2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）根与系数的关系.docx

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1、根与系数的关系15（2023鄂州）若实数a、b分别满足a23a20，b23b20，且ab，则1a1b=32【答案】32【分析】先根据题意可以把a、b看作是一元二次方程x23x20的两个实数根，利用根与系数的关系得到ab3，ab2，再根据1a1b=abab进行求解即可【解答】解：a、b分别满足a23a20，b23b20，可以a、b看作是一元二次方程x23x20的两个实数根，ab3，ab2，1a1b=abab=32故答案为：32【点评】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键16（2023通辽）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2bx

2、c0（a0）的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1x2=ba，x1x2=ca材料2：已知一元二次方程x2x10的两个实数根分别为m，n，求m2nmn2的值解：m，n是一元二次方程x2x10的两个实数根，mn1，mn1则 m2nmn2mn（mn）111根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程2x23x10的两个实数根为x1，x2，则x1x232，x1x212（2）类比：已知一元二次方程2x23x10 的两个实数根为m，n，求m2n2的值；（3）提升：已知实数s，t满足2s23s10，2t23t10 且st，求1s1t的值【答案】（1）32，12；（2

3、）134；（3）17【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1x2及x1x2的值；（2）利用根与系数的关系，可得出mn=32，mn=12，将其代入m2n2（mn）22mn中，即可求出结论；（3）由实数s、t满足2s23s10，2t23t10，且st，可得出s，t是一元二次方程2x23x10的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出st=32，st=12，结合（ts）2（ts）24st，可求出st的值，再将其代入1s1t=tsst中，即可求出结论【解答】解：（1）一元二次方程2x23x10的两个根为x1，x2，x1x2=32，x1x2=12；故答案为：32，12；（2）一元二次方程2x23x1

4、0的两根分别为m，n，mn=32，mn=12，m2n2（mn）22mn=941=134；（3）实数s，t满足2s23s10，2t23t10，且st，s，t是一元二次方程2x23x10的两个实数根，st=32，st=12，（ts）2（ts）24st（32）24（12）=174，ts172，1s1t=tsst=17212=17【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于ba，两根之积等于ca”是解题的关键根与系数的关系16（2023内蒙古）若x1，x2是一元二次方程x22x80的两个实数根，则x1x2x1x2=14【答案】14【分析】根据根与系数的关系得到x1x22，x1x28，然后利用整体

5、代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1x22，x1x28，则x1x2x1x2=28=14故答案为：14【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根时，x1x2=ba，x1x2=ca根与系数的关系19（2023泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x210x+m0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A3B23C14D214【考点】根与系数的关系；菱形的性质【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为

6、a、b，由题意，得a+b=10ab=22菱形的边长=(a2)2+(b2)2=12a2+b2 =12(a+b)22ab =1210044 =1256 =14故选：C【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键20（2023南充）已知关于x的一元二次方程x2（2m1）x3m2+m0（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=52，求m的值【考点】根与系数的关系；根的判别式【分析】（1）由判别式（4m1）20，可得答案；（2）根据根与系数的关系知x1+x

7、22m1，x1x23m2+m，由x2x1+x1x2=52进行变形直接代入得到5m27m+20，求解可得【解答】（1）证明：（2m1）241（3m2+m）4m24m+1+12m24m16m28m+1（4m1）20，方程总有实数根；（2）解：由题意知，x1+x22m1，x1x23m2+m，x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2x1x22=52，(2m1)23m2+m2=52，整理得5m27m+20，解得m1或m=25【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca也考查了根的判别式根与系数的关系2

8、3（2023眉山）已知方程x23x40的根为x1，x2，则（x1+2）（x2+2）的值为 6【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解【分析】直接利用根与系数的关系作答【解答】解：方程x23x40的根为x1，x2，x1+x23，x1x24，（x1+2）（x2+2）x1x2+2x1+2x2+44+23+46故答案为：6【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=ba，x1x2=ca根与系数的关系22（2023宜宾）若关于x的方程x22（m+1）x+m+40两根的倒数和为1，则m的值为 2【考点】根与系数的关系【分析】设关于x的

9、方程x22（m+1）x+m+40两根为，可得+2（m+1），m+4，根据两根的倒数和为1，有+=1，即2(m+1)m+4=1，得m2，再检验可得答案【解答】解：设关于x的方程x22（m+1）x+m+40两根为，+2（m+1），m+4，两根的倒数和为1，1+1=1，+=1，2(m+1)m+4=1，解得m2，经检验，m2是分式方程的解，当m2时，原方程为x26x+60，120，m2符合题意，故答案为：2【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根23（2023遂宁）若a、b是一元二次方程x23x+10的两个实数根，则代数

10、式a+bab的值为 2【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系得到a+b3，ab1，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：a、b是一元二次方程x23x+10的两个实数根，a+b3，ab1，a+bab312故答案为：2【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根，则x1+x2=ba，x1x2=ca根与系数的关系22（2023怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx20的一个根为1，则m的值为 1，另一个根为 2【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有【分析】将x1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结

11、合两根之积等于2，即可求出方程的另一个根【解答】解：将x1代入原方程可得1m20，解得：m1，方程的两根之积为ca=2，方程的另一个根为2（1）2故答案为：1，2【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于ba，两根之积等于ca”是解题的关键根与系数的关系18（2023天津）若x1，x2是方程x26x70的两个根，则（）Ax1+x26Bx1+x26Cx1x2=76Dx1x27【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可【解答】解：x1，x2是方程x26x70的两个根，x1+x26，x1x27，故选：A【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌

12、握：设x1，x2是一元二次方程yax2+bx+c（a0）的两个实数根，则x1+x2=ba，x1x2=ca根与系数的关系19（2023乐山）若关于x的一元二次方程x28x+m0两根为x1、x2，且x13x2，则m的值为（）A4B8C12D16【答案】C【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x28，再根据x13x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2m求得答案即可【解答】解：一元二次方程x28x+m0的两根为x1，x2，x1+x28，x13x2，解得x16，x22，mx1x26212故选：C【点评】本题考查了根与系数的关系二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q0的两根时，x

13、1+x2p，x1x2q，反过来可得p（x1+x2），qx1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数根与系数的关系19（2023岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2m+20有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1x22，则实数m3【答案】3【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x22m，x1x2m2m+2，结合x1+x2+x1x22，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论【解答】解：原方程有两个不相等的实数根，（2m）241（m2m+2

14、）0，m2x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2m+20的两个实数根，x1+x22m，x1x2m2m+2，x1+x2+x1x22，2m+m2m+22，解得：m10（不符合题意，舍去），m23，实数m的值为3故答案为：3【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1x22，找出关于m的一元二次方程是解题的关键20（2023随州）已知关于x的一元二次方程x23x+10的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2x1x2的值为 2【答案】2【分析】直接利用根于系数的关系x1+x2=ba=3，x1x2=ca=1，再代入计算即可求解【解答】解：关于x的一元

15、二次方程x23x+10的两个实数根分别为x1和x2，x1+x2=31=3，x1x2=11=1，x1+x2x1x2312故答案为：2【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca根与系数的关系17（2023宜昌）已知x1，x2是方程2x23x+10的两根，则代数式x1+x21+x1x2的值为 1【答案】1【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值【解答】解：x1，x2是方程2x23x+10的两根，x1+x2=32，x1x2=12

16、，x1+x21+x1x2=321+12=1故答案为：1【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键18（2023湖北）已知一元二次方程x23x+k0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x21，则实数k5【答案】5【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围最后综合情况，求得k的值【解答】解：一元二次方程x23x+k0的两个实数根为x1，x2，x1+x23，x1x2k，x1x2+2x1+2x21，k+231，解得k5，又方程有两个实数根，b24ac（3）24k0，解得k94，综合以上可知实数k取值范围是

17、k5故答案为：5【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法19（2023内江）已知a、b是方程x2+3x40的两根，则a2+4a+b32【答案】2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a40，a23a+4，再根据根与系数的关系得到a+b3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可【解答】解：a是方程x2+3x40的根，a2+3a40，a23a+4，a，b是方程x2+3x40的两根，a+b3，a2+4a+b33a+4+4a+b3a+b+13+12故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的

18、关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=ba，x1x2=ca，也考查了一元二次方程的解根与系数的关系3（2023湖北）已知关于x的一元二次方程x2（2m+1）x+m2+m0（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）20，求m的值【答案】（1）见解析；（2）m的值为2或1【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明b24ac0即可；（2）利用根与系数的关系得a+b2m+1，abm2+m，再将（2a+b）（a+2b）20变形可得2（a+b）2+ab20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可

19、【解答】（1）证明：（2m+1）24（m2+m）4m2+4m+14m24m10，无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：该方程的两个实数根为a，b，a+b=(2m+1)1=2m+1，ab=m2+m1=m2+m，（2a+b）（a+2b）2a2+4ab+ab+2b22（a2+2ab+b2）+ab2（a+b）2+ab，2（a+b）2+ab20，2（2m+1）2+m2+m20，整理得：m2+m20，解得：m12，m21，m的值为2或1【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的

20、根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca根与系数的关系22（2023菏泽）一元二次方程x2+3x10的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为（）A32B3C3D32【答案】C【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可【解答】解：一元二次方程x2+3x10的两根为x1，x2，x1+x23；x1x211x1+1x2=x1+x2x1x2 =31 3故选：C【点评】本题考查了一元二次方程ax

21、2+bx+c0（a0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca23（2023绥化）已知一元二次方程x2+x5x+6的两根为x1与x2，则1x1+1x2的值为 23【答案】23【分析】根据根与系数的关系得到x1+x24，x1x26，再把原式变形得到x1+x2x1x2，然后利用整体代入的方法进行计算【解答】解：一元二次方程x2+x5x+6整理得，x24x60根据题意得x1+x24，x1x26，所以原式=x1+x2x1x2=46=23故答案为：23【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：

22、若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=ba，x1x2=ca根与系数的关系19（2023达州）已知x1，x2是方程2x2+kx20的两个实数根，且（x12）（x22）10，则k的值 7【考点】根与系数的关系【分析】先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x12）（x22）10的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值【解答】解：x1，x2是方程2x2+kx20的两个实数根，x1+x2=k2，x1x21，（x12）（x22）x1x22（x1+x2）+412（k2）+410，解得k7故答案为：7【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=ba，x1x2=ca，也考查了代数式的变形能力