2024年新东方初中数学初二年级寒假第2讲 方程（组）与不等式（组）（易）.docx

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1、2024年新东方初中数学初二年级寒假第2讲 方程（组）与不等式（组）（易）第2讲 方程（组）与不等式（组）目标层级图课前检测1（2019秋锦江区校级期中）已知关于的不等式组，只有三个整数解，则实数的取值范围是2（2018秋郫都区期末）解方程组：3解不等式组：，并求出它的最小整数解课中讲解一 二元一次方程（组）例1（2019秋成都期末）（1）解方程组（2）已知，求的平方根过关检测1（2019秋武侯区期末）（1）解方程（2）在（1）的基础上，求方程组的解例2若满足方程组的与互为相反数，则的值为A1BC11D过关检测1（2019秋成都期末）关于、的方程组与有相同的解，则的值为例3（2020春锦江区校

2、级月考）甲乙两人同解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而得，则 过关检测1数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于、的方程组的正确解与乙求关于、的方程组的正确的解相同，则的值为例4如图，函数和的图象交于点，关于，的方程组的解是ABCD过关检测1（2019秋金牛区期末）关于，的二元一次方程组的解是，如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则点的坐标为例5（某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？过关检测1林华在2017年共两次到某商场按照标价购买了，两种商品

3、，其购买情况如下表：购买商品的数量（个购买商品的数量（个购买两种商品的总费用（元第一次购买651140第二次购买371110（1）分别求出，两种商品的标价；（2）最近商场实行“迎2018新春”的促销活动，两种商品都打折且折扣数相同，于是林华前往商场花1062元又购买了9个商品和8个商品，试问本次促销活动中，商品的折扣数都为多少？在本次购买中，林华共节省了多少钱？二、一元一次不等式（组）一元一次不等式（组）的解法1、不等式的解与解集：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（2）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成该不等式的解集。解不等式：把不等式变为或的形式

4、。2、一元一次不等式组 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。3、相关题型解题步骤（1）解一元一次不等式：去分母去括号移项合并同类项将项的系数化为。（2）解一元一次不等式组：分别求出每个不等式的解集；利用数轴求出这些解集的公共部分。4、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设）不等式组图示解集（同大取大）（同小取小）（大小交叉取中间）无解（大小分离解为空）例1如果，那么下列不等式中错误的是ABCD过关检测1若，那么下列不等式不成立的是ABCD例2关于的不等式的解集如图所

5、示，则的取值是ABCD0过关检测1若关于的不等式的解集如图所示，则常数例3（2020春武侯区期末）解不等式组，并把解集表示在下面的数轴上过关检测1（2020春锦江区期末）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集例4已知关于，的方程组的解，均为负数（1）求的取值范围；（2）化简：过关检测1（2020春都江堰市校级期中）已知：关于、的方程组的解满足（1）求的取值范围；（2）化简例5若不等式的解集是，则的取值范围是ABCD过关检测1（2019春锦江区校级期中）如果的解集为，则的取值范围是例6（2019春锦江区校级期中）不等式组的解集是，那么的取值范围是 .过关检测1已知不等式组的解集为，则的值为例7（

6、2020春龙泉驿区校级期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围 过关检测1（2019春成都期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围为ABCD2（2019春郫都区期中）在方程组中，若，则的取值范围是例8（2020春青羊区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为过关检测1如图，已知函数和的图象交于点，则不等式的解集为例9（2020春青羊区期末）某工厂计划生产、两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：种产品种产品成本（万元件）25利润（万元件）13（1）若工厂计划获利14万元，问、两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于1

7、4万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润过关检测1（2019秋青白江区期末）有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？学习任务1已知方程组，满足，求常数的值以及方程组的解2已知直线与直线的交点坐标为，则请求出不等式组的解3若关于的不等式组有四个整数解，求的取值范围4 2020年年初，在我国湖北等地区爆发了新型冠状病毒引发的肺炎疫情，对此湖北武汉率先采取了“封城”的措施，为了解决武汉市民的生

8、活物资紧缺问题，某省给武汉捐献一批水果和蔬菜共435吨，其中蔬菜比水果多97吨（1）求蔬菜和水果各有多少吨？（2）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，已知一辆甲车同时可装蔬菜18吨，水果10吨；一辆乙车同时可装蔬菜16吨，水果11吨；若将这批货物一次性运到武汉，有哪几种租车方案？请你帮忙设计出来（3）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（2）中的那种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？第3讲 一次函数综合目标层级图课前检测1在平面直角坐标系里，一条线段的函数表达式为，则与它垂直交于轴的函数表达式是 2平面直角坐标系中把函数的图象关于轴对称

9、后得到新的函数图象，则该新图象对应的函数表达式是 .3在平面直角坐标系中，已知 ，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标为 4如图，已知直线与直线交于点，与轴交于点，且直线过点和点，连接（1）求直线的解析式；（2）求交点的坐标，并求出的面积；课中讲解一.一次函数的解析式例1.（1）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为 （2）已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为 （3）已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的垂直平分线的解析式为 （4）将直线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为 （5）一直线关于轴对称的直线函数表达式是 过关检测1平面直角坐

10、标系中，已知点和点，则直线的解析式为 2一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 3已知直线过，且垂直于直线，直线的解析式为 4将直线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，所得直线的函数表达式是 5若一次函数与函数的图象关于轴对称，且交点在轴上，则这个函数的表达式为： 6已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是 二.一次函数背景下的方案选择例12010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”为了响应节能减排的号召，某品牌汽车店准备购进型（电动汽车）和型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车

11、者的需求市场营销人员经过市场调查得到如下信息：成本价（万元辆）售价（万元辆）型3032型4245（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由过关检测1某工厂从外地购得种原料16吨，种原料13吨，现计划租用甲，乙两货车共6辆将购得的原料一次性运回工厂已知一辆甲种货车可装2吨种

12、原料和3吨原料；一辆乙种货车可装3吨种原料和2吨种原料设安排甲种货车辆（1）如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案（2）若甲种货车的运费是每辆500元，乙种货车的运费是每辆350元设总运费为元，（元与（辆之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，当为何值时，总运费最少，此时总运费是多少元？三.一次函数与面积例1如图，直线分别与轴、轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为（1）求的值；（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）探究：当点运动到什么位置时，的面积为，并说明理由过关检测1如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点（1）求的面

13、积；（2）过点作直线与轴相交于点，若的面积是16，求点的坐标；四.一次函数背景下的存在性问题例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标例2如图，直线的函数关系式为，且与轴交于点，直线经过点，直线与交于点（1）求直线的函数关系式；（2）求的面积；（3）点是轴上一动点，问是否存在一点，恰好使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由五.一次函数与动点例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在直线上，点是线段上的一个

14、动点，过点作轴交直线点，设点的横坐标为（1）的值为 ；（2）用含有的式子表示线段的长；（3）若的面积为，求与之间的函数表达式，并求出当最大时点的坐标；例2如图（），直线经过点、，直线交轴于点，且与直线交于点，连接（1）求直线的表达式；（2）求的面积；（3）如图（），点是直线上的一动点；连接交线段于点，当与的面积相等时，求点的坐标六.一次函数与几何综合例1如图，在等边中，点，点是原点，点是轴正半轴上的动点，以为边向左侧作等边，当时，求的长例2如图所示，把矩形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，连接，且，（1）求所在直线的解析式；（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重

15、叠部分的面积（3）求所在的直线的函数解析式学习任务1已知直线与直线互相垂直，且直线经过点，现将直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的新直线解析式为 2一条直线经过点，且与直线平行， 则这条直线的解析式为 3已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点（1）求一次函数的解析式；（2）在轴上存在一点，且的面积为，求点的坐标4今年6月份，海南某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，设总运费为，租用甲种货车

16、辆（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（2）写出和的函数关系式；该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少元？5已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接（1）直接写出直线、的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标第3讲 一次函数综合目标层级图课前检测1在平面直角坐标系里，一条线段的函数表达式为，则与它垂直交于轴的函数表达式是【解答】解：令，则，令，则，解得，所以，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，所求直线与垂直交于轴，所求直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，设直

17、线解析式为，则，解得，函数表达式为故答案为：2平面直角坐标系中把函数的图象关于轴对称后得到新的函数图象，则该新图象对应的函数表达式是【解答】解：因为函数的图象经过，两点，关于轴对称后得到新的坐标为，把，代入，可得：，解得：，所以该新图象对应的函数表达式是，故答案为：3在平面直角坐标系中，已知 ，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标为 【解答】解：如图所示：，分三种情况：当时，可得到2点，；当时，可得到一点，；当时，可得到一点，故答案为：，4如图，已知直线与直线交于点，与轴交于点，且直线过点和点，连接（1）求直线的解析式；（2）求交点的坐标，并求出的面积；【解答】解：（1）设直线解析式为：，

18、直线过点和点，直线解析式为：，（2）根据题意得：，解得：，点坐标为；直线与轴交于点，和点，；课中讲解一.一次函数的解析式例1.（1）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为【解答】解：由题意可得方程组，解得，则此函数的解析式为：（2）已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为【解答】解：由一次函数的图象平行于直线，可知则一次函数为，将的坐标代入，得：，解得：这个一次函数的解析式是故答案为：（3）已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的垂直平分线的解析式为【解答】解：直线与轴、轴的交点分别为、，当时，当时，线段的中点为，设线段的垂直平分线的解析式为，代入得，解得，线段的垂直平分线的解

19、析式为，故答案为（4）将直线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为【解答】解：根据题意知，平移后的直线解析式是：即故答案是：（5）一直线关于轴对称的直线函数表达式是【解答】解：关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数，直线关于轴对称的直线函数表达式为故答案为过关检测1平面直角坐标系中，已知点和点，则直线的解析式为【解答】解：设直线的解析式为，把，代入得到，解得，直线的解析式为，故答案为2一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是【解答】解：设所求直线解析式为，一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，所求直线解析式为故答案为3已知

20、直线过，且垂直于直线，直线的解析式为【解答】解：直线与直线垂直，可设直线的解析式是，把代入得：，直线解析式是，故答案为：4将直线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，所得直线的函数表达式是【解答】解：将直线先向下平移2个单位，得到直线，即，再向左平移2个单位，所得的解析式为，即故答案为：5若一次函数与函数的图象关于轴对称，且交点在轴上，则这个函数的表达式为：【解答】解：两函数图象交于轴，解得：，与关于轴对称，故答案为：6已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是【解答】解：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为故答案为：二.一次函数背景下的方案选择

21、例12010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”为了响应节能减排的号召，某品牌汽车店准备购进型（电动汽车）和型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求市场营销人员经过市场调查得到如下信息：成本价（万元辆）售价（万元辆）型3032型4245（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为

22、30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由【解答】解：（1）设型汽车购进辆，则型汽车购进辆根据题意得：，解得：为整数，取6、7、8有三种购进方案：型6辆7辆8辆型10辆9辆8辆（2）设总利润为万元根据题意得：，随的增大而减小，当时，有最大值，（万元）当购进型车6辆，型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元（3）设电动汽车行驶的里程为万公里当时，解得：选购太阳能汽车比较合算过关检测1某工厂从外地购得种原料16吨，种原料13吨，现计划租用甲，乙两货车共6辆将购得的原料一次性运回工厂已知一辆甲种货车可装2吨种原料和3吨原料；一辆乙种货车可装3吨种

23、原料和2吨种原料设安排甲种货车辆（1）如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案（2）若甲种货车的运费是每辆500元，乙种货车的运费是每辆350元设总运费为元，（元与（辆之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，当为何值时，总运费最少，此时总运费是多少元？【解答】解：（1）由题意可得，解得，有两种可行方案，方案一：安排甲种货车1辆，乙种货车5辆，方案二：安排甲种货车2辆，乙种货车4辆；（2）由题意可得，即（元与（辆之间的函数关系式是；（3）由（2）知，当时，取得最小值，此时，答：为1时，总运费最少，此时总运费是2250元三.一次函数与面积例1如图，直线分别与轴、轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标

24、为（1）求的值；（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）探究：当点运动到什么位置时，的面积为，并说明理由【解答】解；（1）直线过点，；（2）点的坐标为，点是第二象限内的直线上的一个动点，的面积；（3）设点时，其面积，则，解得，则或者（舍去），当时，则，故，时，三角形的面积为过关检测1如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点（1）求的面积；（2）过点作直线与轴相交于点，若的面积是16，求点的坐标；【解答】解：（1）把代入得：，即点的坐标为：，把代入得：，解得：，即点的坐标为：，即的面积为12，（2）根据题意得：点到的距离为4，解得

25、：，即点到点的距离为8，即点的坐标为：或四.一次函数背景下的存在性问题例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标【解答】解：（1）将点，代入中，得，直线的函数表达式为；（2）由（1）知，直线的函数表达式为，直线，联立解得，；（3）设，是等腰三角形，当时，或，当时，当时，（舍或，即：满足条件的点的坐标为或或或，例2如图，直线的函数关系式为，且与轴交于点，直线经过点，直线与交于点（1）求直线的函数关系式；（2）求的面积；（3）点是轴上一动点

26、，问是否存在一点，恰好使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设直线的函数关系式为：，直线过点，解得：，直线的函数关系式为：；（2）直线与交于点，解得，将代入得，点的坐标是，点的坐标是，；（3）存在一点，恰好使为直角三角形，点的坐标为或，如图，当时，轴，由（2）知，点坐标为，当时，设，则，在中，在中，解得：，即：满足条件的点的坐标为或五.一次函数与动点例1如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在直线上，点是线段上的一个动点，过点作轴交直线点，设点的横坐标为（1）的值为7；（2）用含有的式子表示线段的长；（3）若的面积为，求与之间的函数表达式，并求出

27、当最大时点的坐标；【解答】解：（1）点在直线上，则，故答案为：7；（2）点的横坐标为，点，轴交直线于点，点，；（3）直线与轴交于点，点，的面积的面积，随的增大而增大，点是线段上的一个动点，当点与点重合时，有最大值，即时，有最大值当时，点；例2如图（），直线经过点、，直线交轴于点，且与直线交于点，连接（1）求直线的表达式；（2）求的面积；（3）如图（），点是直线上的一动点；连接交线段于点，当与的面积相等时，求点的坐标【解答】解：（1），则点、的坐标分别为：、，将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，故直线的表达式为：；（2）联立、的表达式得：，解得：，故点；的面积；（3）与的面积相等，则，

28、则点、到的距离相等，故所在的直线与平行，则直线的表达式为：，联立并解得：，则点，六.一次函数与几何综合例1如图，在等边中，点，点是原点，点是轴正半轴上的动点，以为边向左侧作等边，当时，求的长【解答】解：如图，连结，作交于点，和是等边三角形，又，的长为例2如图所示，把矩形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，连接，且，（1）求所在直线的解析式；（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积（3）求所在的直线的函数解析式【解答】解：（1），可设，则，在中，由勾股定理可得，解得舍去），设直线解析式为，解得，直线解析式为；（2）由折叠的性质可知，设，则，在中，由勾股定理

29、可得，解得，即重叠部分的面积为10；（3）由（2）可知，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为学习任务1已知直线与直线互相垂直，且直线经过点，现将直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的新直线解析式为【解答】解：设直线的解析式为，直线与直线互相垂直，直线经过点，直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，新直线的解析式为，故答案为2一条直线经过点，且与直线平行， 则这条直线的解析式为【解答】解： 设所求直线解析式为，直线与直线平行，把代入得，解得，所求直线解析式为故答案是：3已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点（1）求一次函数的解析式；（2）在轴上存在一点，且的面积为，求点

30、的坐标【解答】解：（1）设一次函数的解析式为，把点和代入得，解得，所以一次函数解析式为；（2）当时，解得，则，在轴上存在一点，且的面积为，即，或4今年6月份，海南某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，设总运费为，租用甲种货车辆（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（2）写出和的函数关系式；该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少元？【解答】解：（1）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车

31、辆，根据题意得，解不等式得，解不等式得，所以，不等式组的解集是，为货车的辆数，是正整数，、6、7，租车方案有：方案一：租用甲货车5辆，乙货车5辆，方案二：租用甲货车6辆，乙货车4辆，方案三：租用甲货车7辆，乙货车3辆；（2），随的增大而增大，时，运费最少，最少运费是：元5已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接（1）直接写出直线、的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标【解答】解：（1）直线与轴交于，直线的解析式，直线分别与轴交于点，直线的解析式；（2）由（1）知，直线的解析式，直线的解析式，联立解得，对于直线的解析式，令，；（3）设，是等腰三角形，当时，当时，（舍或，当时，或，即：点的坐标为，或或，或