P在x1的右侧时，当P的纵坐标小于1时，分别求得h1，h2，根据h2h1m建立方程，解方程即可求解【解答】解：（1）抛物线 yx22xc经过点 A（0，1），c1，抛物线解析式为 yx22x1；（2）yx22x1（x1）22，顶点坐标为（1，2），点Q与此抛物线的顶点重合，点

3、Q的横坐标为2m，2m1，解得：m=12；（3）AQx轴时，点A，Q关于对称轴x1对称，xQ2m2，m1，则122112222211，P（1，2），Q（2，1），点P与点Q的纵坐标的差为211；当APx轴时，则A，P关于直线x1对称，xPm2，xQ2m4，则422417，P（2，1），Q（4，7）；点P与点Q的纵坐标的差为1（7）8；综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；（4）如图所示，当P，Q都在对称轴x1的左侧时， 则02m1，0m12，P（m，m22m1），Q（2m，4m4m1），1=yPyA=(m22m1)1=m22m， h2yQyA4m4m114m4m，h2h1m4m24mm22

4、mm，解得：m=13 或 m0（舍去）；当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则2m1，m1，即 12m1，则 1=m22mh2211，1m22mm 1，解得：m=352 （舍去）或 352 （舍）；当点P在 x1的右侧且在直线y0 方时，即1m2，h1211，2=2(4m24m1)=4m24m1，4m24m11m，解得：m=54 或m0（舍去）；当p在直线y1上或下方时，即m2， 1=2(m22m1)=m22m1，2=2(4m24m1)=4m24m1 4m24m1（m22m1）m，解得：m1（舍去）或 m0（舍去）， 综上所述，m=13 或 m=54【点评】本题考查了二次函数的性质，待

5、定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键33（2023赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”（1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是 M1，M2；（2）点G（2，2）是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 H（2，2），直线GH的解析式是y2x，y1y2时，x的取值范围是 x2或0x2；（3）如图

6、，已知点A，B是抛物线y=12x2x92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点连接AC，AB，BC，判断ABC的形状，并说明理由【答案】（1）M1，M2；（2）H（2，2），x，x2或0x2；（3）ABC是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；（2）把G（2，2）代入y1=kx求出解析式，再求于yx的交点即为H，最后根据函数的图象判断y1y2时，x的取值范围；（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC，AB，BC，即可判断ABC的形状【解答】解：（1）矩形ABCD的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C

7、（3，1），D（3，2），矩形ABCD的“梦之点”（x，y）满足1x3，1y2，点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“梦之点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“梦之点”，故答案为：M1，M2；（2）点G（2，2）是反比例函y1=kx图象上的一个“梦之点”，把G（2，2）代入y1=kx得k4，y1=4x，“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，“梦之点”都在yx的图象上，联立y1=4xy=x，解得x=2y=2或x=2y=2，H（2，2），直线GH的解析式为y2x，y1y2时，x的取值范围是x2或0x2，故答案为：H（2，2），x，x2或0x2；（3）ABC是直角三角形，理由：点A，B是抛

8、物线y=12x2x92上的“梦之点”，y=12x2x92y=x，解得x=3y=3或x=3y=3，A（3，3），B（3，3），y=12x2x92=12（x1）25，顶点C（1，5），AC2（31）2（35）28，AB2（33）2（33）273，BC2（31）2（35）280，BC2AC2AB2，ABC是直角三角形【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键34（2023内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx23x1交y轴于点A，直线y=13x2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D

9、，交x轴于点E（1）求点D，E，C的坐标；（2）F是线段OE上一点（OFEF），连接AF，DF，CF，且AF2EF221求证：DFC是直角三角形；DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tanPFK1时，求点P的坐标【答案】（1）C（3，1），D（0，2），E（6，0）（2）证明见解答；点P的坐标为（1，3）或（7，376）【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）设 F（m，0），然后利用勾股定理求解，m2，过点C作CGx 轴，垂足为G再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；根据题意得出tanPFK=13，设点P的坐标为

10、（t，t23t1），根据题意得13t3分两种情况分析：（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tanP1FK=13，13t2（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tanP2FK=13，2t3，求解即可【解答】（1）解：直线y=13x2交y轴于点D，交x轴于点E，当x0时，y2，D（0，2），当y0时，x6，E（6，0），直线y=13x2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），x23x1=13x2，3x210x30，解得x1=13，x2=3，点B在点C的左侧，点C的横坐标为3，当x3时，y1，C（3，1），答：C（3，1），D（0，2），E（6，0）（2）如图，证明：抛物线yx23x1交y

11、轴于点A，当x0时，y1，A（0，1），OA1，在RtAOF中，AOF90，AF2OA2OF2，设F（m，0），OFm，AF21m2，E（6，0），OE6，EFOEOF6m，AF2EF221，1m2（6m）221，m12，m24，OFEF，m2，OF2，F（2，0），D（0，2），OD2，ODOF，DOF是等腰直角三角形，OFD45，过点C作CGx轴于G，C（3，1），CG1，OG3，GFOGOF1，CGGF，CGF是等腰直角三角形，GFC45，DFC90，DFC是直角三角形解：FK平分DFC，DFC90，DEKCFK45，OFKOFDDFK90，FKy轴，3tanPFK1，tanPFK=13

12、，设点P的坐标为（t，t23t1），根据题意得13t3（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tanP1FK=13，13t2过点P1作P1Hx轴于H，P1HKF，HP1FP1FK，tanHP1F=13，HFOFOH，HF2t，在RtP1HF中，tanHP1F=HFP1H=13，P1H3HF，P1H=t23t1，t23t13（2t），t26t50，t11，t25（舍去），当t1时，t23t13，P1（1，3）（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tanP2FK=13，2t3，过点P2作P2Mx轴于M，P2MKF，MP2FP2FK，tanMP2F=MFP2M=13，P2M3MF，P2M=t23

13、t1，t23t13（t2），t3=7，t4=7（舍去），当t=7时，t23t1=376，P2(7，376)点P的坐标为（1，3）或（7，376）【点评】本题主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键二次函数综合题29（2023通辽）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax283xc(a0) 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PDx轴，垂足为D，连接PC如图，若点P在第三象限，且tanCPD2，求点P的坐标；直线PD交直线B

14、C于点E，当点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，请直接写出四边形PECE的周长【答案】（1）y=43x283x4（2）P（138，7716)354或854【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）设出点P坐标，作辅助线，求出PE，CE，根据tanCPD=CEPE=2，列出方程求出x的值即可；证明四边形PECE是菱形，得出PECE，分别表示出PE和CE，从而列出方程，即可求解【解答】解：（1）抛物线y=ax283xc(a0) 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），a83c=0c=4，解得a=43c=4，抛物线的解析式为y=43x283x4答：抛物线的解析式为y=43x28

15、3x4（2）设P（x，43x283x4），如图，过点C作CEPD于E，PECCED90，C（0，4），OC4，PDx轴，PDO90，DOC90，四边形DOCE是矩形，DEOC4，ODCEx，PE=PDDE=(43x283x4)4=43x283x，tanCPD=CEPE=2，x43x283x=2，x1=138，x2=0（舍去），43x283x4=7716，P（138，7716)设P（m，43m283m4），对于y=43x283x4，当y0时，43x283x4=0，解得x11，x23，B（3，0），OC4，BC=OB2OC2=5，当点P在第三象限时，如图，过点E作EFy轴于F，则四边形DEFO是矩

16、形，EFODm，点E与点E关于PC对称，ECPECP，CECE，PEy轴，EPCPCE，PECE，PECE，四边形PECE是菱形，EFOA，CEFCBO，CEBC=EFOB，CE5=m3，CE=53m，设直线BC的解析式为ykxb，3kb=0b=4，解得k=43b=4，直线BC的解析式为y=43x4，E(m，43m4)，PE=(43m283m4)(43m4)=43m2123m，CE=53，PE=CE，43m2123m=53m，解得m1=74，m2=0（舍去），CE=54(74)=3516，四边形PECE的周长C4CE43516=354，当点P在第二象限时，如图，同理可得43m2123m=53m

17、，解得m1=174，m2=0（舍去），CE=54(174)=8516，四边形PECE的周长C4CE48516=854，综上，四边形PECE的周长为354或854【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量二次函数综合题30（2023深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD

18、和抛物线AED构成，其中AB3m，BC4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系请回答下列问题：（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FLNR0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长【答案】（1）抛物线表达式为y=14x24（2）两个正方形装置的间距GM的长为12（3）BK的

19、长为9712【分析】（1）利用待定系数法即可求解（2）设出G，L，根据题意列出方程求解即可（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，根据题意求出直线FK的解析式，由BKOBOK求解即可【解答】解：（1）AB4，AD3，E（0，4），A（2，3），B（2，0），C（2，0），D（2，3），设抛物线表达式为yax2bxc，将A、D、E三点坐标代入表达式，得4a2bc=34a2bc=3c=4，解得a=14b=0c=4抛物线表达式为y=14x24答：抛物线表达式为y=14x24（2）设G（t，3），则L（t34，334），334=14(t34)24，解得t=14（负值舍去），GM2t=12答：两个正方形装置

20、的间距GM的长为12（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，设直线AC的解析式为ykxb，2kb=32kb=0，解得k=34b=32，直线AC的解析式为y=34x32，FKAC，设lFK：y=34xm，y=34xmy=14x24，得14x234x4m=0，=(34)24(14)(4m)=0，解得m=7316，直线FK的解析式为y=34x7316，令y0，得x=7312，BK=73122=9712答：BK的长为9712【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，三角函数的应用31（2023齐齐哈尔）综合与探究：如图，抛物线yx2bxc上的点A，C坐标分别为（0，2），（

21、4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM2，连接AC，CM（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当SPACSACM时，求点P的坐标；（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与COM相似，请直接写出点Q的坐标；（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A，点C的对应点为点C，在抛物线平移过程中，当 MAMC的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 （1112，8116），MAMC的最小值为 213【答案】（1）

22、M（0，2），yx272x2；（2）P（2，5）；（3）Q1(32，5)，Q2(12，0)；（4）（1112，8116），213【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且OM2可得点M的坐标为M（0，2），利用待定系数法可得抛物 线的解析式为 y=x272x2； （2）过点P作 PFx 轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为 y=12x2 设点P的横坐标为p（0p4），则 P(p，p272p2)，E(p，12p2)，故PEp24p（0p4），先求得SACM8，从而得到SPAC=12PEOC2p28p8，解出p的值，从而得出点P的坐标；（3）由COM90可知，要使点Q，N，C为

23、顶点的三角形与COM相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分CQN90和QCN90两种情况讨论，当CQN90，可推导B与点Q重合，CQNCOM，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；当QCN90时，可推导QCNCOM，即此时符合题意，再证明QDCCOM，从而得到QD2DC，再设点Q的横坐标为q，则Q（q，q272q2），D（q，0），从而得到q272q22（3q），解得q的值，从而得到点C的坐标，最后综合即可；（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点M，由平移的性质可知，MAMA，MCMC，MAMC的值最

24、小就是MAMC最小值，作出点C关于直线y2对称的对称点C，连接AC交直线y2于点M，连接MC，则此时MAMC取得最小值，即为AC的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而确定M的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点【解答】（1）解：点M在y轴负半轴且OM2，M（0，2），将A（0，2），C（4，0）代入yx2bxc，得c=2164bc=0，解得 b=72c=2，抛物线的解析式为y=x272x2；（2）解：过点P作PFx轴于点F，交线段AC于点E，设直线AC的解析式为ykxm（k0），将A（0，2），C（

25、4，0）代入ykxm，得m=24km=0，解得 k=12m=2，直线AC的解析式为y=12x2；设点P的横坐标为p（0p4），则 P(p，p272p2)，E(p，12p2)，PE=p272p2(12p2)=p24p(0p4)，SACM8，SPAC=12PEOC2p28p8，解得p1p22，P（2，5）；（3）在COM中，COM90，以点Q，N，C为顶点的三角形与COM相似，以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，又QDx轴，直线QD交直线CM于点N，CNQ90，即点N不与点O是对应点，故分为CQN90和QCN90两种情况讨论：当CQN90时，由于QNx轴，CQy轴，即CQ在x轴上，又点Q在

26、抛物线上，此时点B与点Q重合，作出图形如下：此时CQNCOM90，又QCNOCM，CQNCOM，即此时符合题意，令yx272x20，解得：x1=12，x23（舍去），点Q的坐标，也即点B的坐标是Q1（12，0）；当QCN90时，作图如下：QDx轴，COM90，QDOM，CNQOMC，CNQOMC，QCNCOM90，QCNCOM，即此时符合题意，QCNCOM，CQNOCM，即DQCOCM，DQCOCM，QDCCOM，QDCCOM，QDDC=COOM=42=2，QD2DC，设点Q的横坐标为q，则Q（q，q272q2），D（q，0），QDq272q2，CD3q，q272q22（3q），解得：q1=3

27、2，q23（舍去），点Q的坐标是Q2（32，5），综比所述：点Q的坐标是Q1(32，5)，Q2(12，0)；（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点M，作出图形如下：由平移的性质可知，MAMA，MCMC，MAMC的值最小就是MAMC最小值，显然点M在直线y2上运动，作出点C关于直线y2对称的对称点C，连接AC交直线y2于点M，连接MC，则此时MAMC取得最小值，即为AC的长度，点C关于直线y2对称的对称的点是点C，C（4，0），C（4，4），（MAMC）min（MAMC）minAC=(40)2(42)2=213，设直线AC“的解析式是：yk1x

28、b1，将点A（0，2），C（4，4）代入得：b1=24k1b1=4，解得：k1=32b1=2，直线AC的解析式是：y=32x2，令y=32x22，解得：x=83，M（83，2），平移的距离是m=83，又yq272q2（x74）28116，平移前的抛物线的顶点坐标是（74，8116），新抛物线的顶点坐标为（7483，8116）即（1112，8116），故答案是：（1112，8116），213【点评】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数 相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键，第二问

29、的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的 论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反 方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决32（2023湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2bx6（a0）与x轴交于点A（2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC（1）抛物线的解析式为 y=12x22x6；（直接写出结果）（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求CEB的度数；（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点

30、P当MNBC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由【答案】（1）y=12x22x6（2）CEB45（3）3，理由见解答【分析】（1）利用待定系数法即可求解（2）求出直线AC，BD的解析式，联立得出点E的坐标，根据题意，作辅助线，得出ACAB=ABAE，证明ABCAEB，根据相似三角形的性质即可求解（3）设点M，点N的坐标，求出直线BC、CN、BM的解析式，联立即可求解【解答】解：（1）抛物线yax2bx6（a0）与x轴交于点A（2，0），B（6，0），4a2b6=036a6b6=0，解得a=12b=2，抛物线解析式为y=12x22x6故答案为：y=12x22x6（2）A（2，0），C（0，6）

31、，设直线AC的解析式为yk1xb1，2k1b1=0b1=6，解得k1=3b1=6，直线AC的解析式为y3x6，同理，由点D（2，8），B（6，0），可得直线BD的解析式为y2x12，零3x62x12，解得x=65，点E的坐标为（65，485），由题意可得，OA2，OBOC6，AB8，AC=OA2OC2=2262=210，如图，过点E作EFx轴于点F，AE=AF2EF2=(265)2(485)2=16105，ACAB=104，ABAE=816105=104，ACAB=ABAE，BACEAB，ABCAEB，ABCAEB，OBOC，COB90，ABC45，AEB45，CEB45，答：CEB的度数为4

32、5（3）设点M的坐标为（m，12m22m6），点N的坐标为（n，12m22m6），直线MN与BC不重合，m0且m6，n0且n6，如图，由点B（6，0），点C（0，6），可得直线BC的解析式为yx6，MNBC，设直线MN的解析式为yxt，xt=12x23x6，12x23x6t=0mn6点N的坐标可以表示为（6m，12m24m），设直线CN的解析式为yk2xb2，0b2=6(6m)k2b2=12m24m，解得k2=12m1b2=6，直线CN的解析式为y=(12m1)x6，同上，可得直线BM的解析式为y=(12m1)x3m6，(12m1)x6=(12m1)x3m6，mx3m，x3，点P的横坐标为定值

33、3【点评】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键二次函数综合题14（2023东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上设B（t，0），当t2时，BC4（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离【答案】（1）y=14x252x；（2）当t1时，矩形

34、ABCD的周长有最大值，最大值为412；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标（2，4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得AEOBt，据此知AB102t，再由xt时BC=14t252t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据直线GH平分矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PQCH，根据矩形的性质得到点P是AC的中点，求得PQ=12OA，于是得到结论【解答】解：（1）设抛物线解

35、析式为yax（x10），当t2时，BC4，点C的坐标为（2，4），将点C坐标代入解析式得2a（210）4，解得：a=14，抛物线的函数表达式为y=14x252x；（2）由抛物线的对称性得AEOBt，AB102t，当xt时，BC=14t252t，矩形ABCD的周长2（ABBC）2（102t）（14t252t）=12t2t20=12（t1）2412，120，当t1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为412；（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，直线GH平分矩形ABCD的面积，直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，PQCH，四边形ABC

36、D是矩形，点P是AC的中点，PQ=12OA，抛物线平移的距离是4个单位长度所以抛物线向右平移的距离是4个单位【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点二次函数综合题25（2023聊城）如图，抛物线yax2+bx9与x轴交于点A（3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC点P是x轴上任意一点（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PEB

37、C，交AC于点E，作PDBC，垂足为点D当m为何值时，PED面积最大，并求出最大值【答案】（1）y=12x232x9；（2）Q（3，9）或（3+3172，9）或（33172，9）；（3）当m=32时，PDE的面积最大值为：818【分析】（1）可将抛物线的表达式设为交点式，代入点C坐标，进一步求得结果；（2）点Q的纵坐标为9，代入求得其横坐标，进而求得结果；（3）根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出PD和PE，进而表示出PDE的面积的函数表达式，进一步求得结果【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：ya（x+3）（x6），9a3（6），a=12，y=12（x+3）（x6）=12x232x9

38、；（2）如图1，抛物线的对称轴为：直线x=3+62=32，由对称性可得Q1（3，9），当y9时，12x232x9=9，x=33172，Q2（3+3172，9），Q3（33172，9），综上所述：Q（3，9）或（3+3172，9）或（33172，9）；（3）设PED的面积为S，由题意得：APm+3，BP6m，OB6，OC9，AB9BC=62+92=313，sinPBD=PDBP=OCBC，PD6m=9313，PD=3(6m)13，PEBC，APEABC，EPDPDB90，PEBC=APAB，PE313=m+39，PE=13(m+3)3，S=12PEPD=12（m+3）（6m）=12(m32)2+

39、818，当m=32时，S最大=818，当m=32时，PDE的面积最大值为：818【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数及其图象的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识26（2023福建）已知抛物线yax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P（1）求抛物线的函数表达式；（2）若C（4，3），D（m，34），且m2，求证：C，D，E三点共线；（3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C

40、，D，E三点共线，AMP，MEP，ABP中必存在面积为定值的三角形请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由【答案】（1）yx24x+3；（2）证明见解析部分；（3）ABP的面积为定值，其面积为2【分析】（1）利用待定系数法吗，构建方程组求解；（2）求出直线CE都是解析式，再判断出点D的坐标，可得结论；（3）取特殊位置，判断出AMP，MEP的面积不为定值，可得结论【解答】（1）解：因为抛物线 yax2+bx+3 经过点A（1，0），B（3，0），所以 a+b+3=09a+3b+3=0，解得a=1b=4，所以抛物线的函数表达式为yx24x+3；（2）证明：设直线CE对应的函数表达式为 ykx+n（k0），因为E为AB中点，所以E（2，0）又因为C（4，3），所以2k+n=04k+n=3，解得 k=32b=3，所以直线CE对应的函数表达式为 y=32x3因为点 D(m，34) 在抛物线上，所以 m24m+3=34解得，m=32 或 m=52又因为m2，所以 m=32，所以 D(32，3