概率与分布列归类---2024年高考数学大题突破含答案.pdf

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1、1概率与分布列归类概率与分布列归类目录目录【题型一】超几何分布型分布列【题型二】二项分布型分布列【题型三】正态分布型【题型四】分布列均值与方差【题型五】竞技比赛型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型七】递推数列型【题型八】三人传球递推数列型【题型九】导数计算型分布列最值【题型十】机器人跳棋模式求分布列【题型一】超几何分布型分布列【题型一】超几何分布型分布列总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m件，m=0,1,2,k，其中k为M与n的较小者，P=m=CmMCn-mN-MCnN，称服从参数为N,M,n的超几何分布，记作 H N,M,n，此时有公式E=nMN。一般地，假设

2、一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN，k=m，m+1，m+2，r.其中n，N，MN N*，MN，nN，m=max0,n-N+M，r=minn,M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_.E(X)=np.概率与分布列归类-2024年高考数学大题突破21(20232023 湖北湖北 模拟预测模拟预测)某区域中的物种P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P，统计其中A种的

3、数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,20).设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N，每一次试验均相互独立.(1)求X1的分布列；(2)记随机变量X=12020i=1Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj)，D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj)；()证明：E(X)=E(X1)，D(X)=120D(X1)；()该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,20).数据xi(i=1,2,20)的平均值x=40，方差s2=1.176.采用x和s2分别代替E(X)和D(X)，给出M

4、，N的估计值.2(2323 2424高三上高三上 江苏南通江苏南通 阶段练习阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.33(20242024 广东广州广东广州 二模二模)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其

5、分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据 xi,yi(i=1,2,20)，其中xi，和yi，分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量(单位：只)，并计算得20i=1xi-x2=80,20i=1yi-y2=9000,20i=1xi-xyi-y=800.(1)求样本 xi,yi(i=1,2,20)的相关系数(精确到0.01)，并推断这种野生动物的数量y(单位：只)和植物覆盖面积x(单位：公顷)的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的

6、样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2,2 1.4144【题型二】二项分布型分布列【题型二】二项分布型分布列若在一次实验中事件发生的概率为p 0p1，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率p=k=Cknpk1-pn-kk=0,1,2,n，称服从参数为n,p的二项分布，记作 B n,p，E=np，Di=npq.1(20242024 云南昆明云南昆明 一模一模)聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人

7、进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件X=k(k=0,1,8)的概率为P(X=k)，求当P(X=k)最大时k的值.52(20242024 全国全国 模拟预测模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”

8、的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求P B A，P B；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区(

9、可以重复)，分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望3(20232023 广东肇庆广东肇庆 二模二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.(1)当n=6时，求P X2(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E Y和方差D Y均存在，则对任意正实数a，有P Y-E Ya1-D Ya2.根据该不等式可以对事件“Y-E Y0，-+)。其图像如图13-7所示，有以下性质：曲线在x轴上方，并且关于直线x=对称

10、；曲线在x=处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；f x图像与x轴之间的面积为1.(2)E=，D=2，记作 N,2.当=0,=1时，服从标准正态分布，记作 N 0,1.(3)N,2，则在-,+，-2,+2，-3,+3上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的3原则。1从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间(单位：min)，数据如下表：路线一44586650344250386256路线二62566862586

11、161526159将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s21和s22.(1)求x,y,s21,s22.(2)假设路线一的全程时间X服从正态分布N 1,21，路线二的全程时间Y服从正态分布N 2,22，分别用x,y,s21,s22作为1,2,21,22的估计值.现有甲 乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过60min，乙要求路上时间不超过70min，为尽可能满足客人要求，司机送甲乙去机场应该分别选哪条路线？72据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个

12、包装胶带的生产线已知该包装胶带的质量以某项指标值作为衡量标准为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组：50,60，60,70，90,100，其统计结果及产品等级划分如下表所示：质量指标值k50,6060,7070,8070,8090,100产品等级A级B级C级D级废品频数16030040010040试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值)：(1)由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N,2，其中近似为样本平均数x，近似为样本的标准差s，并已

13、求得s10.03求P 50.54k80.63的值；(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(t(1,4)质量指标值k50,6060,7070,8070,8090,100利润y5t3t2tt-5et假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由参考数据：若随机变量ZN,2，则P-Z+=0.6827，P-2Z+2=0.9545，P-3Z+3=0.9973，ln132.6江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年高三上学期省模考模拟

14、二数学试题8【题型四】分布列均值与方差【题型四】分布列均值与方差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,YN，总体的平均数为Y，则称s2=1NNi=1Yi-Y2_为总体方差，s=s2_为总体标准差(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为Y1,Y2,Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,k)，则总体方差为s2=1Nki=1fiYi-Y2_(3)设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1,n2，两层的平均数分别为x1,x2，方差分别为s21，s22，则这个样本的方差为s2=n1ns12+x1-x2+n2ns

15、22+x2-x21(20212021 江苏泰州江苏泰州 模拟预测模拟预测)现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为p(0p1)(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含p的多项式表示)；(2)记该组动物需要注射次数X的数学期望为E(X)，求证：10E(X)10(

16、2-p)92(2222-2323高二下高二下 福建福州福建福州 期末期末)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n nN*份血液样本(数量足够大)，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k(kN N*且k2)份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为(k+1)次假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p(0p1，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.

17、13【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列比赛模式，要考虑：1.比赛几局？2.“谁赢了”；3.有没有平局4.赢了的必赢最后一局；5.比赛为啥结束？1(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)已知甲 乙 丙三人进行一个项目的比赛.在一轮比赛中，每两人之间均进行一场比赛，且每场比赛均无平局出现，三场比赛结束后，若有人赢得两场比赛，则该人获胜，比赛结束：若三人各赢得一场比赛，则三人继续进行下一轮比赛，以此类推，直至有人在其中一轮比赛中赢得两场比赛，该人获胜，比赛结束.已知甲胜乙 甲胜丙 乙胜丙的概率分别为12,13,23(1)求恰好在两轮比赛后比赛结束的概率；(2)设比赛

18、结束时，共进行了X轮比赛，且当进行了四轮比赛后仍无人赢得比赛则通过抽签决出胜负，不再进行第五轮比赛，求X的分布列及数学期望，142(2323 2424高三高三 海南海口海南海口 阶段练习阶段练习)甲、乙两队举行围棋擂台赛，比赛规则如下：两队各出三人参加比赛，并按1，2，3号排定先后出场次序，第一局由双方1号队员出场比赛.每场比赛后，获胜的队员留下继续比赛，告负的队员淘汰出局，由该队下一号队员上场比赛.当某队三名队员都被淘汰出局时比赛结束，有队员未被淘汰的一方获得擂台赛胜利.假设各局比赛相互独立，甲队第m号队员胜乙队第n号队员的概率为下表中第m行、第n列中的数据.第1列第2列第3列第1列0.50

19、.30.2第2列0.60.50.3第3列0.80.70.6(1)求甲队2号队员把乙队三名队员都淘汰出局的概率；(2)在第三局比赛中，甲队和乙队哪个队获胜的可能性更大?说明你的理由.3(2323 2424高三高三 江苏江苏 开学考试开学考试)第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为34；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为45和12；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为p和32-p，其中12p0，均有P XE X，马尔科夫不等

20、式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系证明：当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设X的分布列为P X=xi=pi,i=1,2,n,其中pi(0,+),xi0,+)(i=1,2,n),ni=1pi=1，则对任意 0，P(X )=xipixixipi=1xixipi1ni=1xipi=E(X)，其中符号xiAi表示对所有满足xi的指标i所对应的Ai求和的影响，与之前的n无关.1(2323 2424高三上高三上 湖北湖北 期中期中)小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二

21、次没有投中的概率；(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中X1次，第二组投篮2次，投中X2次，求E X1-X2；(3)记P i表示小明投篮i i=2,3,次，恰有2次投中的概率，记X X=2,3,n表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数(当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投)，证明：E X2n+2i=2Pi.162(20222022高三高三 全国全国 专题练习专题练习)投掷一枚硬币(正反等可能)，设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为Pn.(1)求P1，P2，P3和P4；(2)写出Pn的递推公式，并指出增减性.3(2020 2121高三高

22、三 福建福州福建福州 期中期中)一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为13，逆时针的概率为23，设蚂蚁经过n步回到A点的概率为pn.(1)求p1，p2；(2)设经过n步到达C点的概率为qn，求pn+qn的值；(3)求pn.17【题型八】三人传球递推数列型【题型八】三人传球递推数列型多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算1(2222 2323高三

23、高三 江苏江苏)第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传

24、下去，假设传出的球都能接住记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1=1,p2=0试证明：pn-13 为等比数列；设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小182(2222 2323高三山东潍坊高三山东潍坊 阶段练习阶段练习)学校篮球队30名同学按照1，2，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第m 1m28,mN N号同学得到球后传给m+1号同学的概率为23，传给m+2号同学的概率为13，直到传到第29号(投篮练习)或第30号(投篮练习)时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为13，30号同学投篮命中的概率为67，设传球传到第

25、n 2n30,nN N号的概率为Pn(1)求P4的值；(2)证明：Pn+1-Pn2n28是等比数列；(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小3(2222 2323高三 高三 广东广东 阶段练习阶段练习)足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?(2)

26、校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1=1(i)求P3(直接写出结果即可)；(ii)证明：数列 Pn-14 为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小19【题型九】导数计算型分布列最值【题型九】导数计算型分布列最值1(2222-2323高三浙江高三浙江)某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率

27、为12，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立(1)若P X=5=P X=95，求数学期望E X；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数 01的取值有关.团队A提出函数模型为p=ln 1+-232，团队B提出函数模型为p=121-e-.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量Xii=1,2,10表示第i组被感染的白鼠数，将随机变量Xii=1,2,10的实验结果xii=1,2,10绘制成频数分布图，如图所示.(i)试写出事件“X1=x1,X2=x2,X10=x10”发生的概率表达式(用p

28、表示，组合数不必计算)；()在统计学中，若参数 =0时使得概率 P X1=x1,X2=x2,X10=x10最大，称 0是 的最大似然估计.根据这一原理和团队 A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出 的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：ln320.4055.202(2222-2323高三高三 福建福州福建福州)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n nN*份血液样本(数量足够大)，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k(kN N*且k2)份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验

29、1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为(k+1)次假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p(0p1)(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(kN N*且k2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2若E 1=E 2，求P关于k的函数关系式p=f(k)；已知p=1-e-18，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：ln2=

30、0.693,ln25=3.219,ln26=3.258,ln27=3.296,ln28=3.332213(2020-2121高三 高三 重庆沙坪坝重庆沙坪坝 阶段练习阶段练习)某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立(1)若P(X=3)=P(X=97)，求数学期望E(X)；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数(012的概率向正方向跳一个单位，以 1-p的概率向反方向跳一个单位，记兔

31、子第n秒时的位置为xnn=0,1,(1)证明：E xn0；(2)记 f n是表达式12nCknk=0,1,n的最大值，证明：P xn01-p2p-1f n232某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩(单位：分)，得到如下所示的频率分布直方图：(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布N(，2)，经计算，(1)中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰

32、在64分到94分之间的概率；(若随机变量XN(，2)，则P(-X+)0.6827，P(-2X+2)0.9545，P(-3X+3)0.9973)(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为12，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格

33、(奖励0分)或第15格(奖励5分)时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第n(1n14)格的概率为Pn，试证明 Pn+1-Pn是等比数列，并求P15(获胜的概率)的值.1概率与分布列归类概率与分布列归类目录目录【题型一】超几何分布型分布列【题型二】二项分布型分布列【题型三】正态分布型【题型四】分布列均值与方差【题型五】竞技比赛型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型七】递推数列型【题型八】三人传球递推数列型【题型九】导数计算型分布列最值【题型十】机器人跳棋模式求分布列【题型一】【题型一】超几何分布型分布列超几何分布型分布列总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m

34、件，m=0,1,2,k，其中k为M与n的较小者，P=m=CmMCn-mN-MCnN，称服从参数为N,M,n的超几何分布，记作 H N,M,n，此时有公式E=nMN。一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN，k=m，m+1，m+2，r.其中n，N，MN N*，MN，nN，m=max0,n-N+M，r=minn,M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_.E(X)=np.21(20232023 湖北湖北 模拟预测模拟预测)某区域中的物种P

35、拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P，统计其中A种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,20).设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N，每一次试验均相互独立.(1)求X1的分布列；(2)记随机变量X=12020i=1Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj)，D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj)；()证明：E(X)=E(X1)，D(X)=120D(X1)；()该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi(i

36、=1,2,20).数据xi(i=1,2,20)的平均值x=40，方差s2=1.176.采用x和s2分别代替E(X)和D(X)，给出M，N的估计值.【答案】(1)分布列见解析(2)()证明见解析；()M=1980，N=2971【分析】(1)根据条件，判断Xi服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列即可求出结果；(2)()直接利用均值和方差的性质即可证明结果；()先利用第()中的结论，求出E(X)=100MM+N，D(X)=5MN(M+N-100)(M+N)2(M+N-1)，再结合条件建立方程组，从而求出结果.【详解】(1)依题意，Xi(i=1,2,20)均服从完全相同的超几何分布，故X1的分布列

37、为P(X1=k)=CkMC100-kNC100M+NkN,max 0,100-Nkmin 100,M.(2)()由题可知E(X)=E12020i=1Xi=120E20i=1Xi=12020i=1E(Xi)=12020E(X1)=E(X1)，D(X)=D12020i=1Xi=1202D20i=1Xi=120220i=1D(Xi)=120220D(X1)=120D(X1)，故E(X)=E(X1)，D(X)=120D(X1)()由()可知X的均值E(X)=E(X1)=100MM+N先计算X1的方差D(X1)=kk2P(X1=k)-E2(X1)=kk(k-1)CkMC100-kNC100M+N+kkC

38、kMC100-kNC100M+N-E2(X1)=M(M-1)kCk-2M-2C100-kNC100M+N+MkCk-1M-1C100-kNC100M+N-E2(X1)=M(M-1)C100M+NC100-2M+N-2+MC100M+NC100-1M+N-1-E2(X1)=100MN(M+N-100)(M+N)2(M+N-1)，所以D(X)=5MN(M+N-100)(M+N)2(M+N-1)依题意有100MM+N=40，5MN M+N-100M+N2M+N-1=1.176，解得M=1980.4，N=2970.6所以可以估计M=1980，N=29712(2323 2424高三上高三上 江苏南通江苏

39、南通 阶段练习阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不3透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.【答案】(1)1556(2)分布列见解析，数学期望为98【分析】(1)由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解；(2)由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，结合超

40、几何分布求分布列和期望.【详解】(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，所以P A=C23C11+C14C13C11C38=1556.(2)由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，则有：P X=0=C35C03C38=528,P X=1=C25C13C38=1528，P X=2=C15C23C38=1556,P X=3=C05C33C38=156，可得X的分布列为X0123P52815281556156所以E X=0528+11528+21556+3156=98.3(20242024 广东广州广东广州 二模二模

41、)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据 xi,yi(i=1,2,20)，其中xi，和yi，分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量(单位：只)，并计算得20i=1xi-x2=80,20i=1yi-y2=9000,20i=1xi-xyi-y=800.(1)求样本 xi,yi(i=1,2,20)的相关系数(精确到0.01)，并推断这种野生动物的数量y(单位：只)和植物覆盖面积x(单位：公顷)的相关程度；(2)已知2

42、0个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2,2 1.414【答案】(1)0.94，相关性较强(2)见解析4【分析】(1)根据相关系数的计算公式即可代入求解，(2)根据超几何概率的概率公式求解概率，即可得分布列.【详解】(1)样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数为r=20i=1xi-xyi-y20i=1xi-x220i=1yi-y2=800809000=2 230.94由于相关系数|r|0.75

43、,1，则相关性很强，|r|的值越大，相关性越强故r=0.94 0.75,1，故相关性越强(2)由题意得：X的可能取值为0，1，2，20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，所以P(X=0)=C212C220=66190=3395，P(X=1)=C18C112C220=96190=4895，P(X=2)=C28C220=28190=1495，所以X的分布列为：X012P339548951495【题型二】二项分布型分布列【题型二】二项分布型分布列若在一次实验中事件发生的概率为p 0p1，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率p=k=Ck

44、npk1-pn-kk=0,1,2,n，称服从参数为n,p的二项分布，记作 B n,p，E=np，Di=npq.1(20242024 云南昆明云南昆明 一模一模)聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被

45、采纳的个数为X，事件X=k(k=0,1,8)的概率为P(X=k)，求当P(X=k)最大时k的值.【答案】(1)0.75(2)65【分析】(1)根据全概率公式即可求解，(2)根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【详解】(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“一次应答被采纳”为事件B，由题意P(A)=0.1，P B A=0.8，P B A=0.3，则P(A)=1-P(A)=0.9，P B=P AB+P AB=P AP B A+P AP B A=0.90.8+0.10.3=0.75.(2)依题意，XB 8,34，P(X=k)=C Ck834k148-k，当P(X=k)最大时，有P

46、X=kP X=k+1,P X=kP X=k-1,即Ck834k148-kCk+1834k+1147-k,Ck834k148-kCk-1834k-1149-k,解得：234k274，kN N，故当P(X=k)最大时，k=6.2(20242024 全国全国 模拟预测模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号评选

47、活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求P B A，P B；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区(可以重复)，分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望【答案】(1)P(

48、BA)=49，P(B)=25(2)分布列见解析；期望为85【分析】(1)利用条件概率的公式P(BA)=P(AB)P(A)及全概率公式求解即可；(2)随机变量X符合二项分布的两个特点“独立性”和“重复性”，故可建立二项分布模型，按二项分布求解即可.【详解】(1)由古典概型的计算公式可得，P(A)=610=35，P(AB)=64109=415，由条件概率的计算公式得：P(BA)=P(AB)P(A)=41535=49，同理P(AB)=43109=215，则P(B)=P(AB)+P(AB)=415+215=25(2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且XB 4,25，6P(X=0)=C04

49、354250=81625；P(X=1)=C14353251=216625；P(X=2)=C24352252=216625；P(X=3)=C34351253=96625；P(X=4)=C44350254=16625所以X的分布列为X01234P816252166252166259662516625X的数学期望E(X)=425=853(20232023 广东肇庆广东肇庆 二模二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.(1)当n=6时，求P X2(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望

50、E Y和方差D Y均存在，则对任意正实数a，有P Y-E Ya1-D Ya2.根据该不等式可以对事件“Y-E Ya”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.【答案】(1)1132(2)1250【分析】(1)根据二项分布公式计算；(2)运用二项分布公式算出E X和D X，再根据题意求出 X-E X0，-P(X50)，且P(X50)=P(Y60)=12，所以P(X60)P(Y60)，因为P(X70)=P X1+21,P(Y70)P(Y68)=P Y2+22，又P X1+21=P Y2+22，所以P(X70)P(Y70)，所