《基本不等式与最值》课件.pptx

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1、基本不等式与最值ppt课件目录CONTENTS基本不等式的概念与性质基本不等式的证明方法基本不等式的应用最值的求解方法经典例题解析01基本不等式的概念与性质基本不等式是描述两个正数之间数量关系的数学公式。总结词基本不等式通常表示为两个正数的商的几何平均数不小于它们的算术平均数，即$fraca+b2 geq sqrtab$，其中$a,b 0$。详细描述基本不等式的定义基本不等式具有一些重要的性质，这些性质在解决最值问题时非常有用。基本不等式的性质包括对称性、传递性和加法性质等。这些性质可以帮助我们推导出一系列重要的不等式关系，从而解决最值问题。基本不等式的性质详细描述总结词总结词基本不等式可以用

2、几何图形来表示，帮助我们直观理解其含义。详细描述基本不等式的几何意义是，对于任意两个正数$a$和$b$，它们所对应的点与原点构成的线段的中点坐标不小于以$a$和$b$为邻边的正方形的中心坐标。这个几何意义可以通过图形直观地展示出来，有助于加深对基本不等式的理解。基本不等式的几何意义02基本不等式的证明方法利用平方差公式，通过代数运算证明基本不等式。平方差公式法因式分解法放缩法将原不等式进行因式分解，化简为更简单的形式，再利用代数性质证明。通过放缩技巧，将原不等式转化为更易于证明的形式。030201代数证明方法利用几何图形面积的性质，通过比较不同形状的面积证明基本不等式。面积法利用几何图形中的弦

3、图，通过比较不同弦图下的面积或周长证明基本不等式。弦图法利用几何图形中的切线性质，通过比较不同切线下的面积或周长证明基本不等式。切线法几何证明方法 函数证明方法导数法利用函数的导数性质，通过分析函数的单调性、极值等证明基本不等式。构造法通过构造新的函数，利用函数的性质证明基本不等式。参数法通过引入参数，将原不等式转化为参数函数的形式，再利用参数函数的性质证明基本不等式。03基本不等式的应用解决几何问题基本不等式在几何中有着广泛的应用，它可以用来解决与长度、面积、体积等有关的几何问题。例如，利用基本不等式可以推导出三角形、矩形、圆柱等几何形状的最优解。在几何中的应用简化代数运算基本不等式在代数运

4、算中也有着重要的应用，它可以用来简化复杂的代数表达式，从而更方便地求解代数问题。例如，利用基本不等式可以推导出一些代数恒等式，简化求解最值问题的过程。在代数中的应用优化资源配置基本不等式在实际生活中也有着广泛的应用，它可以用来优化资源配置，提高经济效益。例如，在商业活动中，利用基本不等式可以合理地分配资源，实现利润最大化；在工程设计中，利用基本不等式可以优化设计方案，提高工程效率。在实际生活中的应用04最值的求解方法平方平均与算术平均不等式对于非负实数$a_1,a_2,.,a_n$，有$sqrtfraca_12+a_22+.+a_n2n geq fraca_1+a_2+.+a_nn$，等号成立

5、当且仅当所有$a_i$相等。要点一要点二柯西不等式对于任意的正实数$a_1,a_2,.,a_n$和$b_1,b_2,.,b_n$，有$left(sum_i=1n a_i b_i right)2 leq left(sum_i=1n a_i2 right)left(sum_i=1n b_i2 right)$，等号成立当且仅当$a_i b_i$成比例。利用基本不等式求解最值导数描述了函数值随自变量变化的速率。在几何上，它表示函数图像在某一点的切线的斜率。导数定义与几何意义一阶导数大于零的区间内，函数是增函数；一阶导数小于零的区间内，函数是减函数。函数的极值点出现在一阶导数为零的地方。一阶导数与极值二

6、阶导数大于零的点为函数的凹区间，二阶导数小于零的点为函数的凸区间。二阶导数为零的点可能是拐点的位置。二阶导数与拐点利用导数求解最值函数的单调性如果函数在某个区间内单调递增，那么该函数在此区间内的最大值出现在区间的右端点；如果函数在某个区间内单调递减，那么该函数在此区间内的最小值出现在区间的左端点。函数的奇偶性如果一个函数是奇函数或偶函数，那么它的最值可能出现在对称轴上。例如，对于偶函数$f(x)=f(-x)$，其最大值和最小值分别出现在$x=0$和$x=pminfty$处。利用函数的性质求解最值05经典例题解析已知 a 0，b 0，求证：$fraca+b2 geq sqrtab$。代数例题1求

7、函数 y=x+$frac4x$(x 0)的最小值。代数例题2已知 a,b,c 0，且 a+b+c=1，求证：$sqrta+sqrtb+sqrtc leq sqrt3$。代数例题3代数例题解析几何例题2求圆柱体的体积的最大值，给定圆柱体的底面半径为 r，高为 h。几何例题1求长方形面积的最大值，给定长方形的周长为 P。几何例题3求椭圆的长轴和短轴之和的最大值，给定椭圆的焦距为 c。几何例题解析实际应用例题解析某公司计划用不超过1000元的预算购买桌椅，每张桌子180元，每把椅子100元，如何选择才能使得桌椅数量最多？实际应用例题1某工厂生产两种产品，已知生产第一种产品x吨时的成本为C(x)=4x2+10000元，售价为P(x)=13500 x/(x+250)，生产第二种产品y吨时的成本为C(y)=2.25y2元，售价为P(y)=2250y/(y+10)，问如何安排两种产品的产量才能获得最大利润？实际应用例题2