辽宁省重点高中沈阳郊联体2024年高二4月月考数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司辽宁省重点高中沈阳市郊联体辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2023-2024 学年度下学期考试高二年级学年度下学期考试高二年级 4 月试题月试题数数 学 学 评审题人：命题人：注意事项：注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号2请将答案正确填写在答题卡一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1数列1，23，45，87，169，的一个通项公式为（）A()2121nnnB()12121nnnC()121

2、21nnn+D()2121nnn+2已知数列 na中，12a=且满足()*111nnanNa+=，则12a=（）A2 B1 C112D123为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用 22 列联表进行独立性检验，计算得28.01K=，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（）()20P Kk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A99.9%B1%C0.1%D99.5%4“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出庄子天下，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于

3、 33.33 厘米）这形象地说明了这事物具有无限可分性问：当剩余的棍棒长度小于1 厘米时需要截取的最少次数为（）A6 B7 C8 D95已知数列 na为等差数列，其前 n 项和为nS，119a=，746aa=，若对于任意的*nN，总有nmSS恒成立，则m=（）A6 B7 C9 D10 学科网（北京）股份有限公司 6 在等比数列 na中，123456158aaaaaa+=，3498a a=，则123456111111aaaaaa+=（）A35 B53 C53 D35 7在等比数列 na中，公比2q=，前 87 项和87140S=，则36987aaaa+=（）A1403 B60 C80 D160

4、8已知数列 na满足：()*1,1nnnaaaaR nNa+=+，且112a=，则下列说法错误的是（）A存在aR，使得1na为等差数列 B当1a=时，20203a=C当2a=时，1232naaaa，则下列命题正确的是（）A若374aa+=，则918S=B若150S，160S C若125aa+=，349aa+=，则7817aa+=D若810aS=，则90S，100S 11如图，1P是一块半径为 1 的圆形纸板，在1P的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形3P，4PnP记纸板nP的周长为nL，面积为nS，则下列说法正确的是（）

5、学科网（北京）股份有限公司 A37142L=+B31132S=C1111222nnnL=+D1212nnnSS+=三、填空题：（本大题共三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分）12在数列 na中，11a=，22a=，且()()*211nnnaanN+=+，则数列 na的前 10 项和10S=13设等差数列 na，nb的前 n 项和分别为nS，nT，且313nnSnTn=+，则8511abb=+14 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子 在其年幼时，对123100+的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的

6、规律生成因此，此方法也称为高斯算法现有函数()442xxf x=+，则1232017201820192019201920192019fffff+的值为 四、解答题：（本题共四、解答题：（本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（13 分）若数列 na的前 n 项和nS满足231nnSa=+，*nN（1）求 na的通项公式；（2）设()32lognnba=，求数列11nnb b+的前 n 项和nT 16（15 分）张先生 2018 年年底购买了一辆 1.6L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植

7、物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资 1 万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林 科学研究表明：轿车每行驶 3000 公里就要排放 1 吨二氧化碳，林木每生长 1 立方米，平均可吸收 1.8 吨二氧化碳（1）若张先生第一年（即 2019 年）会用车 1.2 万公里，以后逐年增加 1000 公里，则该轿车使用 10 年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即 2019 年）生长了 1 立方米，以后每年以 10%的生长速度递增，问林木至少生 学科网（北京）股份有限公司 长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用 10 年排出的二氧化碳的量（

8、参考数据：141.13.7975，151.14.1772，161.14.5950）？17（15 分）二的车经销商小王对其所经营的 A 型号二手汽车的使用年数 x 与销售价格 y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：使用年数 x 2 3 4 5 6 7 售价 y 20 12 8 6.4 4.4 3 lnzy=3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 下面是 z 关于 x 的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 z 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求 y 关于 x 的回归方程，并预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9 年时售价约为多少；（b，a

9、小数点后保留两位数字）（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于 7118 元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年 参考公式：()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx=，aybx=，()()()()1221niiinniiiixxyyrxxyy=，参考数据：61187.4iiix y=，6147.64iiix z=，621139iix=，()6214.18iixx=，()62113.96iiyy=，()6211.53iizz=，ln1.460.38，ln0.71180.34 18（17 分）下图（1

10、）是一个边长为 1 的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3）由图可知，围成第一个图形的线段条数为 3，围 成第（2）个图形的线段条数为 12，设围成第（n）个图形的边长条数为na 学科网（北京）股份有限公司 （1）求3a，4a，并直接写出na（不用证明）；（2）数列 nb满足141log321inniiab+=，求数列 nb的前 n 项和 19（17 分）(),a b表示正整数 a 与 b 的最大公约数若12,1,2,kx xxm，（k，*mN），且12,kxx xx，(),1x m=，则将 k 的最大值即为()m，例如：

11、()1=1，()5=4（1）求()2，()3，()6；（2）已知(),1m n=时，()()()mnmn=（）求()6n；（）设()1361nnb=，数列 nb的前 n 项和为nT，证明625nT 学科网（北京）股份有限公司 沈阳市郊联体四月份考试沈阳市郊联体四月份考试 高二数学答案高二数学答案 一、单项选择题一、单项选择题 1B 2D 3D 4A 5D 6B 7C 8C 二二、多选题多选题 9AB 10ACD 11ABD 三、填空题三、填空题 1235 13119 141009 四四、解答题解答题 15（1）当2n时，11231nnSa=+，所以()111222313133nnnnnnnSS

12、aaaaa=+=，即13nnaa=，（2n）当1n=时，1112231Saa=+，得11a=，则13nnaa=（2n）所以数列 na是首项为1，公比为 3 的等比数列 所以()111 33nnna=（2）由（1）得：()21323loglog 321nnnban=所以()()11111121212 2121nnb bnnnn+=+，所以11111111112335212122121nnTnnnn=+=+16（1）设第 n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*nanN，则11200043000a=，2130001330003a=，3140001430003a=，学科网（北京）股份有限公司 显然其

13、构成首项为14a=，公差为2113daa=的等差数列，记其前 n 项和为nS，则1010 9110 45523S=+=，所以该轿车使用 10 年共排放二氧化碳 55 吨（2）记第 n 年林木吸收二氧化碳的吨数为()*nbnN，则11 1.8b=，()211 10%1.8b=+，()2311 10%1.8b=+，显然其构成首项为11.8b=，公比为1.1q=的等比数列，记其前 n 项和为nT，由题意，有()()1.81 1.1181.11551 1.1nnnT=，解得15n 所以林木至少生长 15 年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用 10 年排出的二氧化碳的量 17（1）由题意，计算()123

14、45674.56x=+=，()132.482.08 1.86 1.48 1.1026z=+=，且6147.64iiix z=，()6214.18iixx=，()6211.53iizz=，所以()()()()1221147.646 4.5 26.360.994.18 1.536.3954niiinniiiixxzzrxxzz=，所以 z 与 x 的相关系数大约为0.99，说明 z 与 x 的线性相关程度很高；（2）利用最小二乘估计公式计算1222147.646 4.5 26.360.361396 4.517.5niiiniix znxzbxnx=，所以20.36 4.53.62azbx=+=，所

15、以 z 关于 x 的线性回归方程是0.363.62zx=+，又lnzy=，所以 y 关于 x 的回归方程是0.363.62xye+=令9x=，解得0.36 9 3.621.46ye+=，即预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9 年时售价约 1.46 万元；学科网（北京）股份有限公司（3）当0.7118y时，0.363.62ln0.71180.340.7118xeee+=，所以0.363.620.34x+，解得11x，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过 11年 18（1）由题意可知348a=，448 4192a=，（2）可以看到，由第（n）到第()1n+个图形，每 1 条线段都

16、变为 4 条线段，故13 4nna=；（4）（2）因为1443 4loglog33nnan+=，由题意知141123log123321inniinanbbbbb+=+=，当1n=时，得11b=，当2n时，11231123121nnnbbbb+=，得12nnnb=，则12nnnb=，检验11b=成立，故12nnnb=，令121123011111232222nnnSbbbbn=+=+()12311111111231222222nnnSnn=+得0121111111222222nnnSn=+，0111221112212nnnSn=，化简得()11422nnSn=+19 学科网（北京）股份有限公司（1

17、）依题意可得()m表示所有不超过正整数 m，且与 m 互质的正整数的个数，因为与 2 互质的数是 1，所以()21=；因为与 3 互质的数是 1，2 所以()32=；因为与 6 互质的数是 1，5 所以()62=；（2）因为1,2n中与2n互质的正整数只有奇数，所以1,2n中与2n互质的正整数的个数为12n，所以()122nn=又因为32,3kk（1k=，2，3，13n）中与3n互质的正整数只有32k 与31k 两个，所以1,3n中与3n互质的正整数的个数为12 3n，所以()132 3nn=所以()()()16232 6nnnn=解法一：因为()1361nnb=，所以161nnb=所以115

18、 6nnb 令115 6nnc=，因为11115 6165 6nnnncc+=，所以数列 nc是以为15首项，以16为公比的等比数列 所以数列 nc的前 n 项和11156611125616nnnS=所以611256nnT，所以625nT 解法二：学科网（北京）股份有限公司 因为()1361nnb=，所以161nnb=又因为()()111616161 61nnnnnb+=所以()()()()()()1111166161661155 616161 6161 61nnnnnnnnnnb+=所以1223161111115616161616161nnnT+所以116115 6161nnT+，所以1661255 61nnT+，所以625nT