2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第7节 二次函数--将军饮马问题含答案.docx

《2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第7节 二次函数--将军饮马问题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第7节 二次函数--将军饮马问题含答案.docx（123页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第7节 二次函数-将军饮马问题含答案第7节 二次函数之将军饮马类问题目标层级图课中讲解一. 两条线段之和最小内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平

2、移后B，P两点的对应点分别为B，P，取AB的中点E，连接EB，EP，试探究EB+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由过关检测1.已知抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标（2）若点F是线段AD上一个动点，如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；2.如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）、B（5，0），与y轴相交于点C（0，）（1）求该函数的表达式；（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为 ；二. 绝对

3、值之差最大值内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+x+，分别交x轴于A与B点，交y轴于点C，顶点为D，连接AD（1）如图1，P是抛物线的对称轴上一点，当APAD时，求P的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q，过Q作QHx轴，交直线AP于H，过Q作QEPH交对称轴于E，当QHPE周长最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使|QMAM|最大，并求这个最大值及此时M点的坐标例2.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，点E（2，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线AE

4、上方抛物线上的一动点，连接PA、PE当PAE的面积SPAE最大时，在抛物线的对称轴上找一点F，使|FEFP|的值最大，求|FEFP|的最大值；过关检测1.如图，已知直线l：y1和抛物线L：yax2+bx+c（a0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线ykx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1x2（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点以点P为圆心，PF为半径作P，试判断P与直线l的位置关系，并说明理由；若点Q（2，3），当|PQPF|的值最大时，求点P的坐标；2.如图，抛物线yax2+bx+3经过A（1，0），B（3，0）两点，且交y轴

5、于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M（1）求该抛物线的解析式（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MNON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由三. 线段之和最小值内容讲解例1.如图，已知抛物线yax2+bx3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点CD是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值例2.在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D（1）求点D的坐标及直

6、线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MNBD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；过关检测1.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）

7、请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标2.如图1，已知二次函数ymx2+3mxm的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：yx对称（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线l于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：学习任务1.如图，已知抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3

8、）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；2.如图，已知抛物线yx2+bx+c与直线yx+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值；3.如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA2，OC3（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4如图，已知抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1

9、，0），C （0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值第7节 二次函数之将军饮马类问题目标层级图备注：本节内容主要是二次函数之将军饮马类问题，包括三个部分，两条线段之和最小，绝对值之差最大值以及三条线段之和最小值，难度不大。因为将军饮马基础模型和变式在之前的讲义中都详细讲解过，所以在本节内容中就不再赘述基础模型，老师可根据学生具体掌握情况进行补充。其中绝对值之差最小值题型考的不多，但是老师可以自行补充，绝对值之差最小值即动点位于定点线段的中垂线上。课中讲解一. 两条线段之和最小内容讲解例1

10、.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B，P，取AB的中点E，连接EB，EP，试探究EB+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）y，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c

11、，将点B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分PCM90、CPM90两种情况，分别求解即可；（3）作点E关于PB的对称点E，将点E沿PB方向平移2个单位得到点E，连接E、E交PB所在的直线于点B，点B沿PB方向平移2个单位得到点P，则点P、B为所求，即可求解【解答】解：（1）y，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x+；（2）当PCM90时，由点A、B、C的坐标知，ABC为直角三角形，故ACBC，当PCM为直角三角形时，点P与点A重合，点P（1，0）；当CPM90时，则点C、P关于函数对称轴对称

12、，此时点P（2，），故点P的坐标为（1，0）或（2，）；（3）存在，理由：点P（2，），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移m个单位，则平移后点B、P的坐标分别为：（33m，m）、（23m，m+），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B作直线m的对称点B，则EBEB，当B、E、P三点共线时，EB+EPEB+EPBP最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B在直线n上，直线BC的倾斜角为30，则直线BB的倾斜角为60，则设直线BB的表达式为：yx+b，将点B的坐标代入上式并解得：直线BB表达式为：yx+（4m3），设过点A的直线n的

13、表达式为：yx+b，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y（x+1），联立并解得：x23m，故点B（23m，m），而P（23m，m+），故EB+EP的最小值BP2过关检测1.已知抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标（2）若点F是线段AD上一个动点，如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；【分析】（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3），故3a3，解得：a1，即可求解；（2）点D的坐标为：（1，4），点A（3，0），点C（0，3），作点O关于直线AD的对称轴R

14、，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，即可求解；【解答】解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3），故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3，函数的对称轴为：x1，故顶点D的坐标为：（1，4）；（2）点D的坐标为：（1，4），点A（3，0），点C（0，3），作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，FC+FOFC+RFCR为最小，连接AR，设直线OR交AD于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y2x+6，则tanDAO2tan，设HOA，则tan，则cos，sin，OHAOcos，OR2OH，yRORsin，同理x

15、R，故点R（，），由点R、C的坐标得，直线RC的表达式为：yx+3，联立并解得：x，y，则点F（，）；2.如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）、B（5，0），与y轴相交于点C（0，）（1）求该函数的表达式；（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为（2，）；【分析】（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x5）a（x24x5），故5a，解得：a，即可求解；（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，即可求解；【解答】解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x5）a（x24x5），故5a，

16、解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x+；（2）函数的对称轴为：x2，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，由点B、C的坐标得，BC的表达式为：yx+，当x2时，y，故答案为：（2，）；二. 绝对值之差最大值内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+x+，分别交x轴于A与B点，交y轴于点C，顶点为D，连接AD（1）如图1，P是抛物线的对称轴上一点，当APAD时，求P的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q，过Q作QHx轴，交直线AP于H，过Q作QEPH交对称轴于E，当QHPE周长最大时，在抛物线的对称

17、轴上找一点，使|QMAM|最大，并求这个最大值及此时M点的坐标【分析】（1）求出点A、B、C、D的坐标，设直线AP的表达式为：yx+b，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）设点Q（x，x2+x+），则点H（x，x），PH，可求出点Q（10，9），取点A关于对称轴的对称点A（6，0），连接QA，此时，|QMAM|最大，即可求解；【解答】解：（1）yx2+x+，令x0，则y，令y0，则x2或6，故点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，）、（2，3），直线AD表达式中的k值为：，APAD，则直线AP表达式中的k值为，设直线AP的表达式为：yx+b，将点A的坐标代入上式并解得：b

18、，则直线AP的表达式为：yx，当x2时，y，故点P（2，）；（2）设点Q（x，x2+x+），则点H（x，x），PH，QHPE周长2（PH+QH）2（x2+x+x+）x2+x+，当x10时，周长取得最大值，此时，点H（10，16）、点Q（10，9），取点A关于对称轴的对称点A（6，0），连接QA，交函数对称轴于点M，此时，|QMAM|最大，将点A、Q的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AQ的表达式为：yx+，当x2时，y9，故点M（2，9）；最大值为QA；例2.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，点E（2，n）在抛物线上（1）求直线A

19、E的解析式；（2）点P为直线AE上方抛物线上的一动点，连接PA、PE当PAE的面积SPAE最大时，在抛物线的对称轴上找一点F，使|FEFP|的值最大，求|FEFP|的最大值；【分析】（1）利用待定系数法求直线AE的解析式即可；（2）如图1，作铅直高度PD，即y轴的平行线PD，设P（t，），表示PD的长，代入SPAE（xExA）PD可得二次函数，顶点坐标即最值，得当t0时，SPAE最大，此时点P（0，），作点P关于抛物线对称轴的对称点P，过点P、E作直线PE，交抛物线的对称轴于点F，根据“三角形两边之差小于第三边”，当三点F、E、P共线时，|FEFP|的值最大【解答】解：（1）当y0时，即，x1

20、2，x23，A（2，0），B（3，0），当x2时，E（2，）（2分）设直线AE的解析式为：ykx+b，则有，得直线AE的解析式为：（3分）（2）如图1，过点P作PDy轴，交直线AE于点D，设P（t，）（2t2），D（t，），PD，设点A的横坐标为xA，点E的横坐标为xE，SPAE（xExA）PD（），（5分）图2当t0时，SPAE最大，此时点P（0，），即抛物线与y轴的交点抛物线的对称轴为，则如图2，作点P关于抛物线对称轴的对称点P，过点P、E作直线PE，交抛物线的对称轴于点F，则|FEFP|FEFP|PE，根据“三角形两边之差小于第三边”，当三点F、E、P共线时，|FEFP|的值最大（6分）

21、由点关于直线的对称性知P为（1，），|FEFP|的最大值为（8分）过关检测1.如图，已知直线l：y1和抛物线L：yax2+bx+c（a0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线ykx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1x2（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点以点P为圆心，PF为半径作P，试判断P与直线l的位置关系，并说明理由；若点Q（2，3），当|PQPF|的值最大时，求点P的坐标；【分析】（1）抛物线的表达式为：yax2，将点A坐标代入上式，即可求解；（2）点F（0，1），设：点P（m，m2），则PFm2+1，而点P到直线l的距离为

22、：m2+1，即可求解；当点P、Q、F三点共线时，|PQPF|最大，即可求解；【解答】解：（1）抛物线的表达式为：yax2，将点A坐标代入上式得：a（2）2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2；（2）点F（0，1），设：点P（m，m2），则PFm2+1，而点P到直线l的距离为：m2+1，则P与直线l的位置关系为相切；当点P、Q、F三点共线时，|PQPF|最大，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：直线FQ的函数表达式为：yx+1，联立并解得：x22，故点P的坐标为：（2+2，3+2）或（22，32）；2.如图，抛物线yax2+bx+3经过A（1，0），B（3，0）两点，且交y轴于

23、点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M（1）求该抛物线的解析式（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MNON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形两边之和大于第三边，可得N在直线OM上，根据解方程组，可得答案；【解答】解：（1）将A、B两点代入解析式，得，解得故抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）存在点N使得|MNON|的值最大过程如下：如图1：作直线OM交抛物线于两点，则两交点即为N点，yx2+2x+3的对称轴为x1设BC的解析式为ykx+b，将B（3，0），C（0，3）代入函数解析式，得，解得

24、，BC的解析式为yx+3，当x1时，y2，即M（1，2）设直线OM的解析式为ykx，将M（1，2）代入函数解析式，得k2直线OM的解析式为y2x联立抛物线与直线OM的解析式，可得解得：，存在点N，其坐标为N1（，2），N2（，2）三. 线段之和最小值内容讲解例1.如图，已知抛物线yax2+bx3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点CD是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，进

25、而求解；【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，抛物线的解析式为：yx2+4x3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，又因为AC是定值，所以此时AMC的周长最小由题意可知OBOC3，OA1，BC3，同理AC，此时AMC的周长AC+AM+MCAC+BC+3；DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），AEBE1，对称轴为 x2，由OBOC，BOC90得OBC45，EBEM1，又点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，M（2，1）；例2.在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D（

26、1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MNBD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；【分析】（1）根据题意可得A，B，C坐标，根据对称可求D点坐标，用待定系数法可求AD解析式（2）作DHAB，MTAB，交AD于T，作NKMT，设M（m，2），则T（m，m+），根据相似三角形可得MKMT，用m表示CMN的面积，根据二次函数的最值问题，可求M点坐标，作M关于y轴对称点M1（，2），作O关于BD的对称点O1（，），根据两点之间线段最短，可求MP+PQ+QO的最小

27、值；【解答】解：（1）令x0，则y2C（0，2）对称轴为x，且C，D关于对称轴对称D（，2）令y0，则0x2+x+2x1，x22A（，0），B（2，0）设直线AD解析式ykx+b解得：k1，b直线AD解析式yx+（2）如图1：作DHAB，MTAB，交AD于T，作NKMT设M（m，2），则T（m，m+）A（，0），D（，2）AHDHDAHADH45CDAMTDH，KNCDKNTKTN45CDAKTKN，MTMDMNBD，MNDADB且CDADABADBMNDNDMDDTMDNTMDKNCDKTMTKMMT（m）SCMNCMKMm（m）m2+m当m时，SCMN最大值M（，2）如图2 作M关于y轴对

28、称点M1（，2），作O关于BD的对称点O1（，）MP+PQ+OQM1P+PQ+O1QM1，P，Q，O1共线时，MP+PQ+OQ值最小最小值为M1Q1过关检测1.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐

29、标【分析】方法一：（1）根据抛物线的解析式可得出A、B、C、D的坐标，设AC解析式为yk1x+b1（k10），利用待定系数法求解即可（2）先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标（3）因为BD的长固定，要使BDM的周长最小，只需满足BM+DM的值最小即可，作点B关于AC的对称点B，连接BD，则与AC交点即是点M的位置，然后利用相似三角形的性质求出B的坐标，得出BD的解析式，继而联立AC与BD的解析式可得出点M的坐标方法二：（1）先求出点A，C坐标，并求出直线AC方程（2）先用参数表示P点坐标，用坐标平移法表示出Q点参数坐标，把Q点

30、坐标代入抛物线，求出Q点坐标（3）找出点B关于直线AC的对称点B，根据斜率垂直公式，利用直线AC的斜率求出直线BB的斜率，从而求出BB的直线方程，与AC直线方程联立，并求出F点，再利用黄金法则五，求出B坐标，最后求出BD与AC的交点M【解答】方法一：解：（1）当y0时，x2+2x+30，解得x11，x23点A在点B的左侧，A、B的坐标分别为（1，0），（3，0）当x0时，y3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为yk1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y3x+3yx2+2x+3（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的

31、纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）过点B作BBAC于点F，使BFBF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC于点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，12RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA1，OB3，OC3，AC，AB4，BF，BB2BF，由12可

32、得RtAOCRtBEB，即BE，BE，OEBEOB3B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为yk2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：yx+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）方法二：（1）略（2）略（3）设B点关于直线AC的对称点为B，显然BB被直线AC垂直平分，交点为F由BBAC，KBBKAC1，KAC3，KBB，设BB直线方程为yx+b，B（3，0），F（，），点F为BB的中点，FX，FY，B（，），D（1，4），M（，），BDM的周长最小时，点M的坐标为（，）2.如图1，已知二次函数ymx2+3mxm的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D

33、和点B关于过点A的直线l：yx对称（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线l于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：【分析】（1）令y0，可求A，B点坐标，由直线：yx与x轴所成锐角为30，可求D点坐标，代入可求解析式（2）由A，D两点可求AD解析式，BEAD，可求BE解析式，即可求E点坐标，作点P关于AE 的对称点P，作点E关于x轴的对称点E，由对称性可得PQPQ，PEEPPE，则DQ+PQ+PEDQ+PQ+PE，所以当D，Q，E三点共线时，DQ

34、+PQ+PE值最小，即求DE的长度【解答】解：（1）令y0，0mx2+3mxmx1，x2A（，0），B（，0）顶点D的横坐标为直线yx与x轴所成锐角为30，且D，B关于yx对称DAB60，且D点横坐标为D（，3）3mmmm抛物线解析式yx2+x（2）A（，0），D（，3）直线AD解析式yx直线BEAD直线BE解析式yx+xx+xE（，3）如图2，作点P关于AE 的对称点P，作点E关于x轴的对称点E根据对称性可得PQPQ，PEEPPEDQ+PQ+PEDQ+PQ+PE当D，Q，E三点共线时，DQ+PQ+PE值最小即DQ+PQ+PE最小值为DED（，3），E（，3）DE12DQ+PQ+PE最小值为1

35、2学习任务1.如图，已知抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；【分析】（1）把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得到抛物线解析式，再整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；（2）设直线AC的解析式为ykx+b（k0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）求出点D关于直线x3的对称点D，根据轴对称确定最短路线问题，连接DN与直线x3的交点即为所求的点M，然后利用待定系数法求出直线DN的解析式，再

36、令x3求解即可得到m的值；【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3），解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线AC的解析式为ykx+b（k0），则，解得，直线AC的解析式为yx+1；（3）点D（1，4），点（3，m）在直线x3上，点D关于直线x3的对称点D坐标为（5，4），令x0，则y3，所以，点N的坐标为（0，3），设直线DN的解析式为ykx+b（k0），则，解得，所以，yx+3，当x3时，y3+3，所以，m；2.如图，已知抛物线yx2+bx+c与直线yx+3交于A，B两点，交x轴于C

37、、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值；【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据对称性，可得MCMD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；【解答】解：（1）将A（0，3），C（3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是yx2+x+3；（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，对l上任意一点有MDMC，联立方程组，解得（不符合题意，舍），B（4，1），当点B，C，M共线时，|MBMD|

38、取最大值，即为BC的长，过点B作BEx轴于点E，在RtBEC中，由勾股定理，得BC，|MBMD|取最大值为；3.如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA2，OC3（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）点A、C的坐标分别为：（2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）作点D关于对称轴的对称轴D（1，2），连接BD交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，即可求解；【解答】解：（1）点A、C的坐标分别

39、为：（2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x+3；（2）存在，理由：作点D关于对称轴的对称轴D（1，2），连接BD交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，将点B、D的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：直线BD的函数表达式为：yx+，抛物线的对称轴为：x，当x时，y，故点P（，）；4如图，已知抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C （0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值【分析】（1）设交点式ya（x+3）

40、（x1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到y（x+1）2+4，从而得到D（1，4），抛物线的对称轴为直线x1，连接AC交直线x1于P，如图1，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，PBC周长的最小值，然后利用勾股定理计算出AC和BC即可得到PBC周长的最小值；【解答】解：（1）设抛物线解析式为ya（x+3）（x1），把C（0，3）代入得a3（1）3，解得a1，抛物线解析式为y（x+3）（x1），即yx22x+3；（2）yx22x+3（x+1）2+4，D（1，4），抛物线的对称轴为直线x1，连接AC交直线x1于P，如图1，则PAPB，PB+PCPC+P

41、AAC，此时PB+PC的值最小，此时PBC周长的最小值，PBC周长的最小值AC+BC+3+；第8节 二次函数线段关系目标层级图课中讲解一.两线段（或多线段）比值的最值与定值问题内容讲解分析：基本的方法仍然是设坐标处理，问到两个线段的比值时我们可以用相似来转化，有可能会出现定值或变化的情况。也有一些题目是多条线段的比值或者加减，我们先从几何的角都进行转化，然后再利用两点间距离公式进行计算。例题：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且（1）试求抛物线的解析式；（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；解：如图1中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于 ，直线与轴交于点，则，的解析式为，设，则，当时，有最大值，最大值为，此时题型一：两条线段的比值例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点的坐标为，与轴于交于点（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点，若点的横坐标为5，求点的坐标及的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交轴于点，的外接圆圆心为（如图，求点的坐标及的半径；过点作的切线交于点（如图，设为上一动点，则在点运动过程中