2024届皖江名校联盟高三4月联考数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司姓名姓名_ 座位号座位号_（在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效）数学数学本试卷共本试卷共 4 页，页，19 题。全卷满分题。全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。考生注意事项：考生注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写

2、在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1已知复

3、数2iiz+=，则z的共轭复数z=（）A12i+B12i C12i+D12i 2已知集合1,2,3A=，Bx xa=，()ABA=R，则实数a的取值范围是（）A1a B1a C3a D3a 3已知m是直线，是两个不同的平面，下列正确的命题是（）A若m，则m B若m，则m C若m，则m D若m，m，则 4已知数列 na的前n项和为21nSn=+，等比数列 nb满足12ba=，25ba=，若10mba=，则m=（）A10312+B10312 C9312+D9312 5已知2nxx的展开式二项式系数和为 256，则展开式中系数最大的项为（）A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项 6已

4、知函数()112xf xaa=（0a 且1a）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A10,2B1,12C()0,1D()1,+2024届皖江名校联盟高三4月联考数学试题含答案2024届皖江名校联盟高三4月联考数学试题含答案 学科网（北京）股份有限公司 7已知ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足()sinsinsin2sinaAcACB+=，若2b=，则ABC面积的最大值为（）A34 B36 C33 D32 8已知函数()()0yf xx=满足()()()1f xyf xfy=+，当1x 时，()1f x，则10 x，22，0b）左右焦点分别为1F，2F，124 7FF=。经过1F的

5、直线l与C的左右两支分别交于P，Q，且2PQF为等边三角形，则（）A双曲线C的方程为221820 xy=B12PFF的面积为8 3 C以1QF为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D以2QF为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 学科网（北京）股份有限公司 11已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P，Q分别为棱11C D，1BC上的动点，则（）A四面体PQAB的体积为定值 B四面体1PQAD的体积为定值 C四面体PQAC的体积最大值为13 D四面体PQAD的体积最大值为16 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12一组样本 1

6、0，16，20，12，35，14，30，24，40，43 的第 80 百分位数是_ 13已知抛物线2yax=的焦点F，直线l过F与抛物线交于A，B两点，若()4,4A，则直线l的方程为_，OAB的面积为_（O为坐标原点）14已知函数()()()1 sin1 cosf xxxxx=+，当0,时()f x的最大值与最小值的和为_ 四、解答题：共四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知函数()()21031 lnf xxxfx=+（1）求函数()f x在点()()1,1f处的切线方程；（2）求()f x的单调区

7、间和极值 16（15 分）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选 3 名同学进行乒乓球单打比赛，3 场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为 0。据统计可知甲班 3 名参赛学生的情况如下表：学生 A B C 获胜概率 0.4 0.6 0.8 获胜积分 6 5 4（1）求甲班至少获胜 2 场的概率；（2）记甲班获得积分为X，求X的分布列与数学期望 17（15 分）学科网（北京）股份有限公司 将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体 （1）求证：平面ACF 平面BDE；（2）点M为DF上一点，若二面角CAM

8、E的余弦值为13，求MAD 18（17 分）已知点P在椭圆C：22142xy+=的外部，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B（1）若点A坐标为()11,x y，求证：直线PA的方程为11142x xy y+=；若点P的坐标为()00,xy，求证：直线AB的方程为00142x xy y+=；（2）若点P在圆224xy+=上，求PAB面积的最大值 学科网（北京）股份有限公司 19（17 分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式xaxbyycxdy=+=+（其中a，b，c，d为常数），将点(),P x y变换为点(),P x y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由a，b

9、，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，表示 （1）在平面直角坐标系xOy中，将点()3,4P绕原点O按逆时针旋转3得到点P（到原点距离不变），求点P的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点(),P x y绕原点O按逆时针旋转角得到点(),P x y（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量(),OPx y=（称为行向量形式），也可以写成xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：xabxycdy=，则称xy是二阶矩阵abcd与向量xy的乘积，设A是一个二阶矩阵，m，n是平面上的任意两个向

10、量，求证：()A mnAmAn+=+学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D A C A C C BD BD BCD 1【解析】()2i2i i12iiz+=+=+，故12iz=，故选 D 2【解析】由已知()RABA=，所以RAB，又RBx xa=，所以3a，故选 C 3【解析】选 D 4【解析】由已知12a=，2n 时，121nnnaSSn=，123ba=，259ba=，10103b=，故10213m=，10312m+=，故选 A 5【解析】由已知2256n=，故8n=，故通项为()88 2188212kk

11、kkkkkkTC xCxx+=（0k=，1，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，由118822kkkkCC+，解得5k 所以选C 6【解析】问题等价于函数1xya=的图像与直线2ya=，有两个公共点，当01a时，由图象得021a，故102a时，由图象得22a，不符合条件所以选 A 7【解析】由已知得222acbac+=，故1cos2B=，所以23B=，由222acac+，得43ac，ABC面积的最大值为3343ac=，故选 C 8【解析】令1x=，1y=，则()11f=；令1x=，1y=，则()11f=令1y=，得()()fxf x=，故()()0yf xx=为偶函数任取1x，()

12、20,x+，12xx，则()()()212211xf xf xff xx=+，可得()()211fxf+，故211x+，解得10 x，且12x 若()122f=，则 学科网（北京）股份有限公司()()()()()1091024222110294fffff=+=，故选 C 9【解析】由图可知()f x的周期为：721212T=，又2T=，所以2=；由012f=，sin06+=，且22，()f x递增；当,4x时，()0fx，()f x递减；学科网（北京）股份有限公司()max244f xf=，()01f=，()()1f=+，()()min1f x=+故最大值与最小值的和为：2114 15【解析】

13、（1）由已知()()31210ffxxx=+，所以()()1831ff=+，解得()14f=，故()21012lnf xxxx=+，()19f=所求切线方程为：()941yx+=，即413yx=（2）由已知函数()21012lnf xxxx=+，定义域为()0,+()()225612210 xxfxxxx+=+=，由()0fx=，解得2x=或3x=随x的变化()fx和()f x的变化如下 x()0,2 2()2,3 3()3,+()fx 0 0 ()f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数()f x单调递增区间为()0,2和()3,+，单调递减区间为()2,3 当2x=时，(

14、)f x取得极大值()216 12ln2f=+，当3x=时，()f x取得极小值()321 12ln3f=+16【解析】（1）记A，B，C参赛获胜事件分别记为A，B，C表示，参赛失败分别记为A，B，C，所以()0.4P A=，()0.6P B=，()0.8P C=，()0.6P A=，()0.4P B=，()0.2P C=则甲班至少获胜 2 场事件记为M，则MABCABCABCABC=+()()()()()P MP ABCP ABCP ABCP ABC=+()()()()()()()()()()()()P A P B P CP A P B P CP A P B P CP A P B P C=+

15、学科网（北京）股份有限公司 0.4 0.6 0.80.4 0.6 0.20.4 0.4 0.80.6 0.6 0.80.656=+=所以甲班至少获胜 2 场的概率为 0.656（2）由已知X取值为 0，4，5，6，9，10，11，15，()()00.6 0.4 0.20.048P XP ABC=，()()40.6 0.4 0.80.192P XP ABC=，()()50.6 0.6 0.20.072P XP ABC=，()()60.4 0.4 0.20.032P XP ABC=，()()90.6 0.6 0.80.288P XP ABC=，()()100.4 0.4 0.80.128P XP

16、ABC=，()()110.4 0.6 0.20.048P XP ABC=，()()150.4 0.6 0.80.192P XP ABC=，所以()0 0.0484 0.1925 0.0726 0.0329 0.288 10 0.128 11 0.048 15 0.192E X=+0.7680.3600.1922.592 1.2800.5282.8808.600=+=17【解析】（1）由已知得平面ABCD 平面ABEF，AFAB，所以AF 平面ABCD 因为BD 平面ABCD，故BDAF 因为ABCD是正方形，所以BDAC AC，AF 平面ACF，ACAFA=，BD 平面ACF 又BD 平面BD

17、E，所以平面ACF 平面BDE。（2）又（1）知：AD，AF，AB两两垂直，以AD，AF，AB所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图。设MAD=，1AB=，则()0,0,0A，()cos,sin,0M，()1,0,1C，()0,1,1E，故()cos,sin,0AM=，()1,0,1AC=，()0,1,1AE=设平面AMC的法向量为()111,mx y z=，则0m AC=，0m AM=故11110cossin0 xzxy+=+=，取1sinx=，则1cosy=，1sinz=所以()sin,cos,sinm=设平面AME的法向量为()222,nxyz=，0n AE=，0n AM=学

18、科网（北京）股份有限公司 故22220cossin0yzxy+=+=，取2sinx=，则2cosy=，2cosz=所以()sin,cos,cosn=所以221 sincoscos,1 sin1 cosm n=+，由已知得221 sincos131 sin1 cos=+化简得：22sin 29sin270+=，解得sin21=或7sin22=（舍去）故45=，即45MAD=18【解析】（1）当PA斜率存在时，10y，设PA方程为：()11yyk xx=与C：22142xy+=联立整理得：()()()2221111124240kxk ykxxykx+=，由已知得：()()()22221111164

19、 12240kykxkykx+=化简得：()22211114220 xkx y ky+=因为221124xy+=，则2221111440y kx y kx+=，即()21120y kx+=，所以112xky=PA方程为：()11112xyyxxy=，即22111122x xy yxy+=+，故直线PA的方程为11142x xy y+=当PA斜率不存在时，10y=，直线PA的方程为2x=或2x=满足上式。所以直线PA的方程为11142x xy y+=由知，设B点坐标为()22,xy，则直线PB的方程为22142x xy y+=由点P的坐标为()00,xy，则1010142x xy y+=，202

20、0142x xy y+=，故直线AB的方程为00142x xy y+=（2）由（1）知直线AB的方程为00142x xy y+=，由题意知00y，学科网（北京）股份有限公司 与C：22142xy+=联立整理得：()22220000281680 xyxx xy+=因为22004xy+=，所以()()2222200000644216832xxyyy=+=因为()11,A x y，()22,B xy，则00122220008824xxxxxyy+=+，2012201684yxxy+=+所以()()()2224002000121222222000022 434332144444yyxyyABxxx x

21、yyyy+=+=+点P到直线AB的距离为：22200022200024443xyydxyy+=+所以PAB面积()3002021024ySAB dyy=+当002y+，故()0fy在(0,2单调递增，所以()0fy的最大值为()22f=由对称性可知PAB面积的最大值为2 19【解析】（1）可求得5OPOP=，设POx=，则3cos5=，4sin5=，设点(),P x y，3POx=+，故1335cos5cossin2 33222x=+=133 35sin5sincos23222y=+=+=+所以33 32 3,222P+（2）设OPOPr=，POx=，则cosxr=，sinyr=，P Ox=+

22、，故()coscoscossinsincossinxrrrxy=+=()sinsincoscos sinsincosyrrrxy=+=+=+学科网（北京）股份有限公司 所以坐标变换公式为cossinsincosxxyyxy=+该变换所对应的二阶矩阵为cossinsincos（3）设矩阵abAcd=，向量11xmy=，22xny=，则1212xxmnyy+=+()()()()()121212121212a xxb yyxxabA mnc xxd yyyycd+=+，对应变换公式为：()()()()12121212xa xxb yyyc xxd yy =+=+111111xaxbyabAmycxdycd+=+，222222xaxbyabAnycxdycd+=+所以()()()()1212112212121122a xxb yyaxbyaxbyAmAnc xxd yycxdycxdy+=+=+故对应变换公式同样为()()()()12121212xa xxb yyyc xxd yy =+=+所以()A mnAmAn+=+