概率与统计下的新定义--2024年新高考数学突破新定义压轴题含答案.pdf

《概率与统计下的新定义--2024年新高考数学突破新定义压轴题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率与统计下的新定义--2024年新高考数学突破新定义压轴题含答案.pdf（62页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1概率与统计下的新定义概率与统计下的新定义【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：二项式定理新定义题型二：排列组合新定义题型三：概率新定义题型四：统计方法新定义题型五：信息熵问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题【典型例题】题型一：二项式定理新定义【典型例题】题型一：二项式定理新定义1(2024湖南衡阳二模)(2024湖南衡阳二模)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用所有大于1

2、的正整数n都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：n=pr11pr22 prkk(k为n的质因数个数，pi为质数，ri1,i=1,2,k)，例如：90=2325，对应k=3,p1=2,p2=3,p3=5,r1=1,r2=2,r3=1现对任意nN N*，定义莫比乌斯函数 n=1,n=1-1k,r1=r2=rk=10,存在ri1(1)求 78,375；(2)若正整数x,y互质，证明：xy=x y；(3)若n1且 n=1，记n的所有真因数(除了1和n以外的因数)依次为a1,a2,am，证明：a1+a2+am=-2概率与统计下的新定义-2024年新高考数学突破新定义压轴题22(20242024 安徽合

3、肥安徽合肥 一模一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意nN N*，定义“q-数”(n)q=1+q+qn-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n!q=(1)q(2)q(n)q,且 0!q=1.和“q-组合数”，即对任意kN N,nN N*,kn，nkq=n!qk!qn-k!q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k,nN N*,k+1n，nkq=n-1k-1q+qkn-1kq(3)证明：对于任意k,mN N,nN N*,k+1n，n+m+1k+1q-nk+1q=mi=0qn-k+in+ikq.3(20242024 高三高三 江苏苏州江苏苏州 阶段练习阶段练习)甲、

4、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为n，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量X的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制)；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制).(1)比较三种随机变量的数学期望大小；(参考数据arctan 5 0.3661,arctan520.2677,arctan2 2 0.3918)(2)现单独研究棱长n，记 x+1 x+12 x+1n(n2且nN*)，其展开式中含x项的系数为S

5、n，含x2项的系数为Tn.若TnSn=an2+bn+c，对n=2,3,4成立，求实数a，b，c的值；对中的实数a，b，c用数字归纳法证明：对任意n2且nN*，TnSn=an2+bn+c都成立.3题型二：排列组合新定义题型二：排列组合新定义4(20242024 高三高三 北京北京 阶段练习阶段练习)设n为正整数，集合A=t1,t2,tn,tk 0,1,k=1,2,n.对于集合A中的任意元素=x1,x2,xn和=y1,y2,yn，定义d,=x1-y1+x2-y2+xn-yn.(1)当n=4时，若=0,1,0,1,=1,1,0,1，直接写出所有使d,=2,d,=3同时成立的A的元素；(2)当n=3时

6、，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素,d,2.求集合B中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,d,2，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.45(20242024 高三高三 浙江浙江 开学考试开学考试)一般地，n元有序实数对 a1,a2,an称为n维向量.对于两个n维向量a=a1,a2,an,b=b1,b2,bn，定义：两点间距离d=b1-a12+b2-a22+bn-an2，利用n维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离dn，与哪个标准点的距离dn

7、最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值 a1管理能力分值 a2计算机能力分值 a3沟通能力分值 a4(分值aiN N*,i 1,2,3,4代表要求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：岗位业务能力分值a1管理能力分值a2计算机能力分值a3沟通能力分值a4合计分值会计(1)215412业务员(2)523515后勤(3)235313管理员(4)454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量=a1,a2,a3,a4的四个坐标.(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出

8、这组数据的第三四分位数；(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方d2n均小于20的应聘者才能被招录.(i)小刚测试报告上的四种能力分值为 0=4,3,2,5，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业1234的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；(ii)小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1234的推荐率 p分别为1443,1343,943,743pn=d2nd21+d22+d23+d24，试求小明的各项能力分值.5题型三：概率新定义题型三：概率新定义6(20242024 浙江浙江 一模一模)混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现

9、的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为p 0p1目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数 f X=NK+KX，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数(1)证明：E f X2 p N；(2)若0p10-4，10K20证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性7(20242024 辽宁辽宁 模拟预测模拟预测)条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经

10、被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为E X Y=y=ni=1xiP X=xiY=y=ni=1xiP X=xi,Y=yP Y=y，其中 x1,x2,xn为X的所有可能取值集合，P X=x,Y=y表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p(0p1)，射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数(1)求P=2,=5，P=5；(2)求E =5，E =nn268(20242024 福建漳州福建漳州 一模一模)在数字通信中，信号是由数字0和1组

11、成的序列，发送每个信号数字之间相互独立由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0(1)记发送信号变量为X，接收信号变量为Y，且满足P X=0=12，P Y=1 X=0=13，P Y=0 X=1=14，求P Y=0；(2)当发送信号0时，接收为0的概率为34，定义随机变量的“有效值”为H=-ni=1P=xilgP=xi(其中xi是的所有可能的取值，i=1,2,n)，发送信号“000”的接收信号为“y1y2y3”，记为y1，y2，y3三个数字之和，求的“有效值”(lg30.48，lg20.30)7题型四：统计方法新定义题型四：统计方法新定义9(20242024 全国全国 模拟预

12、测模拟预测)某校20名学生的数学成绩xi(i=1,2,20)和知识竞赛成绩yi(i=1,2,20)如下表：学生编号i12345678910数学成绩xi100999693908885838077知识竞赛成绩yi29016022020065709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩xi75747270686660503935知识竞赛成绩yi4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是x=75，知识竞赛成绩的平均值是y=90，并且20i=1xi-x2=6464，20i=1yi-y2=149450，20i=1xi-xyi-y=21650(1)

13、求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01)(2)设NN*，变量x和变量y的一组样本数据为xi,yi|i=1,2,N，其中xi(i=1,2,N)两两不相同，yi(i=1,2,N)两两不相同记xi在 xn|n=1,2,N中的排名是第Ri位，yi在 yn|n=1,2,N中的排名是第Si位，i=1,2,N定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”(记为)为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数(i)记di=Ri-Si，i=1,2,N证明：=1-6N N2-1Ni=1d2i(ii)用(i)的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”(精确到0.01)(3)比较(

14、1)和(2)(ii)的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势注：参考公式与参考数据 r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2；nk=1k2=n(n+1)(2n+1)6；6464149450 31000810(20242024 全国全国 模拟预测模拟预测)冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表 m40,mN N喜爱不喜爱男生80-m20+m女生60+m40-m(1)当m=0时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再

15、从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望(2)定义K2=Ai,j-Bi,j2Bi,j2i3,2 j3,i,jN N，其中Ai,j为列联表中第i行第 j列的实际数据，Bi,j为列联表中第i行与第 j列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如A2,2=80-m，B2,2=100200140200200=70基于小概率值的检验规则：首先提出零假设H0(变量X，Y相互独立)，然后计算K2的值，当K2x时，我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立根据K2的计算公式，求解

16、下面问题：当m=0时，依据小概率值=0.005的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？当m10时，依据小概率值=0.1的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？附：0.10.0250.005x2.7065.0247.879911(20242024 高三高三 北京北京 期末期末)在测试中，客观题难度的计算公式为Pi=RiN，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度Pi0.90.80.70.60

17、.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)定义统计量S=1n(P1-P1)2+(P2-P2)2+(Pn-Pn)2，其中Pi为第i题的实测难度，Pi为第i题的预估难度(i=1,2,n)规定：若S0(i=1,2,n),ni=1pi=1，定义X的信息熵H(X)=-ni=1pilog2pi.(1)当n=1时，计算H X；(2)若pi=1ni=1,2,n，判断并证明当n增

18、大时，H X的变化趋势；(3)若n=2m mN N*，随机变量Y所有可能的取值为1,2,m，且P Y=j=pj+p2m+1-jj=1,2,m，证明：H XH Y.1113(20242024 高三高三 河北河北 期末期末)在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵信源熵平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分

19、布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sh的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用log2n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德艾尔伍德香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻

20、.设随机变量所有取值为1,2,n，定义的信息熵H()=-ni=1Pilog2Pi，ni=1Pi=1，i=1,2,n.(1)若n=2，试探索的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值；(2)若P1=P2=12n-1，Pk+1=2Pk(k=2,3,n)，求此时的信息熵.1214(20242024 安徽合肥安徽合肥 模拟预测模拟预测)在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值x1,x2,xn的随机变量，分别记

21、作X和Y.条件概率P Y=xjX=xi,i,j=1,2,n，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为：H(X)=-ni=1pX=xilog2p X=xi.当n=2时，信道疑义度定义为H(YX)=-2i=12j=1pX=xi,Y=xjlog2p Y=xjX=xi=-P X=x1,Y=x1log2p Y=x1X=x1+P X=x1,Y=x2log2p Y=x2X=x1+P X=x2,Y=x1log2p Y=x1X=x2+P X=x2,Y=x2log2p Y=x2X=x2(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次

22、骰子向上的面出现的点数X的平均信息量 log231.59,log252.32,log272.81；(2)设某信道的输入变量X与输出变量Y均取值0，1.满足：P X=0=,p Y=1X=0=p Y=0X=1=p(01,0p100，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100(1)试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩(测试时间为90分钟，满分100分)中，甲、乙两个学生的成绩(填入下列表格内)；高三成绩第1次考试第2次考试第3次考试第4次考试第5次考试第6次考试甲乙(2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为t，规定：t 84,90，记为转换分为3分；t 91,95，记为转换分为4分；t 96,100，

23、记为转换分为5分现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的转换分之和为8分的概率142(20242024 全国全国 一模一模)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)=P(Xx)已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)-F(38)；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间已知随机

24、变量T(单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G t=0,tt20，证明：P(Tt1|Tt2)=P(Tt1-t2)；()若第n天元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的概率附：若随机变量Y服从正态分布N(,2)，则P(|Y-|)=0.6827，P(|Y-|2)=0.9545，P(|Y-|+，则认为指标I偏高；若I+0,-xi+.-1,xi-()简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由A=f x1+f x2+f x50；B=f x1f x1+1+f x2f x2+1+f x50f x50+12；()为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在()中的统计量中

25、选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策164(20242024 高二高二 四川遂宁四川遂宁 期末期末)2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图，已知评分在 80,100的居民有600人满意度评分40,6060,8080,9090,100满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；(2)定义满意度指数=(满意程度的平均分)/100，若0，yk0，k=1,2,n,nk=1xk=nk=1yk=1指标D(XY)可用来刻画

26、X和Y的相似程度，其定义为D(XY)=nk=1xklnxkyk设XB(n,p),0p1(1)若YB(n,q),0q1，求D(XY)；(2)若n=2,P(Y=k-1)=13,k=1,2,3，求D(XY)的最小值；(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(XY)0，并指出取等号的充要条件6(20242024 高三高三 河南河南 期末期末)某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：次序(i)123456甲(xi秒)142140139138141140乙(yi秒)138142137139143141(1)分别

27、计算甲、乙两人这六次训练的平均成绩x甲,x乙，偏优均差甲,乙；(2)若 xi-yi2 i=1,2,3,4,5,6，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有两次甲、乙水平相当的概率注：若数据x1,x2,xn中的最优数据为m，定义=1nx1-m2+x2-m2+xn-m2为偏优均差本题中的最优数据即最短时间187(20242024 全国全国 模拟预测模拟预测)某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了M市100位退休人员，统计数据如下表所示：患痴呆症不患痴呆症合计上网163248不上网341852合计5050100(1)依据=0.01的独立性检验，能

28、否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？(2)从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，B为“此人上网”，则A为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度Y1=P A1-P A，在事件B发生的条件下A的强度Y2=P A B1-P A B(i)证明：Y1Y2=P B AP B A；()利用抽样的样本数据，估计Y1Y2的值附：2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d0.0500.0100.001x3.8416.63510.828198(20242024 高三高三 山西朔州山西朔州 开学考试开学考试)某校20名学生的数学成绩xii=1,2,20和知识竞赛成绩

29、yii=1,2,20如下表：学生编号i12345678910数学成绩xi100999693908885838077知识竞赛成绩yi29016022020065709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩xi75747270686660503935知识竞赛成绩yi4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是x=75，知识竞赛成绩的平均值是y=90，并且20i=1xi-x2=6464，20i=1yi-y2=149450，20i=1xi-xyi-y=21650.(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01)；(2)设

30、NN*，变量x和变量y的一组样本数据为xi,yii=1,2,N，其中xii=1,2,N两两不相同，yii=1,2,N两两不相同.记xi在 xnn=1,2,N中的排名是第Ri位，yi在 ynn=1,2,N中的排名是第Si位，i=1,2,N.定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”(记为)为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数.(i)记di=Ri-Si，i=1,2,N.证明：=1-6N N2-1Ni=1d2i；(ii)用(i)的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.注：参考公式与参考数据.r=ni=1xi-

31、xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2；nk=1k2=n n+12n+16；6464149450 31000.209(20242024 高二高二 湖北湖北 阶段练习阶段练习)“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为L=1-YW，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分(一般为100分或150分)某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：试卷序号i12345考前预估难度系数Li0.70.640.

32、60.60.55测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：试卷序号i12345平均分/分10299939387(1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设Li为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量S=1nL1-Ii2+L2-L22+Ln-Ln2，若S0.001，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解

33、答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为23，明明选题时聪聪得分的概率为12，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率.2110(20242024 高三高三 四川成都四川成都 开学考试开学考试)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 a1,a2,a3表示，其中ai 0,11i3,iN而在n维空间中 n2,nN，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标 a1,a2,a3,an，其中ai 0,11in,iN现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 a1,a2,a3,an与 b1,b2,b3,

34、bn坐标差的绝对值之和，即为 a1-b1+a2-b2+a3-b3+an-bn回答下列问题：(1)求出n维“立方体”的顶点数；(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离求出X的分布列与期望；证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于0.25n2(已知对于正态分布XN,2，P随X变化关系可表示为,x=1 2e-x-222)2211(20242024 高二高二 福建莆田福建莆田 期末期末)为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据(单位：只)：发病没发病合计接种疫苗81624没接种疫苗17

35、926合计252550(1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？(2)从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，A表示此动物没发病，B表示此动物接种疫苗，定义事件A的优势R1=P A1-P A，在事件B发生的条件下A的优势R2=P A B1-P A B.()证明：R2R1=P BAP BA；()利用抽样的样本数据，给出P BA，P BA的估计值，并给出R2R1的估计值.附：2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.P 2x00.0500.0100.001x03.8416.63510.8282312(20242024 高一高一 山东济南山东济南 期

36、末期末)独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹帕斯卡和皮埃尔德费马，当时被定义为彼此不相关的事件19世纪初期，皮埃尔西蒙拉普拉斯在他的 概率的分析理论 中给出了相互独立事件的概率乘法公式对任意两个事件A与B，如果P AB=P AP B成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立(1)若事件A与事件B相互独立，证明：A与B相互独立；(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活

37、动中答对3道题的概率13(20242024 高二高二 浙江台州浙江台州 期末期末)袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数 f x图象上所有点的横坐标缩短到原来110倍，(纵坐标不变)；若摸出的是红球，将函数 f x图象上所有的点向下平移1个单位.函数 f x经过1次T变换后的函数记为 f1x，经过2次T变换后的函数记为 f2x，经过n次T变换后的函数记为 fnxnN*.现对函数 f x=lgx进行连续的T变换.(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求 f2x；(2)记X=f31，求随机变量X的分布列及数学期

38、望.2414(20242024 高三高三 上海宝山上海宝山 阶段练习阶段练习)已知n为正整数，对于给定的函数y=f x，定义一个n次多项式gnx如下:gnx=ni=0Cinfinxi1-xn-i(1)当 f x=1时，求gnx;(2)当 f x=x时，求gnx;(3)当 f x=x2时，求gnx.2515(20242024 高一高一 辽宁葫芦岛辽宁葫芦岛 期末期末)通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号传输技术有两种：一种是传统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号(以两个信道为例，如图1)另一种

39、是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术(以两个信道为例，如图2)传输规则如下，信号U2直接从信道2传输；信号U1在传输前先与U2“异或”运算得到信号X1，再从信道1传输若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端(注：定义“异或”运算：U1U2=X1,X1U1=U2,X1U2=U1,X1X1=U2)假设每个信道传输成功的概率均为p 0p1(1)对于传统传输技术，求信号U

40、1和U2中至少有一个传输成功的概率；(2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术；求接收端成功接收信号U1的概率；若接收端接收到信号U2才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率2616(20242024 高三高三 河南河南 阶段练习阶段练习)2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图，已知评分在80，100的居民有600人满意度评分40,60)60,80)80,90)90,100满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的

41、值及所调查的总人数;(2)定义满意度指数=(满意程度的平均分)/100，若0.8，则防疫工作需要进行大调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否带要进行大调整?(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(3)为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在40，50).50，60)中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在40，50)内的概率2717(20242024 全国全国 模拟预测模拟预测)受疫情网购的影响，实体店的经营难度增大.某商场在开业时采取打折促销直播带货增加商

42、品体验度等多种方式吸引顾客，力求提高商品销售量.在开业后的前5天，某商品第t天的日销售量y(单位：件)的统计数据如下表：时间t12345日销售量y/件10090958085(1)经统计分析，日销售量y与时间t之间具有线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程y=bt+a；(2)定义S=y1-y1+y2-y2+y5-y55，其中yi是实际日销售量，yi是预报日销售量，i=1，2，3，4，5.若S 0,5，则认为线性回归方程拟合效果优秀；若S 5,10，则认为线性回归方程拟合效果良好；若S10,+，则认为线性回归方程拟合效果很差.试判断第(1)问所求线性回归方程的拟合效果.参考公式：回

43、归直线y=a+bt的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=ni=1tiyi-ntyni=1t2i-nt2，a=y-bt.2818(20242024 高三高三 陕西西安陕西西安 阶段练习阶段练习)“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小“难度系数”的计算公式为L=1-YW，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分(一般为100分或150分)某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：试卷序号i12345考前预估难度系数Li0.70

44、.640.60.60.55测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：试卷序号i12345平均分/分10299939387(1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；(2)从抽取的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，求抽取的2套试卷中恰有1套学生的平均分超过96分的概率；(3)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设Li为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量S=1nL1-L12+L2-L22+Ln-Ln2，若S1(1)求 78,375；(2)若正整数x,y互质，证明：xy=x y；(3)若n1且 n=1，记n的所有真因数(除了1和n以外的因数)依次为

45、a1,a2,am，证明：a1+a2+am=-2【解析】(1)因为78=2313，易知k=3,p1=2,p2=3,p3=13,r1=1,r2=1,r3=1，所以 78=-13=-1；又375=353，因为5的指数31，所以 375=0；(2)若x=1或y=1，因为 1=1，所以 xy=x y；若x,y1，且存在质数 p，使得x或y的质因数分解中包含 prr1，则xy的质因数分解中一定也包含pr，所以 xy=x y=0，若x,y1，且不存在中的 p，可设x=p1p2 pk,y=q1q2qs，其中p1,p2 pk,q1,q2qs均为质数，则xy=p1p2 pkq1q2qs，因为x,y互质，所以 p1

46、,p2 pk,q1,q2qs互不相等，所以 xy=-1k+s=-1k-1s=x y，2综上可知 xy=x y(3)由于 n=1，所以可设n=p1p2 pk，k为偶数，n的所有因数，除了1之外都是 p1,p2,pk中的若干个数的乘积，从k个质数中任选i i=1,2,k个数的乘积一共有Cik种结果，所以 1+a1+a2+am+u n=1+p1+p2+pk+p1p2+p2p3+pk-1pk+n=1+C1k-1+C2k-12+Ck-1k-1k-1+-1k=1-1k=0，所以 a1+a2+am=0-1-n=-22(20242024 安徽合肥安徽合肥 一模一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设

47、q是非零实数，对任意nN N*，定义“q-数”(n)q=1+q+qn-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n!q=(1)q(2)q(n)q,且 0!q=1.和“q-组合数”，即对任意kN N,nN N*,kn，nkq=n!qk!qn-k!q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k,nN N*,k+1n，nkq=n-1k-1q+qkn-1kq(3)证明：对于任意k,mN N,nN N*,k+1n，n+m+1k+1q-nk+1q=mi=0qn-k+in+ikq.【解析】(1)由定义可知，532=5!23!22!2=(1)2(2)2(3)2(4)2(5)2(1)2(2)2(3)2(1)2(2)2=(

48、4)2(5)2(1)2(2)2=1+2+22+231+2+22+23+241 1+2=155.(2)因为nkq=n!qk!qn-k!q=(n)q n-1!qk!qn-k!q，n-1k-1q+qkn-1kq=n-1!qk-1!qn-k!q+qk n-1!qk!qn-k-1!q=n-1!qk!qn-k!q(k)q+qk(n-k)q.又(k)q+qk(n-k)q=1+q+qk-1+qk1+q+qn-k-1=1+q+qn-1=(n)q,所以nkq=n-1k-1q+qkn-1kq(3)由定义得：对任意kN,nN*,kn,nkq=nn-kq.结合(2)可知3nkq=nn-kq=n-1n-k-1q+qn-k

49、n-1n-kq=n-1kq+qn-kn-1k-1q即nkq=n-1kq+qn-kn-1k-1q，也即nkq-n-1kq=qn-kn-1k-1q.所以n+m+1k+1q-n+mk+1q=qn+m-kn+mkq，n+mk+1q-n+m-1k+1q=qn+m-1-kn+m-1kq，n+1k+1q-nk+1q=qn-knkq.上述m+1个等式两边分别相加得：n+m+1k+1q-nk+1q=mi=0qn-k+in+ikq.3(20242024 高三高三 江苏苏州江苏苏州 阶段练习阶段练习)甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为n，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机

50、选取3个点构成三角形，定义随机变量X的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制)；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制).(1)比较三种随机变量的数学期望大小；(参考数据arctan 5 0.3661,arctan520.2677,arctan2 2 0.3918)(2)现单独研究棱长n，记 x+1 x+12 x+1n(n2且nN*)，其展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.若TnSn=an2+bn+c，对n=2,3,4成立，求实数a，b，c的值；对中的实数a