第34章机器人运动学解读 PPT课件.ppt

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1、1第第3章章 机器人运动学机器人运动学运动学研究物体的位姿、速度和加速度之间的关系。运动学研究物体的位姿、速度和加速度之间的关系。本章将介绍双轮移动机器人、三轮全向移动机器人和关节式机械臂的运本章将介绍双轮移动机器人、三轮全向移动机器人和关节式机械臂的运动学问题。动学问题。n双轮移动机器人运动学双轮移动机器人运动学 平面轮式移动机器人平面轮式移动机器人 （x,y,）表示双轮机器人位姿，）表示双轮机器人位姿，v 表示机器人前表示机器人前进速度，表示机器人转动速度进速度，表示机器人转动速度w，则，则（3-1）由（由（3-1）式可得运）式可得运动动学学约约束条件，束条件，是所谓的是所谓的“非完整约束

2、非完整约束”。物理含义是，机器人不能沿轮轴线方向横移。物理含义是，机器人不能沿轮轴线方向横移。设轮距为设轮距为D，轮半径为，轮半径为r，两轮独立驱动时轮子转速，两轮独立驱动时轮子转速wL，wR 则则（3-2）2给定期望的机器人前进速度给定期望的机器人前进速度v，转动速度，转动速度w，则可以确定机器人的两轮转速为，则可以确定机器人的两轮转速为（3-3）因此，可以非常方便地通过控制电机的转速来控制机器人移动和转动速度。因此，可以非常方便地通过控制电机的转速来控制机器人移动和转动速度。n机器人位置估计机器人位置估计 已知初始位姿为（已知初始位姿为（x0,y0,0），两轮转角增量为），两轮转角增量为L

3、和和 R，则两轮移，则两轮移动距离分别为动距离分别为 lR=rR和和 lL=rL，机器人移动距离机器人移动距离 l=(lR+lL)/2方位角变化方位角变化 q=(lR-lL)/D。第第n步机器人位姿可以按下面公式更新：步机器人位姿可以按下面公式更新：若已知机器人的初始位姿，根据该递推公式可以确定任意时刻机器人若已知机器人的初始位姿，根据该递推公式可以确定任意时刻机器人位姿，比较简单，但因积累误差大，所以长时间不可靠。位姿，比较简单，但因积累误差大，所以长时间不可靠。3n三轮全向移动机器人运动学三轮全向移动机器人运动学 双轮移动机器人运动中最大的问题是不双轮移动机器人运动中最大的问题是不能横向移

4、动，在实际应用中灵活性比较差。能横向移动，在实际应用中灵活性比较差。全向移动轮是一种新的轮式移动机构，在全向移动轮是一种新的轮式移动机构，在大轮的边缘上布置若干小轮，使得机器人的移大轮的边缘上布置若干小轮，使得机器人的移动方向不再限定于大轮所在的平面方向。动方向不再限定于大轮所在的平面方向。全向移动轮全向移动轮 三轮全向移动机构三轮全向移动机构 xoy是是机机器器人人坐坐标标系系，机机器器人人的的运运动动速速度度用用vx、vy和和w w表表示示，三三个个全全向向轮轮的的角角速速度度分分别别用用w w1、w w2和和w w3表表示示，v1、v2和和v3分分别别表表示示三三个个全全向向轮轮轮轮心心

5、处处的的线线速速度度。假假设设全全向向轮轮的的半半径径为为R，距距运运动动机机构构中中心心的的距距离离为为L，则则速速度度间间关关系系为为：（3-5）4三个全向轮的角速度与机器人速度之间关系：三个全向轮的角速度与机器人速度之间关系：（3-6）图图3-43-4全向移动机构在场全向移动机构在场地坐标系中的位置地坐标系中的位置 场地坐标系下的速度场地坐标系下的速度Vx、Vy和和W W 与机器人与机器人坐标系下机器人速度之间的变换关系如下：坐标系下机器人速度之间的变换关系如下：可以非常方便地通过控制电机的转速来控制机器人在场地坐标可以非常方便地通过控制电机的转速来控制机器人在场地坐标系下的移动和转动速

6、度。系下的移动和转动速度。5n平面机械臂运动学平面机械臂运动学 平面机械臂平面机械臂 两连杆平面旋转关节机械臂，其结构由连两连杆平面旋转关节机械臂，其结构由连杆长度杆长度L1，L2和关节角和关节角 1，2确定。确定。表示关节位置的变量表示关节位置的变量 1，2称为关节变量。称为关节变量。旋转关节变量用关节角旋转关节变量用关节角 表示，而移动关节变量用移动距离表示，而移动关节变量用移动距离d表示。表示。机械手末端位置与关节角之间的关系为机械手末端位置与关节角之间的关系为 其中其中 c1=cos 1，c12=cos(1+2)，s1=sin 1，s12=sin(1+2)。采用矢量表示为采用矢量表示为

7、 r=f()式中式中f 表示矢量函数，表示矢量函数，r=x,yT，=1,2T。从关节变量从关节变量 求手爪位置求手爪位置 r 称为正运动学，称为正运动学，反之，从手爪位置反之，从手爪位置r求关节变量求关节变量 称为逆运动学。称为逆运动学。6逆运动学公式：逆运动学公式：平面机械臂简图平面机械臂简图 OAB中中 a a 可以根据余弦定理确定可以根据余弦定理确定因此，可以得到因此，可以得到 2=-1+和和都可计算，因此都可计算，因此 1也是可以计算的。也是可以计算的。因此，因此，逆运动学的解一般不唯一，显然图中机械臂关于逆运动学的解一般不唯一，显然图中机械臂关于OB轴对称的位置也轴对称的位置也是逆运

8、动学问题的一个解。是逆运动学问题的一个解。n空间机械臂连杆描述空间机械臂连杆描述 机械臂可以看成一系列刚体通过关节连接而成的链式运动机构。机械臂可以看成一系列刚体通过关节连接而成的链式运动机构。一般把这些刚体称为连杆，通过关节将相邻的连杆连接起来。旋转关节一般把这些刚体称为连杆，通过关节将相邻的连杆连接起来。旋转关节和移动关节是机械臂设计中经常采用的单自由度关节。和移动关节是机械臂设计中经常采用的单自由度关节。称基座为连杆称基座为连杆0。第一个可移动连杆为连杆。第一个可移动连杆为连杆1，机械臂的最末端连杆，机械臂的最末端连杆为连杆为连杆n。为了使机械臂末端执行器可以在。为了使机械臂末端执行器可

9、以在3维空间达到任意的位置和姿维空间达到任意的位置和姿态，机械臂至少需要态，机械臂至少需要6个关节，因此，典型的工业机械臂一般都具有个关节，因此，典型的工业机械臂一般都具有6个个关节。关节。7用一条空间直线表示关节的转轴用一条空间直线表示关节的转轴（平移轴），连杆（平移轴），连杆i 的运动可以用的运动可以用转轴转轴i 和连杆和连杆i相对连杆相对连杆i-1的转动的转动角度角度 i 来描述。下面给出几个连来描述。下面给出几个连杆参数的定义：杆参数的定义：连杆长度连杆长度，连杆两端关节轴线间，连杆两端关节轴线间公垂线的长度公垂线的长度 连杆转角，连杆转角，过关节轴过关节轴i-1做垂直做垂直于公垂线的

10、平面，在该平面内于公垂线的平面，在该平面内做过垂足且平行于关节轴做过垂足且平行于关节轴i 的直的直线。该直线与关节轴线。该直线与关节轴i-1的夹角的夹角定义为连杆转角。定义为连杆转角。连杆转角只在两个关节轴为空间异面直线的情况有意义 连杆偏距连杆偏距，关节轴关节轴i与相邻关节转轴与相邻关节转轴(i-1和和i+1)公垂线间距离称为连杆偏距公垂线间距离称为连杆偏距关节角关节角，两相邻连杆绕公共轴线旋转的角度称为关节角。两相邻连杆绕公共轴线旋转的角度称为关节角。连杆描述连杆描述 8对于一个对于一个6关节机器人，需要关节机器人，需要18个参数就可以完全描述机械臂固定的运动学结个参数就可以完全描述机械臂

11、固定的运动学结构参数。如果机器人构参数。如果机器人6个关节均为转动关节，个关节均为转动关节，18个固定参数可以用个固定参数可以用6组（组（ai-1,i-1,di）表示。）表示。机器人的每个连杆都可以用以上四个参数描述，其中连杆长度和连杆转机器人的每个连杆都可以用以上四个参数描述，其中连杆长度和连杆转角描述连杆本身，连杆偏距和关节角描述连杆之间的连接关系。角描述连杆本身，连杆偏距和关节角描述连杆之间的连接关系。对于转动关节，对于转动关节，i为关节变量，其它三个参数是常数；对于移动关节，为关节变量，其它三个参数是常数；对于移动关节，di为关节变量，其它三个参数是常数。为关节变量，其它三个参数是常数

12、。这种用连杆参数描述机构运动学关系的规则称为（这种用连杆参数描述机构运动学关系的规则称为（Devanit-Hartenberg）DH方法，连杆参数称为方法，连杆参数称为DH参数。参数。n空间机械臂坐标系选择空间机械臂坐标系选择 为了获得机械臂末端执行器在为了获得机械臂末端执行器在3维空间的位置和姿态，需要在每个连杆上维空间的位置和姿态，需要在每个连杆上定义与连杆固连的坐标系来描述相邻连杆之间的位置关系。定义与连杆固连的坐标系来描述相邻连杆之间的位置关系。根据固连坐标系所在连杆的编号对固连坐标系命名，如在固连在连杆根据固连坐标系所在连杆的编号对固连坐标系命名，如在固连在连杆i上上的固连坐标系称为

13、坐标系的固连坐标系称为坐标系i。9 固连在基座上的坐标系称为坐标系固连在基座上的坐标系称为坐标系0。该坐标系在机械臂运动过程中保。该坐标系在机械臂运动过程中保持固定，因此在研究机械臂运动学问持固定，因此在研究机械臂运动学问题时一般把坐标系题时一般把坐标系0选为参考系，用选为参考系，用来描述其它连杆坐标系的位置。来描述其它连杆坐标系的位置。坐标系坐标系i选择示意图选择示意图 因此，当关节因此，当关节1为转动关节时为转动关节时a0=0，0=0，d1=0；当关节；当关节1为移动关节时为移动关节时a0=0，0=0，1=0。原则上参考系原则上参考系0可以任意设定，可以任意设定，但为了简化描述，通常设定但

14、为了简化描述，通常设定Z0轴沿关轴沿关节轴节轴1的方向，并且关节的方向，并且关节1的关节变量的关节变量为为0时参考系时参考系0与坐标系与坐标系1重合。重合。对于中间连杆对于中间连杆i，坐标系，坐标系i的的Zi轴与关节轴轴与关节轴i重合，坐标系重合，坐标系i的原点位于的原点位于公垂线公垂线ai与关节轴与关节轴i的交点处。的交点处。Xi沿沿ai方向由关节方向由关节i指向关节指向关节i+1，并按照右手，并按照右手系规则确定系规则确定Yi，ai按右手定则绕按右手定则绕Xi转角定义。转角定义。若若ai=0，两，两Z轴相交，则选轴相交，则选Xi垂于垂于Zi和和Zi+1，坐标系，坐标系i的选择不是唯一的。的

15、选择不是唯一的。10坐标系i选择示意图 n连杆坐标系中连杆参数确定连杆坐标系中连杆参数确定 以上以上4个参数中，个参数中，ai表示连杆长度只能取表示连杆长度只能取非负值；而其余非负值；而其余3参数可以为正，也可以为负。参数可以为正，也可以为负。DH参数按以下方法确定：参数按以下方法确定：ai=沿沿Xi轴，从轴，从Zi移动到移动到Zi+1的距离；的距离；i=绕绕Xi轴，从轴，从Zi旋转到旋转到Zi+1的角度；的角度；di=沿沿Zi轴，从轴，从Xi-1移动到移动到Xi的距离；的距离；i=绕绕Zi轴，从轴，从Xi-1旋转到旋转到Xi的角度；的角度；n建立连杆坐标系的步骤建立连杆坐标系的步骤2.找出关

16、节轴找出关节轴i和和i+1之间的公垂线或两个轴的交点，以两个轴的交之间的公垂线或两个轴的交点，以两个轴的交点或公垂线与关节轴点或公垂线与关节轴i的交点为坐标系的交点为坐标系i的原点。的原点。1.找出各关节轴，并标出轴的延长线。步骤找出各关节轴，并标出轴的延长线。步骤2-5仅考虑两个相邻关节轴（仅考虑两个相邻关节轴（i 和和 i+1）和坐标系）和坐标系i。坐标系i选择示意图 6.当第一个关节变量为当第一个关节变量为0时坐标时坐标 系系1与坐标系与坐标系0重合。重合。3.规定规定Zi沿关节轴沿关节轴i的方向。的方向。4.规定规定Xi沿公垂线指向关节轴沿公垂线指向关节轴i+1，若两个，若两个轴相交，

17、规定轴相交，规定Xi垂直于两轴所在的平面。垂直于两轴所在的平面。5.按右手定则确定按右手定则确定Yi轴。轴。对于坐标系对于坐标系n，原点位置可以在关节轴，原点位置可以在关节轴上任意选取，上任意选取，Xn的方向也是任意的。但在选的方向也是任意的。但在选择时应尽量使更多的连杆参数为择时应尽量使更多的连杆参数为0。11例例3-1 如图如图3-9所示的平面三连杆机械臂，因为三个所示的平面三连杆机械臂，因为三个关节均为旋转关节，称为关节均为旋转关节，称为RRR（或（或3R）机构。请在）机构。请在该机构上建立连杆坐标系并写出该机构上建立连杆坐标系并写出DH参数。参数。平面平面3R机械臂机械臂连杆坐标系布局

18、连杆坐标系布局 定义参考坐标系定义参考坐标系0，它固定在基座上，当第一，它固定在基座上，当第一个关节变量（个关节变量（1）为）为0时坐标系时坐标系1与坐标系与坐标系0重合，重合，因此建立参考坐标系因此建立参考坐标系0如图所示，如图所示，Z0轴与关节轴与关节1的的轴线重合且垂直于机械臂所在平面。轴线重合且垂直于机械臂所在平面。由于机械臂位于一个平面上，因此所有由于机械臂位于一个平面上，因此所有Z轴相互平轴相互平行，且连杆偏距行，且连杆偏距d和连杆转角和连杆转角a a均为均为0。该机械臂的。该机械臂的DH参数如表参数如表3-1所示。所示。表表3-1 3R机械臂机械臂DH参数参数i i-1ai-1d

19、i i1000 120L10 230L20 31213n空间机械臂运动学空间机械臂运动学 本节将导出相邻连杆间坐标系变换的一本节将导出相邻连杆间坐标系变换的一般形式，然后将这些独立的变换联系起来般形式，然后将这些独立的变换联系起来求出连杆求出连杆n相对连杆相对连杆0的位置和姿态。的位置和姿态。n相邻连杆间坐标变换公式相邻连杆间坐标变换公式 建立建立 P、Q和和R3个中间坐标系，个中间坐标系，其中其中i和和i-1是固定在连杆是固定在连杆 i 和和 i-1 上的固上的固连坐标系，如图连坐标系，如图3-13所示。所示。图3-13中间坐标系选择示意图 i-1 R，对应变换对应变换Rot(x,i-1)；

20、1.绕绕 Xi-1 轴旋转轴旋转 i-1角角 2.沿沿 XR轴平移轴平移 ai-1R Q，对应变换，对应变换Trans(ai-1,0,0)；3.绕绕 ZQ轴旋转轴旋转 i 角角Q P，对应变换，对应变换Rot(z,i)4.沿沿 ZP 轴平移轴平移 di P i，对应变换，对应变换Trans(0,0,di)因为所有变换都是相对于动坐标系的，所因为所有变换都是相对于动坐标系的，所以坐标系以坐标系i和和i-1之间的变换矩阵为：之间的变换矩阵为：=Rot(x,i-1)Trans(ai-1,0,0)Rot(z,i)Trans(0,0,di)14其中各独立变换矩阵如下：其中各独立变换矩阵如下：Rot(x,

21、i-1)Trans(ai-1,0,0)Rot(z,i)Trans(0,0,di)连杆间的通用变换公式：连杆间的通用变换公式：对于任意的对于任意的n连杆连杆机械臂，只要给出各机械臂，只要给出各连杆的连杆的DH参数参数，即可，即可以计算机械臂末端在以计算机械臂末端在固定坐标系固定坐标系0下表示下表示的变换矩阵（位置和的变换矩阵（位置和姿态）姿态）因此，采用DH规则选择连杆坐标系，并用DH参数描述连杆，可以非常容易地获得机械臂的变换矩阵，关键是首先获得机械臂的DH参数描述。15例例3-3 利用表3-1的DH参数计算个连杆的变换矩阵，并计算末端连杆现对固定坐标系的变换矩阵。i i-1ai-1di i1

22、000 120L10 230L20 3，其中其中c123=cos(1+2+3)，s123=sin(1+2+3)。从最后一式可以看出，坐。从最后一式可以看出，坐标标系系3的原点坐的原点坐标标与（与（3-10）式的）式的结结果完全相同。果完全相同。16nPUMA560工业机器人运动学 右图所示右图所示PUMA560是一个是一个6自由度工业机器人，自由度工业机器人，所有关节均为转动关节。所有关节均为转动关节。图3-16 图3-15 机器人的连杆参数如表机器人的连杆参数如表3-2所示。所示。图图3-15和图和图3-16给出了所有关节角为零位时，连给出了所有关节角为零位时，连杆坐标系的分布情况。与大多数

23、工业机器人一样，杆坐标系的分布情况。与大多数工业机器人一样，PUMA560关节关节4、5和和6的轴线相交于同一点，且交点的轴线相交于同一点，且交点与坐标系与坐标系4、5和和6的坐标原点重合。后面将介绍的坐标原点重合。后面将介绍如此设计的原因。如此设计的原因。17表表3-2 PUMA560 连连杆杆参数表参数表i i-1ai-1di i1000 12-90o00 230a2d3 34-90oa3d4 4590o00 56-90o00 6 将相应的参数代入（将相应的参数代入（3-16）得各连杆）得各连杆的变换矩阵如下：的变换矩阵如下：将以上变换矩阵连乘即可得到将以上变换矩阵连乘即可得到因为在第因为

24、在第4 4章逆运动学求解需要，这里计算一些中间结果：章逆运动学求解需要，这里计算一些中间结果：18最终得到六个连杆坐标变换矩阵的乘积：最终得到六个连杆坐标变换矩阵的乘积：其中各元素值为：其中各元素值为：上式即为上式即为PUMA560的运动学方程，给出了机器人末端坐标系的运动学方程，给出了机器人末端坐标系6相对相对于基座固定坐标系于基座固定坐标系0的位姿。显然，手工计算的位姿。显然，手工计算6自由度机器人的运动学方自由度机器人的运动学方程还是比较复杂的，但是，采用计算机编程实现运动学计算非常容易。只程还是比较复杂的，但是，采用计算机编程实现运动学计算非常容易。只需要输入机器人的需要输入机器人的D

25、H参数，再利用（参数，再利用（3-16）式，六个矩阵连乘即可获得）式，六个矩阵连乘即可获得运动学方程式（运动学方程式（3-24）。）。n坐标系的标准命名规则坐标系的标准命名规则 图3-17 标准坐标系 为了分析处理方便，机器人和工为了分析处理方便，机器人和工作空间一般采用规范的命名，并采用作空间一般采用规范的命名，并采用“标准标准”的名字对各种坐标系命名。的名字对各种坐标系命名。图图3-17表示了表示了5个坐标系，并给出了个坐标系，并给出了标准命名。标准命名。基坐标系基坐标系B固连于机器人的基座上，就是上固连于机器人的基座上，就是上节介绍的坐标系节介绍的坐标系0。在连杆描述时经常称之为连杆。在

26、连杆描述时经常称之为连杆0。基坐标系基坐标系B S一般固连于机器人工作台的一个角上，有时称之为任务坐标系，一般固连于机器人工作台的一个角上，有时称之为任务坐标系，机器人的所有运动都是相对于工作台坐标系机器人的所有运动都是相对于工作台坐标系S执行的。工作台坐标系执行的。工作台坐标系S通常根据基坐标系通常根据基坐标系B来确定，两个坐标系都是固定坐标系。来确定，两个坐标系都是固定坐标系。工作台坐标系工作台坐标系S W固连于机械臂末端连杆，因此也称为坐标系固连于机械臂末端连杆，因此也称为坐标系n。一般情况下腕部。一般情况下腕部坐标系的原点位于机械臂的手腕上。坐标系的原点位于机械臂的手腕上。W也是相对于

27、基坐标系也是相对于基坐标系B定义的。定义的。腕部坐标系腕部坐标系W19 T一般固连于机器人所夹持工具一般固连于机器人所夹持工具的末端。工具坐标系的末端。工具坐标系T通常根据腕部通常根据腕部坐标系坐标系W定义。定义。工具坐标系工具坐标系T目标坐标系目标坐标系G目标坐标系目标坐标系G是机器人移动工具时对期望工具位置的描述。在机器人运是机器人移动工具时对期望工具位置的描述。在机器人运动结束时，工具坐标系动结束时，工具坐标系T与目标坐标系与目标坐标系G重合。目标坐标系重合。目标坐标系G通常相通常相对工作台坐标系对工作台坐标系S定义。定义。机器人完成期望操作的主要任务之一是对所夹持的工具进行定位。图机器

28、人完成期望操作的主要任务之一是对所夹持的工具进行定位。图3-17中虚线表示了坐标系间的描述关系，可以用变换矩阵表示这种描述关系：中虚线表示了坐标系间的描述关系，可以用变换矩阵表示这种描述关系：工具坐标系定位工具坐标系定位1.1.确定变换关系确定变换关系2.根据机器人完成期望操作任务根据机器人完成期望操作任务=的要求得到变换方程的要求得到变换方程 3.采用逆运动学求解（下章介绍）期望的机械臂各关节变量。采用逆运动学求解（下章介绍）期望的机械臂各关节变量。4.根据期望的关节变量控制机械臂运动，工具坐标系达到期望位姿。根据期望的关节变量控制机械臂运动，工具坐标系达到期望位姿。20第第4 章章 机器人

29、逆运动学机器人逆运动学已知机器人末端的位置和姿态（坐标变换矩阵）确定各关节变量的值是已知机器人末端的位置和姿态（坐标变换矩阵）确定各关节变量的值是一个非常关键的问题。该问题就是机器人逆运动学将要解决的问题。一个非常关键的问题。该问题就是机器人逆运动学将要解决的问题。n逆运动学问题的可解性逆运动学问题的可解性 机械臂逆运动学问题就是已知机械臂逆运动学问题就是已知的数值，求各关节变量。的数值，求各关节变量。从（从（3-243-24）中求解关节变量）中求解关节变量 1 1,2 2,6 6是一个非线性问题。是一个非线性问题。解的存在性解的存在性 逆运动学问题解是否存在完全取决于机械臂的工作空间。所谓工

30、作空逆运动学问题解是否存在完全取决于机械臂的工作空间。所谓工作空间是指机械臂末端执行器所能达到的空间位姿的集合。间是指机械臂末端执行器所能达到的空间位姿的集合。当期望位姿位于机械臂的工作空当期望位姿位于机械臂的工作空间之外时，逆运动学问题无解。间之外时，逆运动学问题无解。期望机械臂末端达到期望机械臂末端达到B点点 对于给定的机械臂，其工作空间是固定的。而对于少于对于给定的机械臂，其工作空间是固定的。而对于少于6个自由度个自由度的机械臂，它在三维空间内不能达到全部位姿。所以通用工业机器人一的机械臂，它在三维空间内不能达到全部位姿。所以通用工业机器人一般都设计成般都设计成6个自由度。个自由度。21

31、多解问题多解问题逆运动学求解的另一个问题是多解问题。逆运动学求解的另一个问题是多解问题。图图4-2 平面机械臂，有两个解平面机械臂，有两个解如图如图4-2 所示的平面机械臂有两个解，虚线所示的平面机械臂有两个解，虚线表示另外一个解。表示另外一个解。逆运动学解的个数取决于机械臂关节的数量，同时与连杆参数和关节运逆运动学解的个数取决于机械臂关节的数量，同时与连杆参数和关节运动范围有关。动范围有关。PUMA560工业机器人一般存在工业机器人一般存在8个解。个解。逆运动学问题解法逆运动学问题解法 从运动学方程中求解关节变量从运动学方程中求解关节变量 1 1,2 2,6 6是一个非线性方程组求解问是一个

32、非线性方程组求解问题。而非线性方程组求解方法分为封闭（解析）解法和数值解法两大类。题。而非线性方程组求解方法分为封闭（解析）解法和数值解法两大类。数值解法不适用，一是机械臂操作需要频繁求解逆运动学问题，数值解法数值解法不适用，一是机械臂操作需要频繁求解逆运动学问题，数值解法计算量比较大；二是数值解法不能保证求出全部解。所以逆运动学问题一般计算量比较大；二是数值解法不能保证求出全部解。所以逆运动学问题一般只采用封闭（解析）解法。只采用封闭（解析）解法。机器人逆运动学问题涉及一个复杂的非线性方程组求解，而从数学角度机器人逆运动学问题涉及一个复杂的非线性方程组求解，而从数学角度分析一般的非线性方程组

33、经常没有封闭（解析）解。分析一般的非线性方程组经常没有封闭（解析）解。对于机械臂逆运动学问题存在解决方案，因为机械臂是人造机构，只需对于机械臂逆运动学问题存在解决方案，因为机械臂是人造机构，只需将其设计成存在封闭解的结构即可解决该问题。将其设计成存在封闭解的结构即可解决该问题。22 理论上已经证明，对于理论上已经证明，对于6自由度机械臂，存在封闭解的充分条件是有相自由度机械臂，存在封闭解的充分条件是有相邻的三个关节轴相交于一点。因此，已经设计出来的邻的三个关节轴相交于一点。因此，已经设计出来的6自由度机械臂几乎自由度机械臂几乎都有三个相交的关节轴，例如都有三个相交的关节轴，例如PUMA560的

34、的4、5、6轴交于一点。轴交于一点。欧拉变换解欧拉变换解 式（式（2-40）给出了采用欧拉角表示的坐标变）给出了采用欧拉角表示的坐标变换，其逆问题是给定旋转矩阵换，其逆问题是给定旋转矩阵Rzyz，确定对应的，确定对应的三个欧拉角。三个欧拉角。假设给定的旋转矩阵表示，根据欧拉变换假设给定的旋转矩阵表示，根据欧拉变换方程可得方程可得9个方程个方程 可以由最后一个方程求出可以由最后一个方程求出，再由倒数第二个，再由倒数第二个方程求出方程求出 最后根据倒数第四个方程计算出最后根据倒数第四个方程计算出。这种方法的不足是反正弦和反余弦解的不这种方法的不足是反正弦和反余弦解的不确定性和解的精度问题。确定性和

35、解的精度问题。实际问题一般用双变量反正切函数计算相应实际问题一般用双变量反正切函数计算相应的角度。的角度。23双变量反正切函数双变量反正切函数 atan2的精确程度对其整个定义域都是一样的。高级编程语言，如的精确程度对其整个定义域都是一样的。高级编程语言，如C和和Matlab等，提供标准库函数供编程者调用。等，提供标准库函数供编程者调用。双变量反正切函数双变量反正切函数 在三角函数求解时，通常采用双变量反正切在三角函数求解时，通常采用双变量反正切函数函数atan2(y,x)来确定角度。来确定角度。atan2提供二个自变提供二个自变量，即纵坐标和横坐标，见图量，即纵坐标和横坐标，见图4.3。当当

36、-时时，由，由atan2反求角度过程中，同时检反求角度过程中，同时检查查y和和x的符号来确定其所在象限。该函数也能检验什的符号来确定其所在象限。该函数也能检验什么时候么时候x或或y为为0，并反求出正确的角度。，并反求出正确的角度。根据（根据（2-39）和（）和（2-40）式可知：）式可知：（4-2）上式中，矩阵两边对应（上式中，矩阵两边对应（2，3）元素相等得）元素相等得-axs+ayc=0tan=ay/ax，所以得，所以得 的两个解的两个解=atan2(ay,ax)，=+24，计计算各关算各关节变节变量量 1,2,6。25对应（对应（1，3）和（）和（3，3）元素相等得）元素相等得 s=ax

37、c+ays，c=az 所以有所以有 =atan2(c ax+s ay,az)对应（对应（2，1）和（）和（2，2）元素相等得）元素相等得s=-nxs+nyc，c=-oxs+oyc 所以有所以有 =atan2(-nxs+nyc,-oxs+oyc)欧拉变换解计算过程并不复杂，该问题一般存在两个解。欧拉变换解计算过程并不复杂，该问题一般存在两个解。当当=0时，根据（时，根据（4-1）知）知ay=ax=0，此时（，此时（4-3）将不能确定）将不能确定 的值。此时的值。此时对应绕对应绕Z轴连续做两次旋转，不能确定每次转的角度属于欧拉角奇异情况。轴连续做两次旋转，不能确定每次转的角度属于欧拉角奇异情况。n

38、PUMA560逆运动学逆运动学 将研究将研究PUMA560的逆运动学封闭解，一般的的逆运动学封闭解，一般的6自由度工业自由度工业机器人逆运动学可以参考该方法进行求解。机器人逆运动学可以参考该方法进行求解。该问题是已知变换矩阵该问题是已知变换矩阵各连杆坐标系变换关系如下：各连杆坐标系变换关系如下：与欧拉角求解类似，根据第与欧拉角求解类似，根据第3章章PUMA560运动学（运动学（3-21）和（）和（3-23）式得）式得其中（其中（3-22）的最后三个数如下：）的最后三个数如下：（4-6）令（令（4-6）式两边元素（）式两边元素（2,4）相等，得到）相等，得到-pxs1+pyc1=d3 做三角恒等

39、变换做三角恒等变换 px=cos，py=sin 其中其中-c s1+s c1=d3/sin(-1)=d3/所以所以因此因此最后最后 1的解可以写为的解可以写为26（4-10）（4-13）采用类似采用类似的方法可以求得其它关节角的解可以写为的方法可以求得其它关节角的解可以写为2=23-3 （4-17）（4-19）（4-22）（4-24）由于（由于（4-10）式和（）式和（4-13）式的）式的 1和和 3各有两个解，另外机械臂腕关节各有两个解，另外机械臂腕关节“翻转翻转”可以得到可以得到 4 6的另一组解的另一组解（4-26）因此，因此，PUMA560的逆的逆运动学问题共有运动学问题共有8组解。组解。（4-10）2728小结小结机器人运动方程的表示机器人运动方程的表示用变换矩阵表示机械手的运动方程用变换矩阵表示机械手的运动方程用转角（即欧拉角）变换序列表示运动姿态用转角（即欧拉角）变换序列表示运动姿态用横滚俯仰和偏转角表示运动姿态用横滚俯仰和偏转角表示运动姿态n 机器人运动方程的求解机器人运动方程的求解n 欧拉变换解欧拉变换解n PUMA560机器人运动方程求解机器人运动方程求解