江苏泰州中学2024年高一下学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 江苏省泰州中学江苏省泰州中学 20232024 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高一数学试题高一数学试题（考试时间：（考试时间：120 分钟；总分：分钟；总分：150 分）分）一、选择题一、选择题：（：（本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）1已知单位向量1e，2e 的夹角为120，则()1222eee=（）A2 B0 C1 D2 2在ABC中，角,A B C所

2、对的边分别为 a，b，c，若2,6aA=，15cos4B=，则b=（）A33 B1 C2 D2 3 3已知sin211 cos23=，则tan=（）A3 B13 C13 D3 4如图，向量ab=（）A123ee B1242ee C1223ee D123ee+5计算()2tan1234cos 122 sin12=（）A4 B2 C4 D2 6泰州市广播电视塔建于上世纪 90 年代，横跨在泰州市区繁华的青年路上，宛如法国巴黎的艾菲尔铁塔，直插云霄如图，小明想在自己家测量楼对面电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离MN为40(23)m，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所

3、在的楼与电视塔之间选一点P，且 E，N，P 三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶F处的仰角分别是15=和60=，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角45=，假设,EF MN和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高EF为（）学科网（北京）股份有限公司 A120m B110m C80 3m D(80 320)m 7ABC所在平面内一点P满足22sincosCPCACB=+，若5BABP=，则cos2=（）A15 B35 C45 D45 8辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为22sincossin()axbxabx+=+已知函数()sincosf xa

4、xbx=+（其中0a，bR，tanba=）若Rx，()6f xf，则下列结论正确的是（）A24ff B()f x的图象关于直线23x=对称 C()f x在7,66上单调递增 D过点(,)a b的直线与()f x的图象一定有公共点 二、选择题二、选择题：（：（本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分分，共共 18 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项有多项项符合题目要求项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分）9已知向量,a b c是三个非零向量，则下列结论正确的有（）A若/a

5、b，则|a bab=B若/a b，/b c，则/a c C/a c 的充要条件是存在唯一的R，使得ca=D若|abab+=，则ab 10已知函数()3sin2cos2f xxx=，xR，则（）学科网（北京）股份有限公司 A2()2f x B()f x在区间(0,)上只有 1 个零点 C()f x的最小正周期为 DRx，33fxfx+=11已知ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，下列说法正确的是（）A0AC AB ，则ABC是锐角三角形 B若sinsinAB，则ab C若sin:sin:sin2:3:4ABC=，则ABC是钝角三角形 D若6A=，2a=，2 2b=，则ABC只有

6、一解 三、填空题三、填空题：（：（本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共共 15 分分）12已知向量(1,3)a=，(3,4)b=，若()abb，则=_ 13已知是锐角，1cos3=，则cos26+=_ 14在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为,a b c，2 sinsin3 sinaAbBcC=，若S表示ABC的面积，则2Sb的最大值为_ 四、解答题四、解答题：（：（本题共本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13 分）已知1tan42+=（1）求tan的值；（2）求2sin2cos

7、1cos2+的值 16（15 分）如图，在ABC中，2BDDC=，E是AD的中点，设ABa=，ACb=（1）试用a，b表示AD，BE；学科网（北京）股份有限公司（2）若|1a=，|1b=，a与b的夹角为60，求|BE 17（15 分）已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量(sin,)mA bc=+，(sinsin,)nCB ab=+，且/m n （1）求角C；（2）若2b=，ABC的面积为3，求ABC的周长 18（17 分）法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的

8、顶点”如图，在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且210 sin7cos22BCA+=以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,O O O （1）求角 A；（2）若3a=，123OO O的面积为7 34，求ABC的面积 19（17 分）由倍角公式2cos22cos1=，可知cos2可以表示为cos的二次多项式对于cos3，我们有 cos3cos(2)cos2 cossin2 sin=+=()222cos1 cos2sincos=()322coscos2 1coscos=34cos3cos=可见cos3也可以表示成cos的三次多项式（1）利用上述结

9、论，求sin18的值；（2）化简()()cos 60cos 60cos+；并利用此结果求sin20 sin40 sin60 sin80的值；学科网（北京）股份有限公司（3）已知方程314302xx=在(1,1)上有三个根，记为123,x x x，求证：33312334442xxx+=江苏省泰州中学江苏省泰州中学 2023-2024 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高一数学参考答案高一数学参考答案 一、单项选择题一、单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项

10、是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D D C A B D 二、多项选择题二、多项选择题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分在每小题给出的四个选项中，有在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求多项项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 题号 9 10 11 答案 BCD ACD BC 三、填空题三、填空题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 1235 132326 1452 15解：（1）tant

11、an1tan14tan41tan21tantan4+=，解得1tan3=；（2）222sin2cos2sincoscos2sincos15tan1cos22cos2cos26=+16解：（1）因为2BDDC=，所以23BDBC=所以221212()333333ADABBDABBCABACABABACab=+=+=+=+=+因为E是AD的中点，所以11251()22363BEBABDABBCab=+=+=+（2）由（1）知，5163BEab=+，所以22225125511|26336639BEabaa bb=+=+，22222551125511192|cos,121 1 cos601366393

12、663936aa ba bb=+=+=学科网（北京）股份有限公司 所以19|6BE=17解：（1）由向量平行的坐标公式，得()sin()(sinsin)0abAbcCB+=，由正弦定理，得()()()0ab abc cb+=，即222ababc=+，由余弦定理，得2221cos22abcCab+=，又(0,)C，故23C=（2）由三角形面积公式，得133222a=，故2a=，所以ABC为等腰三角形，所以12236AB=将2ab=代入（1）中所求222ababc=+，则212c=，解得2 3c=（舍去）或2 3c=，所以ABC的周长为222 342 3+=+18解：（1）210 sin7cos2

13、2BCA+=，()5 1cos()7cos2BCA+=，故25(1cos)82cosAA+=，所以22cos5cos30AA+=，可得1cos2A=或cos3A=（舍），由(0,)A，所以3A=（2）如图，连接1AO，3AO，由正弦定理得1|2sin3ABAO=，3|2sin3ACAO=，则133AOc=，333AOb=，学科网（北京）股份有限公司 正123OO O面积2211313137 3sin2344SOOOO=，2317OO=而3BAC=，则1323O AO=，在13O AO中，由余弦定理得：222131313132cosOOAOAOAOAOO AO=+，即221723332bcbc=

14、+，则2221bcbc+=，在ABC中，3A=，3a=，由余弦定理得2222cosabcbcBAC=+，则229bcbc+=，6bc=，所以ABC的面积为13 3sin22SbcA=19解：（1）902 183 18=+，所以cos54sin36=，因为3cos54sin364cos 183cos182sin18 cos18=，因为cos180，()224cos 1832sin184 1 sin 1832sin18=，即24sin 182sin1810+=，因为sin180，解得51sin184=（514已舍）（2）()()1313cos 60cos 60coscossincossincos2

15、222+=+2213cossincos44=23coscos4=()3114cos3coscos344=3sin20 sin40 sin60 sin80cos70 cos 50 cos102=学科网（北京）股份有限公司 3cos(6010)cos(60 10)cos102=+3 13cos302 416=（3）因(1,1)x，故可令cos(0)x=，故由314302xx=可得：314cos3cos0(0)(*)2=由（i）得：1cos32=，因0，故033，故33=，或533=，或733=即方程（*）的三个根分别为9，59，79，又314302xx=，故31432xx=+，于是，()333123123344432xxxxxx+=+5733 coscoscos9992=+22233cos3cos3cos393992=+2222233 coscossinsin3 coscossinsin3cos3939393992=+12236cos3cos2992=+32=