2024北京海淀高三一模数学试题及答案.pdf

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1、 第1页/共4页 2024 北京海淀高三一模 数 学 本试卷共 9页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。1.已知全集22Uxx=，集合12Axx=，则UC A=A.(2,1)B.2,1 C.(2,1)2 D.2,1)2 2.若复数z满足i1 iz=+，则z的共轭复数z=A.1i+B.1i C.1 i+D.1 i 3.已知 na为等差数列，nS为其前n项和.若122aa=，公差

2、0d，0mS=，则m的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知向量,a b满足|2=a，(2,0)=b，且|2+=ab，则,=a b A.6 B.3 C.23 D.56 5.若双曲线22221(0,0)xyabab=上的一点到焦点(5,0)的距离比到焦点(5,0)的距离大b，则该双曲线的方程为 A.2214xy=B.2212xy=C.2212yx=D.2214yx=6.设,是两个不同的平面，,l m是两条直线，且m，l.则“l”是“/m”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知3,0()lg(1),0 xxf xxx=+，函数(

3、)f x的零点个数为m，过点(0,2)与曲线()yf x=相切的直线的条数为n，则,m n的值分别为 A.1,1 B.1,2 C.2,1 D.2,2 8.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边在第三象限.则 A.sincostan B.sincostan C.sincostan D.sincostan 9.函数()f x是定义在(4,4)上的偶函数，其图象如图所示，第2页/共4页 (3)0f=.设()fx是()f x的导函数，则关于x的不等式(1)()0f xfx+的解集是 A.0,2 B.3,03,4)C.(5,02,4)D.(4,02,3)10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏

4、菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60），再沿直线繁殖，；每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到11A，然后分叉向21A与22A方向继续繁殖，其中21112260A A A=，且1121A A与1122A A关 于11OA所 在 直 线 对 称，11211122111,2A AA AOA=.若114cmOA=，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r*(,cm)rN

5、 单位:至少为 A.6 B.7 C.8 D.9 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.已知ln2ab=，则22lnlnab=_.12.已知22:(1)3Cxy+=，线段AB是过点(2,1)的弦，则|AB的最小值为_.13.若443243210(2)xa xa xa xa xa=+，则0a=_；13024aaaaa+=+_.14.已知函数()sin()sin24f xxx=+，则5()4f=_；函数()f x的图象的一个对称中心的坐标为_.15.已知函数3()f xxx=，给出下列四个结论：函数()f x是奇函数；k R，且0k，关于x的

6、方程()0f xkx=恰有两个不相等的实数根；已知P是曲线()yf x=上任意一点，1(,0)2A，则1|2AP；设11(,)M x y为曲线()yf x=上一点，22(,)N xy为曲线()yf x=上一点.若12|1xx+=，则|1MN.其中所有正确结论的序号是_.第3页/共4页 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题 13 分）在ABC中，sin3 cos2bCcBc+=.（）求B；（）若2 3a=，4bc+=，求ABC的面积.17.（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ADBC，M为BP的中点，/AM平面CDP.（）求证

7、：2BCAD=；（）若PAAB，1ABAPADCD=，再从条件、条件、条件这三个条件中 选择一个作为已知，使四棱锥PABCD存在且唯一确定.（）求证：PA平面ABCD；（）设平面CDP平面BAPl=，求二面角ClB 的余弦值.条件：BPDP=；条件：ABPC；条件：CBMCPM=.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题 13 分）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如

8、下表：科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 90100 x 4 10 8090 x 3 a 7080 x 2 b 6070 x 1 23 060 x 0 2（）当35a=时，（）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生 的科普过程性积分之和，估计X的数学期望()E X；（）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y.若根据表中信息能推断12YY恒成立，直接写出a的最小值.第4页/共4页 19.（本小题 15 分）已知

9、椭圆22:G xmym+=的离心率为22，12,A A分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.（）求m的值及点F的坐标；（）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线2x=上，且PFFQ，直线PQ与x轴交于点M.比较2|MP与12|MAMA的大小.20.（本小题 15 分）已知函数12()eaxf xx=.（）求()f x的单调区间；（）若函数2()|()e|g xf xa=+，(0,)x+存在最大值，求a的取值范围.21.（本小题 15 分）已知212:,mQ a aa*(2,)mmN为有穷正整数数列，其最大项的值为m，且当0,1,1km=时，均有km ikmjaa+(1)ijm.设00b=，对

10、于0,1,1tm，定义1min,tinbn nb at+=，其中，minM表示数集M中最小的数.（）若:3,1,2,2,3,1,2,3Q，写出13,b b的值；（）若存在Q满足：12311bbb+=，求m的最小值；（）当2024m=时，证明：对所有Q，202320240b.高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 8 页）海淀区 20232024 学年第二学期期中练习 高三数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）D（2）A（3）B（4）C （5）D（6）A（7）B（8）C（9）D （10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）

11、4 （12）2（13）16 4041 （14）1(,0)4（答案不唯一）（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）由正弦定理sinsinsinabcABC及sin3 cos2bCcBc，得 sinsin3sincos2sinBCCBC.因为(0,)C，所以sin0C.所以sin3cos2BB.所以sin()13B.因为(0,)B，所以32B，即6B.（）由余弦定理得2223cos22acbBac.因为2 3a，所以22126cbc.因为4bc，所以2c.所以ABC的面积为1sin32acB.高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 8 页）（17）（共 1

12、4 分）解：（）取PC的中点N，连接MN，ND.因为M为BP的中点，所以12MNBC，/MNBC.因为/ADBC，所以/ADMN.所以M，N，D，A四点共面.因为/AM平面CDP，平面MNDA平面CDPDN，所以/AMDN.所以MNAD.所以2BCAD.（）取BC的中点E，连接AE，AC.由（）知2BCAD.所以ECAD.因为/ECAD，所以四边形AECD是平行四边形.所以1ECAD，AECD.因为1ABCD，所以112AEBC.所以90BAC，即ABAC.选选条件条件：BPDP.（）因为1ABAD，PAPA，所以PABPAD.所以PABPAD.因为ABPA，所以90PAB.所以90PAD，即

13、APAD.所以AP 平面ABCD.（）由（）知AP 平面ABCD.所以APAC.NABCDMPABCDEMP高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 8 页）因为PAAB，1AP，如图建立空间直角坐标系Axyz.则(0,0,1)P，(0,3,0)C，13(,0)22D.所以13(,0)22CD ，13(,1)22PD ，(0,3,0)AC.设平面PDC的法向量为(,)x y zn，则 0,0,CDPD nn即130,22130.22xyxyz 令3x，则1y ，3z .于 是(3,1,3)n.因 为AC为 平 面PAB的 法 向 量，且7cos,7|ACACAC nnn|，所以二面角ClB 的

14、余弦值为77.选选条件条件：CBMCPM.（）所以CBCP.因为1ABAP，CACA，所以ABCAPC.所以90PACBAC，即PAAC.因为PAAB，所以PA平面ABCD.（）同选条件 xzyABCDMP高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 8 页）（18）（共 13 分）解：（）当35a 时，（）由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545.所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45（）根据题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这

15、名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109.所以从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79.同理，从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29.由表可知X的所有可能取值为6,7,8 7749(6)9981P X，7228(7)29981P X，224(8)9981P X 所以X的数学期望4928458()6788181819E X （）7 高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 8 页）（19）（共 15 分）解：（）由题意知1m.设2am，21b，则2221cabm.因为

16、G的离心率为22，所以222ac，即2(1)mm 所以2m，1c.所以m的值为2，点F的坐标为(1,0)（）由题意可设 00(,)P xy（000 x y），(2,)QQy，(,0)MM x，则02x，0Mxx，220022xy.因为PFFQ,所以00(1,)(1,)0Qxyy.所以001Qxyy.因为Q，P，M三点共线，0(2,0)(0,2)x ，所以00002QMyyyxxx.由可得02Mxx.由（）可知1(2,0)A，2(2,0)A.所以2221200000222|()(2)(2)MPMAMAxyxxx 222000220044412122xxxxx.所以22012|102xMPMAMA

17、，即212|MPMAMA.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 8 页）（20）（共 15 分）解：（）因为12()eaxf xx，所以111222()eee(1)22axaxaxxxfx.令()0fx，得2x ()fx与()f x的变化情况如下表：x(,2)2(2,)()fx 0 ()f x 所以，函数()f x的单调递增区间是(,2)；单调递减区间是(2,)（）令2()()eh xf xa，则()()h xfx.由（）可得：函数()h x的单调递增区间是(,2)；单调递减区间是(2,)所以()h x在2x 时取得最大值12(2)2 eeaha.所以当2x 时，1222()e+ee(0)

18、axh xxaah；当02x时，()(0)h xh，即当(0,)x时，()(0),(2)h xhh.所 以()|()|g xh x在(0,)上 存 在 最 大 值 的 充 分 必 要 条 件 是122|2 ee|e|aaa，即122122 eeeee02aaaaa.令12()eexm xx，则12()eexm x.因为12()ee0 xm x，所以()m x是增函数.因为22(1)ee0m，所以12()ee0am aa的充要条件是1a .所以a的取值范围为 1,).高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 8 页）（21）（共 15 分）解：（）11b,36b （）由题意知3m.当3m 时，因

19、为11a，00b，所以11b.因为23aa，且2a，3a均为正整数，所以21a，或31a.所以23b.因为4a，5a，6a是互不相等的正整数，所以必有一项大于2.所以36b.所以12310bbb，不合题意.当4m 时，对于数列Q：4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4有12313711bbb.综上所述，m的最小值为4.（）因为1min|,ttnbn nb at，0,1,2023t，所以1ttbb，0,1,2023t.（）若12024tb，则当1tnb时，至少以下情况之一成立：nat，这样的n至多有t个；存在it，ibn，这样的n至多有t个.所以小于1tb的n至多有2t个

20、.所以1121tbttt .高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 8 页）令212024t ，解得11012t .所以10122024b.（）对*kN，若12024ttbkb，且120242024(1)t lkbk，因为1min|,t lt lnbn nbatl ，所以当1(2024,)t lnk b 时，至少以下情况之一成立：natl，这样的n至多有tl个；存在i，titl 且ibn，这样的n至多有l个.所以120241202421t lbktllktl .令212024tl，解得20232tl，即202512ttl ，其中 x表示不大于x的最大整数.所以当12024ttbkb时，202522024(1)tbk；综上所述，定义11012C，120252kkCC，则2024kCbk.依次可得：21518C，31771C，41898C，51961C，61993C，72009C，82017C，92021C，102023C.所以20232024 1020240b.