浙江省台州市2024届高三下学期4月二模试题 数学含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司台州市台州市 2024 届高三第二次教学质量评估试题届高三第二次教学质量评估试题数数 学学本试卷共本试卷共 4 页，页，19 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟。分钟。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合10Ax x=-，13Bxx=-，则AB=I（）A.1,1-B.1,3-C.1,1-D.1,32.在复平面内，复数2iiz+=（i为虚数单位），则

2、（）A.z的实部为 2B.5z=C.2iz=-D.z对应的点位于第一象限3.已知平面向量2,1a=r，2,4b=-r，若2ababl+-rrrr，则实数l=（）A.-1B.-2C.1D.24.已知正项等比数列 na满足13a=，且13a-，2a，3a成等差数列，则数列 na的前n项和为（）A.1332n+-B.332n-C.1334n+D.1314n+-5.已知 x，y 为正实数，则可成为“xy”的充要条件的是（）A.11xyB.lnlnxyyx+C.sinsinxyD.coscosxyyx-的左、右焦点，点 M，N 分别在双曲线C的左、右两支上，且满足23MF Np=，212NFMF=uuu

3、u ruuuu r，则双曲线C的离心率为（）A.2B.73C.3D.52二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9.某同学最近 6 次考试的数学成绩为 107，114，136，128，122，143.则（）A.成绩的第 60 百分位数为 122B.成绩的极差为 36C.成绩的平均数为 125D.若增加一个成绩 125，则成绩的方差变小

4、10.已知正方体1111ABCDABC D-的棱长为 1，P为平面ABCD内一动点，且直线1D P与平面ABCD所成角为3p，E 为正方形11A ADD的中心，则下列结论正确的是（）A.点P的轨迹为抛物线B.正方体1111ABCDABC D-的内切球被平面11ABC所截得的截面面积为6pC.直线CP与平面11CDDC所成角的正弦值的最大值为33D.点M为直线1D B上一动点，则MPME+的最小值为11 2 66-11.已 知 f x是 定 义 域 为0 x x 的 非 常 数 函 数，若 对 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x，y 均 有 xf x fyf xyfy=+，则下列结论正确的是

5、（）A.12f=B.f x的值域为2,+C.1f xfx=D.f x是奇函数三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。学科网（北京）股份有限公司12.61x+的展开式中3x的系数为_（用数字作答）.13.某班有 A，B 两个学习小组，其中 A 组有 2 位男生，1 位女生，B 组有 2 位男生，2 位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为_.14.已知关于 x 的不等式12ln1eaxxa x-+恒成立，则实数 a 的取值范围是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5

6、 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）已知数列 na满足112a=，111nnaa+=-.（1）求2024a（只需写出数值，不需要证明）；（2）若数列 na的通项可以表示成13sin03,22 2nanp pwjwj=-+=.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于 1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy=-=-，回归直线yabx=+中公式分别为121niiiniixxyybxx=-=-

7、，aybx=-；参考数据：40.3 1.6128.06=，40320.1，ln51.6，ln61.8.17.（15 分）如图，已知四棱台1111ABCDABC D-中，113ABAB=，ABCD，ADAB，6AB=，9CD=，6AD=，且114AABB=，Q为线段1CC中点，（1）求证：BQ平面11ADD A；（2）若四棱锥11QABB A-的体积为32 33，求平面11ABB A与平面11CDDC夹角的余弦值.18.（17 分）已知椭圆C：229881xy+=，直线l：1x=-交椭圆于 M，N 两点，T 为椭圆的右顶点，TMN的内切圆为圆 Q.（1）求椭圆C的焦点坐标；（2）求圆 Q 的方程

8、；（3）设点1,3P，过 P 作圆 Q 的两条切线分别交椭圆 C 于点 A，B，求PAB的周长.学科网（北京）股份有限公司19.（17 分）设 A，B 是两个非空集合，如果对于集合 A 中的任意一个元素 x，按照某种确定的对应关系f，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应，并且不同的 x 对应不同的 y；同时 B 中的每一个元素 y，都有一个 A 中的元素 x 与它对应，则称f：AB为从集合 A 到集合 B 的一一对应，并称集合 A 与 B 等势，记作AB=.若集合 A 与 B 之间不存在一一对应关系，则称 A 与 B 不等势，记作AB.例如：对于集合*NA=，*2NBn n=，存在一

9、一对应关系2,yx xA yB=，因此AB=.（1）已知集合22,1Cx y xy=+=，22,143xyDx y=+=，试判断CD=是否成立?请说明理由；（2）证明：0,1,=-+；*NNx x.学科网（北京）股份有限公司参考答案参考答案一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DBDADCBB二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每

10、小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。题号91011答案BCDBCDAC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12.20 13.116 14.1,+四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 13 分）解（1）112a=，22a=，31a=-，412

11、a=，故数列 na的周期为 3，202422aa=.（2）由112a=，22a=，得到113sin,2213sin 22,203,22wjwjppwj-+=-+=-解得23pw=，3pj=.备注：以下解法不扣分因为 na的周期为 3，所以23pw=又由112a=，得到2113sin,322,22pjppj-+=-解得3pj=.16.（本小题满分 15 分）解：（1）设模型和的相关系数分别为1r，2r.学科网（北京）股份有限公司由题意可得：511155221119.519.50.9720.1403iiiiiixxyyrxxyy=-=-51112552211118.068.0618.0640.3

12、1.612iiiyyvvryyvv=-=-.所以12rr，令 2005ln4200g xxxx=+-，所以 1000200gxx=-.可得 yg x=在0,5上为增函数，在5,+上为减函数.所以 max 52005ln5451400g xgxx=+-，由题意有：14001000 x-，即400 x，4008000.3PPxx=，即该公司年净利润大于 1000（百万元）的概率为 0.3.17.（本小题满分 15 分）解：（1）分别延长线段1AA，1BB，1CC，1DD交于点P，将四棱台补成四棱锥PABCD-.1113ABAB=，113PCPC=，11CQQCC P=，学科网（北京）股份有限公司取

13、1DD的中点E，连接QE，AE，23QECDAB，四边形ABQE为平行四边形.BQAE，又AE 平面11ADD A，BQ 平面11ADD A，BQ平面11ADD A；（不补成棱锥，直接取1DD的中点，利用梯形中位线也不扣分）（2）由于1 11 123Q ABBCBAAA BVV-=，所以1 116 3C ABB AV-=，又梯形11ABB A面积为8 3，设C到平面11ABB A距离为h，则1 11 116 313CB AAABABBVhS-=梯形，得6h=.而CDAB，AB 平面11ABB A，CD 平面11ABB A，所以CD平面11ABB A，所以点 C 到平面11ABB A的距离与点

14、D 到平而的距离相等，而6hAD=，所以AD平面11ABB A.以 A 为坐标原点，以直线AB为 x 轴，以直线AD为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.易得PAB为等边三角形，所以0,0,0A，6,0,0B，9,6,0C，0,6,0D，3,0,3 3P设平面11CDDC的法向量为,mx y z=ur，则,3,6,3 3363 30,9,0,090,m DPx y zxyzm DCx y zx=-=-+=ur uuu rur uuur得0 x=，32yz=，不妨取0,3,2m=ur，又平面11ABB A的一个法向量为0,1,0n=r.学科网（北京）股份有限公司则0,3,20,1,021co

15、s,77 1m nm nm n=ur rur rur r，平面11ABB A与平面11CDDC夹角的余弦值为217.（传统方法相应给分）18.（本小题满分 17 分）解：（1）椭圆的标准方程为2218198xy+=，819988-=，所以称点坐标为3 20,4.（2）将1x=-代入椭圆方程229881xy+=得3y=，由对称性不妨设1,3M-，1,3N-直线MT的方程为331 3yx=-，即3490 xy+-=设圆 Q 方程为222xtyr-+=，由于内切圆 Q 在TMN的内部，所以1t -，则 Q 到直线MN和直线MT的距离相等，即：2234 09134ttr+-+=+，解得12t=，32r

16、=，所以圆Q方程为221924xy-+=.（用周长与面积求半径的方法相应给分）（3）显然直线PA和直线PB的斜率均存在，设过 P 作圆 Q 的切线方程为13yk x=-+，其中 k 有两个不同的取值1k和2k分别为直线PA和PB的斜率.由圆 Q 与直线相切得：21132321kk-+=+，化简得：2812270kk+-=，则12123,227.8kkk k+=-=-学科网（北京）股份有限公司由12213,9881,ykxxy=-+=得222111119816384890kxkkxkk+-+-=，可得21121848989APAkkxx xk-=+，所以221111112211848924182

17、713138989AAkkkkykxkkk-+=-+=-+=+111113 27 121827183327 12912 32kkkkk-+-=-+-.同理22222848989Bkkxk-=+，32By=-所以直线AB的方程为32y=-所以AB与圆 Q 相切，将32y=-代入229881xy+=得7x=，所以2 7AB=，又点 P 到直线AB的距离为92，设PAB的周长为m，则PAB的面积13192 72222ABCSm=，解得6 7m=.所以PAB的周长为6 7.19.（本小题满分 17 分）解：（1）设00,P xyC，,Qx yD=，令002,3,xxyy=则 C 与 D 存在一一对应，

18、所以集合CD=.（2）取函数1tan2yxp=-，其中0,1x，,y-+，两个集合之间存在一一对应，故0,1,=-+.备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为0,1，值域为R即可，学科网（北京）股份有限公司如：112,0,2112,1.12xxyxx-=+-或1ln2,0,21ln 22,1.2xxyxx=-等等均给满分，【若直接利用等势的自反性，未交待反函数关系，而给出定义域为 R，值域为（0，1）的函数.如121xy=+，,x-+，0,1y扣 1 分，交传了反函数关系不加分】设*NA=，*NBx x=，假设AB=，即存在对应关系f：AB为一一对应，对于集合 B 中的元素 1，2，1,2，至少存在一个xA（1x，且2x）与这三个集合中的某一个对应，所以集合 A 中必存在 xf x.记 DxA xf x=，则DA，故DB，从而存在aA，使得 f aD=；若aD，则 af aD=，矛盾；若aD，则 af aD=，矛盾.因此，不存在 A 到 B 的一一对应，所以AB.