安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月二模试题数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司姓名姓名_ 座位号座位号_（在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效）数数 学学本试卷共本试卷共 4 页，页，19 题。全卷满分题。全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。考生注意事项：分钟。考生注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均

2、无效。铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知

3、复数2iiz+=-，则z的共轭复数z=（）A12i+B1 2i-C12i-+D1 2i-2已知集合1,2,3A=，Bx xa=，ABA=RI，则实数a的取值范围是（）A1a B1a C3a D3a 3已知m是直线，a，b是两个不同的平面，下列正确的命题是（）A若mb，ab，则maB若mb，ab，则maC若mb，ab，则maD若mb，ma，则ab4已知数列 na的前n项和为21nSn=+，等比数列 nb满足12ba=，25ba=，若10mba=，则m=（）A10312+B10312-C9312+D9312-5已知2nxx-的展开式二项式系数和为 256，则展开式中系数最大的项为（）A第 5 项B

4、第 6 项C第 7 项D第 8 项6已知函数 112xf xaa-=-（0a 且1a）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A10,2B1,12C0,1D1,+安徽省皖江名校联盟2024届高三下学期4月二模试题 学科网（北京）股份有限公司7已知ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足sinsinsin2sinaAcACB+=，若2b=，则ABC面积的最大值为（）A34B36C33D328已知函数 0yf xx=满足 1f xyf xfy=+-，当1x 时，1f x，则10 x-，22ppj-，0b）左右焦点分别为1F，2F，124 7FF=。经过1F的直线l与C的左右两支分别交于P，Q，

5、且2PQF为等边三角形，则（）A双曲线C的方程为221820 xy-=B12PFF的面积为8 3C以1QF为直径的圆与以实轴为直径的圆相交D以2QF为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 学科网（北京）股份有限公司11已知正方体1111ABCDABC D-的棱长为 1，P，Q分别为棱11C D，1BC上的动点，则（）A四面体PQAB的体积为定值B四面体1PQAD的体积为定值C四面体PQAC的体积最大值为13D四面体PQAD的体积最大值为16三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12一组样本 10，16，20，12，35，14，30，24，

6、40，43 的第 80 百分位数是_13已知抛物线2yax=的焦点F，直线l过F与抛物线交于A，B两点，若4,4A，则直线l的方程为_，OAB的面积为_（O为坐标原点）14已知函数 1 sin1 cosf xxxxx=-+，当0,p时 f x的最大值与最小值的和为_四、解答题：共四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知函数 21031 lnf xxxfx=-+（1）求函数 f x在点 1,1f处的切线方程；（2）求 f x的单调区间和极值16（15 分）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选 3 名同学

7、进行乒乓球单打比赛，3 场比赛每人参加一场比赛，各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为 0。据统计可知甲班 3 名参赛学生的情况如下表：学生ABC获胜概率0.40.60.8获胜积分654（1）求甲班至少获胜 2 场的概率；（2）记甲班获得积分为X，求X的分布列与数学期望17（15 分）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体 学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面ACF 平面BDE；（2）点M为DF上一点，若二面角CAME-的余弦值为13，求MAD18（17 分）已知点P在椭圆C：22142xy+=的外部，过点P作C的两条

8、切线，切点分别为A，B（1）若点A坐标为11,x y，求证：直线PA的方程为11142x xy y+=；若点P的坐标为00,xy，求证：直线AB的方程为00142x xy y+=；（2）若点P在圆224xy+=上，求PAB面积的最大值19（17 分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式xaxbyycxdy=+=+（其中a，b，c，d为常数），将点,P x y变换为点,P x y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd唯一确定，我们将abcd称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，表示（1）在平面直角坐标系xOy中，将点3,4P绕

9、原点O按逆时针旋转3p得到点P（到原点距离不变），求点P的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点,P x y绕原点O按逆时针旋转a角得到点,P x y（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；学科网（北京）股份有限公司（3）向量,OPx y=uuu r（称为行向量形式），也可以写成xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：xabxycdy=，则称xy是二阶矩阵abcd与向量xy的乘积，设A是一个二阶矩阵，mr，nr是平面上的任意两个向量，求证：A mnAmAn+=+rrrr数学参考答案数学参考答案题号1234567891011答案DCDACACCBDBDB

10、CD1【解析】2i2i i12iiz+=-=+=-+，故1 2iz=-，故选 D2【解析】由已知RABA=I，所以RAB，又RBx xa=，所以3a，故选 C3【解析】选 D4【解析】由已知12a=，2n 时，121nnnaSSn-=-=-，123ba=，259ba=，10103b=，故10213m-=，10312m+=，故选 A5【解析】由已知2256n=，故8n=，故通项为88 2188212kkkkkkkkTC xCxx-+=-=-（0k=，1，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，由118822kkkkCC+，解得5k 所以选C6【解析】问题等价于函数1xya=-的图像与直线

11、2ya=，有两个公共点，当01a时，由图象得021a，故102a时，由图象得22a，不符合条件所以选 A7【解析】由已知得222acbac+=-，故1cos2B=-，所以23Bp=，由222acac+，得43ac，ABC面积的最大值为3343ac=，故选 C8【解析】令1x=，1y=-，则 11f=；令1x=-，1y=-，则11f-=令1y=-，得 学科网（北京）股份有限公司 fxf x-=，故 0yf xx=为偶函数任取1x，20,x+，12xx，则212211xf xf xff xx=+-，可得 211fxf+，故211x+，解得10 x-，且12x -若 122f=，则 10910242

12、22110294fffff=+-=-=-，故选 C9【解析】由图可知 f x的周期为：721212Tppp=-=，又2Tpw=，所以2w=；由012fp=，sin06pj+=，且22ppj-，f x递增；当,4xpp时，0fx，f x递减；max244f xfpp=，01f=，1fpp=-+，min1f xp=-+故最大值与最小值的和为：2114p-15【解析】（1）由已知 31210ffxxx=-+，所以 1831ff=-+，解得 14f=，故 21012lnf xxxx=-+，19f=-所求切线方程为：941yx+=-，即413yx=-（2）由已知函数 21012lnf xxxx=-+，定

13、义域为0,+225612210 xxfxxxx-+=-+=，由 0fx=，解得2x=或3x=随x的变化 fx和 f x的变化如下x0,222,333,+fx00 f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数 f x单调递增区间为0,2和3,+，单调递减区间为2,3当2x=时，f x取得极大值 216 12ln2f=-+，当3x=时，f x取得极小值 321 12ln3f=-+16【解析】（1）记A，B，C参赛获胜事件分别记为A，B，C表示，参赛失败分别记为A，B，学科网（北京）股份有限公司C，所以 0.4P A=，0.6P B=，0.8P C=，0.6P A=，0.4P B=，0.2P C=

14、则甲班至少获胜 2 场事件记为M，则MABCABCABCABC=+P MP ABCP ABCP ABCP ABC=+P A P B P CP A P B P CP A P B P CP A P B P C=+0.4 0.6 0.80.4 0.6 0.20.4 0.4 0.80.6 0.6 0.80.656=+=所以甲班至少获胜 2 场的概率为 0.656（2）由已知X取值为 0，4，5，6，9，10，11，15，00.6 0.4 0.20.048P XP ABC=，40.6 0.4 0.80.192P XP ABC=，50.6 0.6 0.20.072P XP ABC=，60.4 0.4 0.

15、20.032P XP ABC=，90.6 0.6 0.80.288P XP ABC=，100.4 0.4 0.80.128P XP ABC=，110.4 0.6 0.20.048P XP ABC=，150.4 0.6 0.80.192P XP ABC=，所以0 0.0484 0.1925 0.0726 0.0329 0.288 10 0.128 11 0.048 15 0.192E X=+0.7680.3600.1922.592 1.2800.5282.8808.600=+=17【解析】（1）由已知得平面ABCD 平面ABEF，AFAB，所以AF 平面ABCD因为BD 平面ABCD，故BDAF

16、因为ABCD是正方形，所以BDACAC，AF 平面ACF，ACAFA=I，BD 平面ACF又BD 平面BDE，所以平面ACF 平面BDE。（2）又（1）知：AD，AF，AB两两垂直，以AD，AF，AB所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图。设MADa=，1AB=，则0,0,0A，cos,sin,0Maa，1,0,1C，0,1,1E，学科网（北京）股份有限公司故cos,sin,0AMaa=uuuu r，1,0,1AC=uuur，0,1,1AE=uuu r设平面AMC的法向量为111,mx y z=r，则0m AC=uuurr，0m AM=uuuu rr故11110cossin0 xz

17、xyaa+=+=，取1sinxa=，则1cosya=-，1sinza=-所以sin,cos,sinmaaa=-r设平面AME的法向量为222,nxyz=r，0n AE=uuu rr，0n AM=uuuu rr故22220cossin0yzxyaa+=+=，取2sinxa=，则2cosya=-，2cosza=所以sin,cos,cosnaaa=-r所以221 sincoscos,1 sin1 cosm naaaa-=+r r，由已知得221 sincos131 sin1 cosaaaa-=+化简得：22sin 29sin270aa-+=，解得sin21a=或7sin22a=（舍去）故45a=，即

18、45MAD=18【解析】（1）当PA斜率存在时，10y，设PA方程为：11yyk xx-=-与C：22142xy+=联立整理得：2221111124240kxk ykxxykx+-+-=，由已知得：22221111164 12240kykxkykx-+-=化简得：22211114220 xkx y ky-+-=因为221124xy+=，则2221111440y kx y kx+=，即21120y kx+=，所以112xky=-PA方程为：11112xyyxxy-=-，即22111122x xy yxy+=+，故直线PA的方程为11142x xy y+=当PA斜率不存在时，10y=，直线PA的方

19、程为2x=或2x=-满足上式。学科网（北京）股份有限公司所以直线PA的方程为11142x xy y+=由知，设B点坐标为22,xy，则直线PB的方程为22142x xy y+=由点P的坐标为00,xy，则1010142x xy y+=，2020142x xy y+=，故直线AB的方程为00142x xy y+=（2）由（1）知直线AB的方程为00142x xy y+=，由题意知00y，与C：22142xy+=联立整理得：22220000281680 xyxx xy+-+-=因为22004xy+=，所以2222200000644216832xxyyyD=-+-=因为11,A x y，22,B x

20、y，则00122220008824xxxxxyy+=+，2012201684yxxy-+=+所以2224002000121222222000022 434332144444yyxyyABxxx xyyyy+=+-=+点P到直线AB的距离为：22200022200024443xyydxyy+-=+所以PAB面积3002021024ySAB dyy=+当002y+，故0fy在0,2单调递增，所以0fy的最大值为 22f=由对称性可知PAB面积的最大值为219【解析】（1）可求得5OPOP=，设POxq=，则3cos5q=，4sin5q=，设点,P x y，3POxpq=+，故1335cos5cos

21、sin2 33222xpqqq=+=-=-133 35sin5sincos23222ypqqq=+=+=+学科网（北京）股份有限公司所以33 32 3,222P-+（2）设OPOPr=，POxq=，则cosxrq=，sinyrq=，P Oxqa=+，故coscoscossinsincossinxrrrxyqaqaqaaa=+=-=-sinsincoscos sinsincosyrrrxyqaqaqaaa=+=+=+所以坐标变换公式为cossinsincosxxyyxyaaaa=-=+该变换所对应的二阶矩阵为cossinsincosaaaa-（3）设矩阵abAcd=，向量11xmy=r，22xn

22、y=r，则1212xxmnyy+=+rr121212121212a xxb yyxxabA mnc xxd yyyycd+=+rr，对应变换公式为：12121212xa xxb yyyc xxd yy =+=+111111xaxbyabAmycxdycd+=+r，222222xaxbyabAnycxdycd+=+r所以1212112212121122a xxb yyaxbyaxbyAmAnc xxd yycxdycxdy+=+=+rr故对应变换公式同样为12121212xa xxb yyyc xxd yy =+=+所以A mnAmAn+=+rrrr#QQABKQCAogAgAIJAABgCAQXgCgKQkBACAKoGxFAIoAABSRFABAA=#QQABKQCAogAgAIJAABgCAQXgCgKQkBACAKoGxFAIoAABSRFABAA=#