2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第3节 二次函数--直角、等腰直角三角形存在性问题含答案.docx

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1、2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习2024年新东方初中数学初三年级中考二次函数专项复习第3节 二次函数-直角、等腰直角三角形存在性问题含答案第3节 二次函数直角、等腰直角三角形存在性问题目标层级图课中讲解知识点1如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于c点，在对称轴上找一点P，使得三角形PBC为直角三角形.：C为直角顶点，如图中的点：B为直角顶点，如图中的点：P为直角顶点，如图中的、点注：某些题目条件会变为“在函数图像上、在坐标轴上”等条件时，只需要将相应的直角顶点移动即可。具体方法如下：（以上图为例）：设出P点坐标之后，利用两点之间距离公式表示出相应的线段，并利用勾股定理

2、建立方程求解；：设出P点坐标之后，表示出相应的线段，利用直角三角形K型相似进行坐标的求解；：设出P点坐标之后，可以根据“在平面直角坐标系中，两条直线，互相垂直，则”建立方程并求解.一. 直角三角形存在性问题内容讲解例1.（19高新一诊）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，作直线，点的坐标为，点的坐标为（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点坐标；例2（2019武侯区模拟）抛物线的顶点在轴正半轴上，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是抛物线上一点，若，求点的坐标；（3）将直线上下平移，平移后的

3、直线与抛物线交于，两点在的左侧），当以点，和（2）中第二象限的点为顶点的三角形是直角三角形时，求的值例3.（2018武侯区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在直线上（1）求直线的函数表达式；（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为，与直线的另一交点为，与轴的右交点为（点不与点重合），连接、如图，在平移过程中，当点在第四象限且的面积为60时，求平移的距离的长；在平移过程中，当是以为一条直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点的坐标过关检测1.如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线

4、于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点 点是直线下方的抛物线上异于、的动点过点作轴于点，交直线于点（1）求抛物线的解析式；（2）连结、，当时，求；（3）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由3（2018温江区一诊）如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、，抛物线与轴的另一交点为经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为（1）求抛物线的

5、解析式；（2）当何值时，的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由二. 等腰直角三角形存在性问题内容讲解1（2019温江区一诊）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？（3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由2（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限（1）如图，若

6、该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；过关检测1将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线（对称轴右侧）上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；2（2020青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，抛物线，动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（1）求抛物线的表达式；（2）当是以

7、为直角边的等腰直角三角形时，求的值；学习任务1（2018成都模拟）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左边），点的横坐标是1（1）求的值及的坐标；（2）如图（1），抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；（3）如图（2），点是正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标2如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）如图1，点为抛物线上一点，

8、点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴与点，得到矩形，求矩形的周长的最大值；（3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以点、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由3如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为抛物线经过点、，与交于点（1）求抛物线的函数解析式；（2）点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，连接，设，的面积为求关于的函数表达式；当最大时，在抛物线的对称轴上，若存在点，使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由4如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点已知点的坐标为，点为第二象限内抛

9、物线上的一个动点，连接、（1）求这个抛物线的表达式（2）当四边形面积等于4时，求点的坐标（3）点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点的坐标；5如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接，设点是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点设线段的长为，求与的函数关系式，并注明的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的面积为，求点的坐标；设为直线上一动点，连接，直线交直线于点，则点在运动过程中，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形

10、？若存在，请直接写出点及其对应的点的坐标；若不存在，请说明理由第X节 二次函数之直角、等腰直角存在性问题目标层级图备注：本节课内容主要是二次函数专题之直角、等腰直角三角形存在性问题。（1）直角三角形存在性问题关键点首先是分析题意，学会分类讨论，在解题方法上主要有以下3种解题方法：设出P点坐标之后，利用两点之间距离公式表示出相应的线段，并利用勾股定理建立方程求解；：设出P点坐标之后，表示出相应的线段，利用直角三角形K型相似进行坐标的求解；：设出P点坐标之后，可以根据“在平面直角坐标系中，两条直线，互相垂直，则”建立方程并求解.比如内容一里的三个例题分别对应的方法就是以上三种，这三种方法不是固定的

11、，具体题型可以选择最优、最简便的方法。（2）等腰直角三角形存在性问题解题方法和直角差不多，但等腰直角三角形还可通过构造“K”型全等以及利用特殊角度45进行解题。最后，像这种专题内容一般计算量会比较大，课上需要花费时间去计算，如果学生第（1）问求解析式没有问题，可以把第一问的答案作为已知条件告知给学生。课中讲解知识点1如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于c点，在对称轴上找一点P，使得三角形PBC为直角三角形. C为直角顶点，如图中的点 B为直角顶点，如图中的点P为直角顶点，如图中的、点注：某些题目条件会变为“在函数图像上、在坐标轴上”等条件时，只需要将相应的直角顶点移动即可。具体方法如下：

12、（以上图为例）：设出P点坐标之后，利用两点之间距离公式表示出相应的线段，并利用勾股定理建立方程求解；：设出P点坐标之后，表示出相应的线段，利用直角三角形K型相似进行坐标的求解；：设出P点坐标之后，可以根据“在平面直角坐标系中，两条直线，互相垂直，则”建立方程并求解.一. 直角三角形存在性问题内容讲解例1.（19高新一诊）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，作直线，点的坐标为，点的坐标为（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点坐标；【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）分、两种情况，分别求解即可；【解答】解：

13、（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：，令，则或6，则点，则函数的对称性；（2）当时，将点、的坐标代入一次函数表达式得：直线的表达式为：，则直线的表达式为：，当时，故点； 当时，同理可得点，故点或；例2（2019武侯区模拟）抛物线的顶点在轴正半轴上，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是抛物线上一点，若，求点的坐标；（3）将直线上下平移，平移后的直线与抛物线交于，两点在的左侧），当以点，和（2）中第二象限的点为顶点的三角形是直角三角形时，求的值【分析】（1）根据题意知，抛物线与轴只有一个交点，且对称轴在轴的右侧，由此求得的值

14、即可；（2）点在与直线平行的直线上，且直线与直线间的距离是2倍的点到直线的距离，据此解答；（3）需要分类讨论：点、分别为直角顶点时的直角三角形，利用函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质解答【解答】解：（1）抛物线的顶点在轴正半轴上，解得抛物线的函数表达式是；（2）如图1，过点作交轴于点，设直线交轴于点由直线，得点设直线，则由，可在轴上且点上方取一点，使，则过点作交抛物线于点、此时满足，设直线、的函数解析式为：在直线、上，直线、的函数解析式为：联立解得，综上，满足条件的点的坐标是，；（3）设，显然，如图2，当时，过点作直线轴，于，于直线的解析式是，进一步可得到，都是等腰直角三角形，即又

15、，联立解得将点，代入二次函数解析式，得解得，（此时点与点重合，舍去）；如图3，当时，过点作轴，于，于则，令，则则，整理，得解得，（舍去）综上所述，的值是0或5例3.（2018武侯区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在直线上（1）求直线的函数表达式；（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为，与直线的另一交点为，与轴的右交点为（点不与点重合），连接、如图，在平移过程中，当点在第四象限且的面积为60时，求平移的距离的长；在平移过程中，当是以为一条直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点的坐标【分析】（1）利用配方法将抛物线表达式变形为顶点式，由此可得出点的坐标，根据点的坐标

16、，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；（2）设点的坐标为，则平移后抛物线的函数表达式为，利用一次函数图象上点的坐标特征结合点在轴上且点不与点重合，可得出联立直线和抛物线的表达式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，过点作轴，交直线于点，由点的坐标可得出点的坐标，利用，即可得出关于的方程，利用换元法解方程组即可得出的值，进而可得出点的坐标，再由点的坐标利用两点间的距离公式即可求出结论；根据点、的坐标，可得出、的长度，分及两种情况，利用勾股定理可得出关于的方程，利用换元法解方程即可求出的值，进而可得出点的坐标，此题得解【解答】解：（1），点的坐标为

17、点在直线上，解得：，直线的函数表达式为（2）设点的坐标为，则平移后抛物线的函数表达式为当时，有，解得：，平移后的抛物线与轴的右交点为（点不与点重合），联立直线与抛物线的表达式成方程组，解得：，点的坐标为当时，有，解得：，点的坐标为，过点作轴，交直线于点，如图所示当时，点的坐标为，设，则有，解得：（舍去），点的坐标为，当时，有，即，整理得：设，则有，解得：（舍去），点的坐标为，；当时，有，即，整理得：设，则有，解得：（舍去），点的坐标为，综上所述：在平移过程中，当是以为一条直角边的直角三角形时，点的坐标为，或，过关检测1.如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，（1）求抛物线的解析式；（2）

18、点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求得点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式可得到关于、的方程组，从而可求得、的值；（2）设点的坐标为，则点的坐标为，则可得到与的函数关系式，利用配方法可求得的最大值以及点的坐标，最后根据的最大值可得的面积；（3）存在，设，分三种情况：分别以，为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可【解答】解：（1）点，把和代入二次函数中得：，解得：，二次函数

19、的解析式为：；（2）如图1，直线经过点，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为：，二次函数，设点，则，当时，的最大值为，点的坐标为，（3）存在，设，分三种情况：以点为直角顶点时，由勾股定理得：，解得：，；以点为直角顶点时，由勾股定理得：，解得：，；以点为直角顶点时，由勾股定理得：，解得：或，或；综上，点的坐标为或或或2（2020青白江区模拟）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点 点是直线下方的抛物线上异于、的动点过点作轴于点，交直线于点（1）求抛物线的解析式；（2）连结、，当时，求；（3）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）因为抛物

20、线经过，可以假设抛物线的解析式，把代入，可得解决问题（2）设，根据，构建方程解决问题即可（3）分两种情形：分别求解即可解决问题【解答】解：（1）由题意，抛物线经过，可以假设抛物线的解析式，把代入，可得，抛物线的解析式为（2）设，直线的解析式为，整理得：，解得或（舍弃），（3）当时，直线的解析式，由，解得或，当时，轴，由，解得或，综上所述，满足条件点的坐标为或3（2018温江区一诊）如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、，抛物线与轴的另一交点为经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）当何值时，的面积最

21、大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【分析】（1）由、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由、坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得点坐标，从而可求得直线的解析式，作轴，交直线于点，作，则可用表示出的长，从而可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有或两种情况，当时，作轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值；当时，作轴，则可证得，利用相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值【解答】解：（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为；（2）

22、，线段的中点为，直线将平行四边形分割为面积相等两部分，直线过平行四边形的对称中心，、关于对称轴对称，抛物线对称轴为，设直线的解析式为，把点和对称中心坐标代入可得，解得，直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，如图1，作轴，交于点，作，点横坐标为，当时，的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为；（3）由图可知，只能有或，当时，如图2，作轴，即，解得或（舍去），当时，如图3，作轴，则，且，即，即，解得或（舍去），综上可知存在满足条件的点，的值为1或二. 等腰直角三角形存在性问题内容讲解1（2019温江区一诊）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点（1）求抛

23、物线的解析式；（2）当点运动到什么位置时，的面积有最大值？（3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点做轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作与点，交于点，作，先求出直线解析式为，则，由列出关于的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）若为等腰直角三角形，则，设点的横坐标为，表示出、的长，列出关于的方程，解之可得答案【解答】解：（1）抛物线过点、，设抛物线解析式为，将点代入，得：，解得：，所以抛物线解析式为；（2）如图1，过点作与点，交于点，作于点，设直线解析式为，将点、代入，得：，解得：，则

24、直线解析式为，设其中，则，当时，位于时，的面积有最大值；方法二：如图2，连接，作轴于点，作轴于点，设其中，则，当时，即位于时，的面积有最大值（3）如图3，若为等腰直角三角形，设点的横坐标为，点的横坐标为，则，解得：或，所以或，2（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限（1）如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；【分析】

25、（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）首先求出直线的解析式和线段的长度，作为后续计算的基础若为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当为直角边时：点到的距离为此时，将直线向右平移4个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点；当为斜边时：点到的距离为此时，将直线向右平移2个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点【解答】解：（1）等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，轴，轴，点的坐标为抛物线过，两点，解得：，抛物线的函数表达式为：（2）方法一：，直线的解析式为：设平移前抛物线的顶点为，则由（1）可得的坐标为，且在直线上点在直线上滑动，可设的坐标为，则平移后抛

26、物线的函数表达式为：解方程组：，解得，过点作轴，过点作轴，则，若以、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当为直角边时：点到的距离为（即为的长）由，可知，为等腰直角三角形，且，如答图1，过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点可设直线的解析式为：，解得，直线的解析式为：解方程组，得：，当为斜边时：，可求得点到的距离为如答图2，取的中点，则点的坐标为由，可知：为等腰直角三角形，且点到直线的距离为过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点可设直线的解析式为：，解得，直线的解析式为：解方程组，得：，综上所述，所有符合条件的点的坐标为：，方法二：，抛物线顶点在直线上，设，抛物线表达式：，

27、与抛物线的交点，以、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，当为直角顶点时，当为直角顶点时，点可视为点绕点顺时针旋转而成，将点平移至原点，则点平移后，将点绕原点顺时针旋转，则点，将平移至点，则点平移后即为点，当为直角顶点时，同理可得，综上所述，所有符合条件的点的坐标为：，过关检测1将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线（对称轴右侧）上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；【分析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；（2）过点作轴于点，过作于点，设，则，

28、再证明，由全等三角形的性质得的方程求得便可得的坐标；【解答】解：（1）抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，即；（2）过点作轴于点，过作于点，如图1，设，则，解得，或（舍，或（舍，或，或；2（2020青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，抛物线，动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（1）求抛物线的表达式；（2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，求的值；【分析】（1）应用待定系数法；（2）先求出的长，再分别讨论、时的情况【解答】解：（1）抛物线经过点和点解得：抛物线：解析式为（2）动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点点的纵坐标为，点的

29、纵坐标为当，时，由已知， （舍去）， 当，时，由已知， ，（舍去） 故的值为1或0学习任务1（2018成都模拟）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左边），点的横坐标是1（1）求的值及的坐标；（2）如图（1），抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；（3）如图（2），点是正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标【分析】（1）把点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；（2）点坐标根据点是的中点即可求得；（3）设点

30、坐标为，作轴于，作轴于，作于，由旋转中心在轴上，推出，推出，点坐标为坐标为，坐标为，由顶点的坐标为，根据勾股定理得：，分三种情形构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）由抛物线得，顶点的坐标为，点在抛物线上，解得；（2）连接，作轴于，作轴于，点、关于点成中心对称，过点，且，顶点的坐标为，抛物线由关于轴对称得到，抛物线由平移得到，抛物线的表达式为；（3）抛物线由绕点轴上的点旋转得到，顶点、关于点成中心对称，由（2）得点的纵坐标为5，设点坐标为，作轴于，作轴于，作于，旋转中心在轴上，点与点是对应点，点与点是对应点，点是抛物线的顶点，点是抛物线的顶点，点坐标为坐标为，坐标为，顶点的坐标为，根据勾股定

31、理得：，当时，解得，点坐标为，当时，解得，点坐标为，综上所得，当点坐标为，或，时，以点、为顶点的三角形是直角三角形2如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴与点，得到矩形，求矩形的周长的最大值；（3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以点、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）因为已知抛物线与轴两交点，故用交点法即能求抛物线解析式，再用配方法求顶点（2）用表示、的长，用周长公式即

32、能求出矩形周长与的函数关系并求最大值由于不确定点在的左侧还是右侧，故长度的表示需要分类讨论，每种情况下求得的最大值要考虑是否在对应的自变量取值范围内（3）三个点均有可能为直角顶点，需要分三种情况讨论其中以点或点为直角顶点时，则直线或与直线垂直，易求直线与轴夹角为，解析式的值为1，所以直线或与轴夹角也为，解析式对应的，进而求得直线或解析式，再求时的值即求出；以为直角顶点时，为斜边，取中点和设点坐标，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，列得方程，求解得的坐标【解答】解：（1）抛物线轴交于，两点抛物线表达式为：，顶点坐标（2）点为抛物线上一点，且，对称轴为直线，轴 当时，在左边，当时，最大值当时

33、，在右边，当时，最大值综上所述，矩形周长的最大值是（3）存在满足条件的点若，则点，直线解析式为：直线解析式为：当时，若，则直线解析式为：当时， 若，取中点，连接，设解得：，或综上所述，使以点、为顶点的三角形是直角三角形的点坐标有，3如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为抛物线经过点、，与交于点（1）求抛物线的函数解析式；（2）点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，连接，设，的面积为求关于的函数表达式；当最大时，在抛物线的对称轴上，若存在点，使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，即可求得抛物线的解析式

34、；（2）先用表示出的长度，进而求出三角形的面积关于的函数；直接写出满足条件的点的坐标即可，注意不要漏写【解答】解：（1）将、两点坐标代入抛物线，得，解得：，抛物线的解析式为；（2），过点作与点，则，；，当时，取最大值；在抛物线对称轴上存在点，使为直角三角形，抛物线的解析式为的对称轴为，的坐标为，当时，当时，则，当时，设，则，即，解得：，满足条件的点共有四个，坐标分别为，4如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接、（1）求这个抛物线的表达式（2）当四边形面积等于4时，求点的坐标（3）点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有

35、点的坐标；【分析】（1）由交点式可求的值，即可求解；（2）由，即可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明，可得，可求解；【解答】解：（1）抛物线交轴于点和点，抛物线的表达式为：，即，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）连接，设点，抛物线交轴于点，点，点或；（3）如图2，若点在左侧，连接，且，且，点坐标，若点在右侧，同理可求点；如图3，抛物线的表达式为：；对称轴为：直线，点在对称轴上，点是的中点，点，点，点在以为直径的圆上，当点在以为直径的圆上时，符合题意，点，点，且点在抛物线对称轴上，点，点延长交对称轴与，点，点，直线解析式为：，当时，点的坐标，点的坐标，点，点，且，点符合题意，综上所述：点的坐

36、标为：或或5如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接，设点是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点设线段的长为，求与的函数关系式，并注明的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的面积为，求点的坐标；设为直线上一动点，连接，直线交直线于点，则点在运动过程中，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及其对应的点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）已知抛物线与轴交点、，故可设交点式，再把点代入即求得抛物线解析式用配方法或公式求得对

37、称轴（2）过点作轴于点，由于点易证，故由易证，利用对应边成比例可得，把含的式子代入即得到与的函数关系式，再由点的位置确定（3）用表示、，代入，求得的值（舍去负值），再利用解关于的方程即求得点坐标因为为等腰直角三角形且与轴夹角为，故与轴夹角为或由于不确定哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用或来确定点、的位置，进而求点、坐标，再由的坐标求直线解析式，把直线与直线解析式联立方程组，解得点坐标【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，设交点式抛物线过点抛物线解析式为抛物线对称轴为直线（2）过点作轴于点，如图1点是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧，于点（3）解得：，（舍去），解得：（

38、舍去），点坐标为在抛物线上存在点，使得为等腰直角三角形设直线解析式为把点代入得：，直线若，且在线段上，如图2直线解析式为，直线解析式为 解得：（即点，轴，直线 解得：，若，如图4轴，在的垂直平分线上，若，如图5，轴，轴，直线 解得：，点在点的左侧时，如图6，和关于轴对称，解得：，综上所述，；，；，；， 第 节 二次函数平行四边形、菱形存在性问题目标层级图课中讲解一. 平行四边形存在性问题内容讲解（1）全等：寻找或者构造三角形与已知三角形全等适用范围：平行四边形的某边（对角线）与坐标轴重合或者平行如图：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、四点构成以为边的平行四边

39、形.如图：当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例，作，则有与全等。C点坐标已知，则由全等可知的纵坐标，再求到的坐标，最后，得到的坐标。（2）平移法则：适用范围:一般情况下需要已知相邻的两个点（对角线的两个点坐标不好表示）如图：抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、四点构成以为边的平行四边形. 如图：当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例，设、，则点到点的平移路径为：向下平移个单位向右平移个单位。那么点到点的运动路径是一样的。设，立马可得。又在抛物线上，代入就可求得的坐标。（3）中点坐标公式：有两点（，），（，），那么线段的中点的坐标

40、为适用范围：中点坐标公式几乎万能，但在处理某些题目的时候会显得比较复杂如图：抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、四点构成的四边形为平行四边形.此时，题目发生了一定的变化，不再要求以BC为边，那么可能就会有更多种情况。我们可以分情况讨论。 当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例：已知、，连接交于。在轴上，设，既是的中点，又是中点，利用中点坐标公式进行简化，可得：，。得到。又在抛物线上，代入就可求得的坐标。 （图一） （图二） 当以为对角线（如图二）时，同上。 注： 1.代表的是横坐标，代表纵坐标，、坐标已知；2.题目也可以利用两条平行的线段相等，

41、长度相等进行解题；二次函数与平行四边形综合方法比较多，这里只列举几个比较常用的方法；类型一：边或者对角线与坐标轴平行（或重叠）例1. （2019锦江区一诊）如图，抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点是抛物线上轴下方）的一个动点，过点作轴的平行线与直线交于点，试判断在点运动过程中，以点，为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点代入，得，即抛物线的解析式为；（2）设点，由于直线经过点，可得直线表达式为，因为平行，可求得点的横坐标，进而得出的长度，当时，以点，为顶点的四边形构成平行四边形，

42、即，解方程求得的值，进而得出点的坐标；【解答】解：（1）抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点，设抛物线的解析式为， 点代入，得，抛物线的解析式为；（2）设点，直线经过点， ，过点作轴的平行线与直线交于点， ，当时，以点，为顶点的四边形构成平行四边形，解得（舍去）或或或（舍去），点的坐标为，或，；过关检测1.（2017成华区二诊）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当BCP面积最大时，求点P坐标；（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）设交点式ya（x+1）（x3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为yx+3，作PMy