专题17 二次函数中几何存在性的问题(含答案)-备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版).docx
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1、备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题17 二次函数中几何存在性的问题 【典型例题】1(2022全国九年级专题练习)抛物线C1:yx2x2交x轴于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C(1)求A,B两点的坐标(2)M为平面内一点,将抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2,C2经过点A且抛物线C2上有一点P,使BCP是以B为直角的等腰直角三角形是否存在这样的点M?若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由【专题训练】一、 解答题1(2022全国九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2+x+c(a0)与x轴相交于A,B两点,与y轴交
2、于点C,B点坐标为(4,0),C点坐标为(0,2)(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点,过P作PFx轴交直线BC于点F,过P作PEy轴交直线BC于点E,求线段EF的最大值及此时P点坐标;(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y,N是新抛物线对称轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点Q点的坐标;若不存在,请说明理由2(2022全国九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点E,一次函数yx+1与抛物线交于A、D
3、两点,交y轴于点C,且D(4,5)(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第四象限内抛物线上的一点,过点作PQAD交AD于点Q,求PQ的最大值以及相应的P点坐标;(3)将抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到新抛物线,新抛物线与原抛物线交于点R,M点在原抛物线的对称轴上,在平面内是否存在点N,使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由3(2022全国九年级专题练习)如图,平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C,直线yx+n经过B、C两点点D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作
4、DEy轴,分别交x轴,BC于点E,F(1)求直线BC及抛物线的表达式;(2)点D在移动过程中,若存在DCFACO,求线段DE的长;(3)在抛物线上取点M,在坐标系内取点N,问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形?如果存在,请直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由4(2022全国九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:yax2+c与x轴相交于A、B两点,顶点C(0,2)AB2点M(m,0)是x轴正半轴上一点,抛物线L关于点M对称的抛物线为L(1)求抛物线L的函数表达式;(2)点P是第一象限抛物线L上一点,点P到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线L上的对应点为P设E是抛物
5、线L上的动点,E是点E在抛物线L上的对应点,试探究四边形PEPE能否成为正方形若能,求出m的值;若不能,请说明理由5(2022全国九年级专题练习)如图,抛物线yx2x与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4,a),抛物线的顶点为点Q,抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求直线CE的解析式(2)如图2,P为直线CE下方抛物线上一动点,直线CE与x轴交于点F,连接PF,PC当PCF的面积最大时,求点P的坐标及PCF面积的最大值(3)如图3,连接CD,将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y,y经过点D,y的顶点为点H,在直线QH上是否存在点G,使得DQG为等
6、腰三角形?若存在,求出点G的坐标6(2022全国九年级专题练习)如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:ya(x)2与x轴交于点A(,0)和点B,与y轴交于点C(1)求抛物线F1的表达式;(2)如图2,将抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,连接BD,CD,BC求点D的坐标;判断BCD的形状,并说明理由;(3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由7(2022全国九年级专题练习)如图,二次函数ybxc的图象与x轴交于A(3,0),B(1,0),与y轴
7、交于点C若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动(1)直接写出二次函数的解析式;(2)当P,Q运动到t秒时,将APQ沿PQ翻折,若点A恰好落在抛物线上D点处,求出D点坐标;(3)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出E点坐标;若不存在,请说明理由8(2022全国九年级专题练习)如图,抛物线yx2bx1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,顶点为D,对称轴为直线x,连接AC,BC(1)求抛物线的解析式;(2)求ABC的面
8、积;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E,使得CDE为等腰三角形?如果存在,请直接写出点E的坐标,如果不存在,请说明理由9(2022全国九年级专题练习)如图,抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),点A的坐标是(3,0),抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P为第四象限内抛物线上一点,且PBC是直角三角形,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在直线BC上是否存在点Q,使PQBCPB,若存在,求出点Q坐标:若不存在,请说明理由10(2022全国九年级专题练习)如图,抛物线yax2bxc经过A(1,0),B两点,且与y轴交于点C(0,
9、3),抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线与直线yx1交于A、E两点,P点在x轴上且位于点B的左侧,若以P、B、C为顶点的三角形与ABE相似,求点P的坐标;(3)F是直线BC上一动点,M为抛物线上一动点,若MBF为等腰直角三角形,请直接写出点M的坐标11(2022全国九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且OC2OB6OA6,点P是第一象限内抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式;(2)连接BC与OP,交于点D,当SPCD:SODC的值最大时,求点P的坐标;(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,
10、是否存在点M、点N使CMN90,且CMN与BOC相似,若存在,请求出点M、点N的坐标12(2022全国九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,一次函数yx3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数yx2bxc的图象经过点A和点C(0,3)(1)求点B坐标及二次函数的表达式;(2)如图1,平移线段AC,点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上,点C的对应点E落在直线AB上,直接写出四边形ACED的形状,并求出此时点D的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,连接CD,交x轴于点M,点P为直线CD上方抛物线上一个动点,过点P作PFx轴,交CD于点F,连接PC,是否存在点P,使得以P、C、
11、F为顶点的三角形与COM相似?若存在,求出线段PF的长度;若不存在,请说明理由13(2022全国九年级专题练习)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数yx2的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数ybx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A(1)求二次函数的表达式(2)如图2,连接AC,点M为线段BC上的一点,设点M的横坐标为t,过点M作y轴的平行线,过点C作x轴的平行线,两者交于点N,将MCN沿MC翻折得到MCN当点N落在线段AB上,求此时t的值;求MCN与ACB重叠的面积S与t的函数关系式(3)如图3,点D在直线BC下方的二次函数图象上,过点D作DMBC于点M,是否存在点D
12、,使得CDM中的某个角恰好等于ABC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由备战2024年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题17 二次函数中几何存在性的问题 【典型例题】1(2022全国九年级专题练习)抛物线C1:yx2x2交x轴于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C(1)求A,B两点的坐标(2)M为平面内一点,将抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2,C2经过点A且抛物线C2上有一点P,使BCP是以B为直角的等腰直角三角形是否存在这样的点M?若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由【答案】(1)A(2,0),B(4,0)(2)存在,点M的坐
13、标为(,)或(1,0)【解析】【分析】(1)令y=0,求出x的值,即得出A、B两点坐标;(2)分类讨论当P在x轴的下方时,过P作PDx轴于D,设抛物线C1的顶点为E,则E(-1,),由等腰直角三角形的性质可知BCPB,PBC90,从而可推出OCBPBD即易证,得出PDOB4,BDOC2,从而可求出OD2,即P点坐标已知根据题意设抛物线C2的解析式为y,利用待定系数法即可求出其解析式,得到其顶点坐标,由旋转可知点M是两个抛物线顶点所连线段的中点,由此即可得出答案;当点P在x轴的上方时,过P作PDx轴于D,同理得PDBBOC,得出PDOB4,BDOC2,即得出P点坐标同理利用待定系数法可求出抛物线
14、C2的解析式,求出其顶点坐标,即求出M的坐标(1)当y0时,即,解得:,点A在点B的右侧,A(2,0),B(-4,0)(2)分两种情况:当P在x轴的下方时,如图,过P作PDx轴于D,设抛物线C1的顶点为E,则E(-1,),PBC是等腰直角三角形,BCPB,PBC90,CBO+OCBOBC+PBD90,OCBPBD,BOCPDB90,BOCPDB(AAS),PDOB4,BDOC2,OD4-22,P(-2,-4),抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2,设抛物线C2的解析式为:y,把P(-2,-4)和A(2,0)代入得:,解得:,抛物线C2的解析式为:y,此时点P为抛物线C2的顶点,M是线段E
15、P的中点,M(,);当点P在x轴的上方时,如图2,过P作PDx轴于D,同理得PDBBOC,PDOB4,BDOC2,P(-6,4),抛物线C2经过点P和点A,同理可得抛物线的解析式为:y,顶点F(-1,),抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2,M是线段EF的中点,M(-1,0);综上,点M的坐标为:(,)或(-1,0)【点睛】本题为二次函数综合题考查的知识点有:利用待定系数法求函数解析式,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,为压轴题画出图形,利用数形结合的思想是解题的关键【专题训练】二、 解答题1(2022全国九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2+x+c(a0)与x轴
16、相交于A,B两点,与y轴交于点C,B点坐标为(4,0),C点坐标为(0,2)(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点,过P作PFx轴交直线BC于点F,过P作PEy轴交直线BC于点E,求线段EF的最大值及此时P点坐标;(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y,N是新抛物线对称轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点Q点的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)yx2+x+2(2)当m2时,EF有最大值为2,点P的坐标为(2,3)(3)存在,Q点的坐标为:(2,2)或(6,4)或(2,1
17、)或(2,1+)【解析】【分析】(1)把点B(4,0),C(0,2),代入抛物线解析式,即可求解;(2)先求出直线BC的解析式,设P点坐标为(m,m2+m+2),则E点的坐标为(m,m+2),设F的横坐标为n,则F的纵坐标为:m2+m+2,可得nm23m,从而得到PEm2+2m,PFm2+4m,再由勾股定理可得EF, 再由0m4,可得EF(m2)2+2,即可求解;(3)根据题意可得抛物线沿着射线AC方向平移个单位,实际上等同于将该抛物线沿x轴向右移动个单位,再沿y轴向上移动1个单位,再由原抛物线的对称轴为直线x,可得新抛物线的对称轴为直线x2,然后分两种情况讨论:当以BC为边时,以BC为对角线
18、时,即可求解(1)解:抛物线yax2+x+c(a0)与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,B点坐标为(4,0),C点坐标为(0,2),将B点、C点坐标代入解析式,得,解得,抛物线的解析式为: yx2+x+2;(2)解:设直线BC的解析式为ykx+b,代入点B、点C坐标,得,解得,直线BC的解析式为:yx+2,设P点坐标为(m,m2+m+2),则E点的坐标为(m,m+2),设F的横坐标为n,则F的纵坐标为:m2+m+2,令n+2m2+m+2,解得:nm23m,PEm2+m+2(m+2)m2+2m,PFm(m23m)m2+4m,EF=, 0m4,EF(m24m)(m2)2+2,当m2时,EF有最
19、大值为2,此时,点P的坐标为(2,3);(3)解:存在点Q,使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形,Q点的坐标为:(2,2)或(6,4)或(2,1)或(2,1+);理由如下:OA1,OC2,AC,又(OA)2+(OC)2()2,抛物线沿着射线AC方向平移个单位,实际上等同于将该抛物线沿x轴向右移动个单位,再沿y轴向上移动1个单位,原抛物线的对称轴为直线x,新抛物线的对称轴为直线x+2,设对称轴交直线BC于M,交x轴于P,()当以BC为边时,如右图设N1点的坐标为(2,t),直线BC的解析式为:yx+2,新对称轴直线为:x2,P(2,0),M(2,1),MP1,PB422,MN1B+PBN19
20、0,MBO+PBN190,MN1BMBO,tanMBO,tanMN1B ,t4,即N1(2,4),设直线BN1的解析式为:yex+g,代入B点和N1点坐标,得,解得,直线BN1的解析式为:y2x8,由图可知,Q1的坐标是C点先向左移动2个单位再向下移动4个单位,即Q1的坐标为(2,2),同理Q2的坐标是点B先向右移动2个单位再向上移动4个单位,即Q2的坐标为(6,4),()以BC为对角线时,如右图,以BC为直径画圆,交新对称轴于N3和N4,由图知此时BN3CN4为矩形,即Q3与N4重合,Q4与N3重合,由()知,MP1,BP2,MN3MN4BM,Q3(2,1),Q4(2,1+),综上,Q点的坐
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